20. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II

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2 20. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II 20.a Il teorema di Fubini e le formule di riduzione Per integrare funzioni di due variabili, l idea intuitiva è integrare prima in una variabile e poi nell altra. Indichiamo ad esempio con (, y) le coordinate di R 2 e sia R 2. Per ogni R sia := {y R (, y) } la fetta di sopra. Nel caso di un intervallo ]a, b] ]c, d] si ha { ]c, d] se ]a, b], := altrimenti. Dunque vale 0 se / ]a, b] e d c se ]a, b] e quindi b ( d ) L 2 (]a, b]) ]c, d]) = (b a)(d c) = dy d = a c b a d. Il teorema di Fubini estende l idea precedente a situazioni del tutto generali: insiemi misurabili arbitrari in spazi euclidei di ogni dimensione. Dividiamo le variabili in due gruppi, indicando con e y i punti rispettivamente in R n e R k, n, k, e con (, y) le coordinate nello spazio prodotto R n R k in cui stiamo lavorando. Sia un insieme in R n+k e, per ogni R n, sia } := {y R k (, y) la fetta di sopra riportata nel piano coordinato R k, cfr. la Figura 20.. Si ha 20. Teorema (Fubini). Sia un insieme L n+k -misurabile in R n+k. Allora (i) per quasi ogni l insieme R k è L k - misurabile, (ii) la funzione L k ( ), R n, è misurabile su R n, (iii) vale L n+k () = L k ( )d. R n L unica ipotesi richiesta è una proprietà qualitativa, la misurabilità di in R n+k, facile da verificare. Non vi sono ipotesi di finitezza e la tesi (iii) è una uguaglianza: ciascun lato dell uguaglianza può essere usato per calcolare l altro. Una utile variante del teorema di Fubini è data dalla 20.2 Teorema (Formula di riduzione). Sia f : R n+k R integrabile. Allora

3 L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II y 2 0 y Figura 20.. La fetta di sopra. (i) per quasi ogni la funzione ϕ (y) := f(, y), y, è L k -misurabile su, (ii) la funzione f(, y)dy, R n, è L n -misurabile, (iii) si ha ( ) f(, y)ddy = f(, y)dy d. R n Si noti che l unica ipotesi è l integrabilità di f. Ricordiamo che l integrabilità di f su è garantita ad esempio nei seguenti casi (i) f misurabile su e di segno costante, (ii) f sommabile su, (iii) f misurabile su, f itata e < +. In altri casi è sufficiente la misurabilità e l applicazione della stessa formula a f o a f + e f (che sono funzioni non negative) per decidere della integrabilità di f. La formula di riduzione riconduce il calcolo degli integrali doppi, i.e., degli integrali di funzioni di due variabili indipendenti, al calcolo in successione di due integrali in una variabile. L ordine di integrazione non è rilevante perché si hanno le due formule + ( ) f(, y)ddy = f(, y)dy d + ( ) f(, y)ddy = f(, y)d dy y dove = {y (, y) }, y = { (, y) }. In altre parole 20.3 Teorema (Tonelli). Sia f : R 2 R una funzione integrabile su. Allora i tre integrali + ( ) + ( ) f(, y)ddy, f(, y)dy d, f(, y)d dy y esistono tutti e sono uguali.

4 20. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II b Formula di cambiamento di variabili Per n 2 si prova che la misura esterna di Lebesgue L n è invariante per trasformazioni lineari ortogonali, e anzi, se T è una applicazione lineare da R n in R n, allora T manda misurabili in misurabili e L n (T()) = dett L n () R n. (20.) Non sono solo le funzioni lineari a mandare misurabili in misurabili e insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla. Anche le funzioni localmente lipschitziane, e quindi le funzioni C hanno la stessa proprietà. sistono però funzioni continue che non hanno questa proprietà. La formula in (20.) si estende ai diffeomorfismi, i.e., trasformazioni biunivoche di classe C con inversa di classe C. Si ha 20.4 Teorema (Formula di cambiamento di variabile). Sia A un aperto di R n e ϕ : A R n R n una mappa di classe C. Allora ϕ manda insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla e misurabili in misurabili. Inoltre, se A è misurabile e ϕ è iniettiva su, (i) si ha L n (ϕ()) = detdϕ() d, (ii) e, se f : ϕ() R è una funzione, f ϕ() detdϕ() è integrabile su se e solo se f è integrabile su ϕ() e f(ϕ()) detdϕ() d = ϕ() f(y)dy. Anche la formula del cambiamento di variabile è un uguaglianza, se si può calcolare uno dei due termini, si può calcolare l altro e sono uguali. Infine, notiamo esplicitamente che non c è alcun bisogno di supporre che detdϕ c Derivazione dell integrale Siano f, g : R n R funzioni sommabili non negative. Si vede subito che A f()d = A g()d A Rn se e solo se f() = g() quasi-ovunque, ma come caratterizzare f() in termini dell integrale, i.e., della mappa A A f()d? La teoria della differenziazione risponde a questa domanda che è centrale nella teoria della misura. Ovviamente, se f è continua in, allora il teorema della media integrale dà r 0 f(y)dy = f() B(, r) B(,r) In generale si ha il seguente teorema di derivazione.

5 L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II 20.5 Teorema (Lebesgue). Sia R n misurabile e f : R con f p d < +, p < +. Allora per quasi ogni si ha B(, r) B(,r) f(y) f() p dy 0 per r 0 +. In particolare per q.o. R n il ite per r 0 + f(y)dy r 0 B(, r) esiste finito e vale f(). B(,r) 20.6 sercizio. Sia f sommabile in ],[. Mostrare che per quasi ogni ], [, Z +r f(y) dy = f(). r 0 + 2r r 20.7 Definizione. Sia f : R n R una funzione sommabile su. Si chiamano punti di Lebesgue di f { L f := R n } λ R tale che f(y) λ dy 0 B(, r) B(,r) e per ogni L f si chiama rappresentante di Lebesgue di f la funzione λ f : L f R data da λ f () := f(y)dy. r 0 B(, r) B(,r) Segue immediatamente dal teorema di differenziazione 20.8 Teorema. R n \ L f = 0, λ f è definita e finita su L f e f = λ f quasi ovunque. Il teorema di differenziazione può estendersi ad oggetti più generali che le palle centrate. Si possono usare cubi centrati nel punto, o oggetti differenti. Ad esempio, sia A un insieme di misura positiva itato, per fissare le idee supponiamo che A B(0, 00) R n, A = c B. Per ogni R n e r > 0 sia A,r := + r A. videntemente A,r B(, 00 r) e A,r = r n A = c r n B = c B(, r). Si ha ancora 20.9 Teorema. Sia R f p d < +, R n misurabile. Allora per quasi ogni si ha Z f(y) f() p dy 0 per r 0 +. A,r A,r 20.0 sercizio. Sia f L (R). Mostrare che per quasi ogni R e anche r 0 + r Z r 0 f( + t) dt = r 0 + r r 0 + r Z 2r f( + t) dt = f() r Z 0 f( + t) dt = f() r

6 20. L integrale di Lebesgue: un breve riassunto, II 69 Concludiamo raccogliendo alcune conseguenze notevoli del teorema di derivazione. 20. Teorema (Vitali). Ogni funzione h : R R monotona è derivabile per quasi ogni R. h L ((a, b)) a, b R, h è non negativa se h è non decrescente e 0 y h (t)dt h(y) h() < y. Una funzione f : R R si dice assolutamente continua se per ogni ǫ > 0 esiste δ > 0 tale che se { k }, {y k } sono tali che k= k y k < δ allora k= f( k) f(y k ) < ǫ Teorema (Vitali). Una funzione f : [a, b] R è assolutamente continua su [a, b] se e solo se f è derivabile per quasi ogni [a, b], f () L ([a, b]) e f(y) f() = y f (s)ds, y [a, b], < y. ssendo evidentemente le funzioni f : R R lipschitziane assolutamente continue, segue dal Teorema 20.2 che le funzioni lipschitziane di una variabile sono derivabili quasi ovunque. Si prova anche 20.3 Teorema (Rademacher). Sia f : R n R una funzione lipschitziana. Allora f è differenziabile in quasi ogni punto R n, Df() è misurabile e Df() Lip(f) per quasi ogni R n.