Analisi Matematica II

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1 Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II Esercizi sugli spazi metrici, normati, iti e continuità Versione del 27/0/206 Esercizi di base Esercizio. (Giusti 20. Dire se le seguenti funzioni sono distanze in R { 3 y 3 se y y 2 + y, 5. min{ y, }, y se < y, 2. y + 3 y 3 y, 4., 6. ( + y y, + y 7. y. Esercizio 2. La funzione d(, y = d 2 2 (, y = ( y 2 + ( 2 y 2 2 è una distanza in R 2? Esercizio 3. (in parte, Giusti 20.5 Sia d distanza su X. Provare che δ(, y = min{d(, y, } definisce un altra distanza su X. Verificare che d e δ sono distanze equivalenti. Dimostrare che d e δ sono Lipschitz equivalenti se e solo se X è itato rispetto alla distanza d. Esercizio 4. (Giusti 20.8 Dimostrare che d(, y = è una distanza in X = ]0, ]. y Esercizio 5. Provare che le distanze del pettine e del riccio sono effettivamente due distanze in R 2. Esercizio 6. Si verifichi la validità dei seguenti iti: sen y (,y (0,0 (e =, y (,y (2 + 3y 2 y = +, = 0, (,y (, y 2 (,y (, y. Esercizio 7. Studiare l esistenza e l eventuale valore dei seguenti iti: (,y (0,0 2 + y y 2 +, ( + (,y (0,0 2 y y 2 (,y (0,0 4 + y 4, 2 +y 2, (,y (0,0 2 log( 2 + y 2, (,y (0,0 (,y (0,0 4 y 4 (,y (0,0 4 + y 4, (,y cos( 2 + y 2 ( 2 + y 2, y + y, 3 + y 2 (,y (0,0 3 + y, cos y, y (,y (0, y 2.

2 Esercizio 8. Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare il dominio E e dire se è aperto, chiuso, itato o ilitato. Determinare la frontiera e l interno del dominio. Studiare la continuità della funzione e, ove possibile, discutere l eventuale prolungamento per continuità in qualche punto di E \ E. (, f (, y = arctg 2 + y 2, f 2 (, y = arctg 2 y 2 ( 2 + y 2 f 3 (, y = sen y 2 y,, f 4 (, y = arctg f 5 (, y = arctg ( /y y/, f 6 (, y = y, ( f 7 (, y = f 8(, y = arctg f 9 (, y = sen(y, f 0 (, y = y f (, y, z = z log(y, f 2(, y, z = f 3 (, y, z = ( + y sen sen y, f 4(, y, z = Esercizio 9. Verificare che la funzione f : R 2 R sen(y se 0 f(, y = y se = 0 è lipschitziana in R 2. ( y log(y 2 y 2, 2 y, log(log / log y, z 2 log( + y, z 2 log( + y. Esercizi di base di carattere teorico Esercizio. Sia dato uno spazio metrico (X, d, siano E, F X e si denoti con FrE la frontiera dell insieme E. Dimostrare che a l intersezione tra due aperti e un aperto, l unione di due chiusi è un chiuso; b se E F allora E F, come anche int E int F ; c E è chiuso se e solo se E = E; d E = E FrE; e E F = E F, int(e F = int(e int(e, mentre in generale E F E F, int(e F int(e int(e (dare esempi in cui vale l inclusione stretta. Esercizio 2. Dimostrare che le palle aperte (rispet. chiuse in uno spazio metrico sono insiemi aperti (risp. chiusi. Esercizio 3. Provare che in un generico spazio metrico X la chiusura di una palla aperta potrebbe non coincidere con la palla chiusa dello stesso raggio, ovvero che per qualche o X, R > 0, potrebbe accadere B( o, R B( o, R]. Dimostrare, invece, che in uno spazio normato X vale sempre B( o, R = B( o, R]. Esercizio 4. (Giusti 20.4 Sia E X, con X spazio metrico. Dimostrare che diam E = diam E. 2

3 Esercizio 5. (in parte, Giusti 20. Dimostrare che f : X Y (X, Y metrici è continua se e solo se le controimmagini degli aperti di Y sono aperti in X, se e solo se le controimmagini dei chiusi di Y sono chiusi di X. Esercizio 6. Sia (X, d spazio metrico, E X. Dimostrare che E è chiuso in X se e solo se E è chiuso per successioni, cioè se per ogni successione ( n di elementi di E tale che n o X si ha necessariamente o E. Esercizio 7. (Giusti 20.3 Sia (X, d spazio metrico completo, E X. spazio metrico completo se e solo se E è chiuso. Dimostrare che E è Esercizio 8. Sia ( n una successione in X spazio metrico e sia o X. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti: a ( n converge a o ; b ogni sottosuccessione ( nk converge a o ; c ogni sottosuccessione ( nk ammette una sotto-sottosuccessione ( nkh convergente a o. Esercizio 9. (in parte, Giusti, Teorema 20.7 Sia data f : E X Y funzione tra due spazi metrici X, Y. a Provare che f è continua in o E se e solo se per ogni successione n convergente a o in X, la successione f( n converge a f( o in Y ; b più in generale, per o DE ed l Y, dimostrare che vale o f( = l se e solo se per ogni successione n o in X, con o n E n, vale n + f( n = l. Esercizio 0. Dimostrare che le funzioni lipschitziane/hölderiane tra spazi metrici sono continue. Dimostrare che sono anche uniformemente continue. Esercizio. Siano d e δ due distanze su X. Verificare le seguenti affermazioni: i d e δ sono equivalenti se e solo se la mappa identità Id : (X, δ (X, d è continua insieme alla sua inversa (che è l identità Id : (X, d (X, δ; ii d e δ sono uniformemente equivalenti se e solo se la mappa Id : (X, δ (X, d è uniformemente continua insieme alla sua inversa; iii d e δ sono Lipschitz equivalenti se e solo se la mappa Id : (X, δ (X, d è lipschitziana con inversa lipschitziana. Esercizio 2. Siano date d e δ distanze Lipschitz equivalenti su X e sia ( n successione in X. Dimostrare che ( n è di Cauchy in (X, d se e solo se ( n è di Cauchy in (X, δ. Esercizio 3. Siano d, δ distanze uniformemente equivalenti su X e sia ( n successione in X. Dimostrare che ( n è di Cauchy in (X, d se e solo se ( n è di Cauchy in (X, δ. Esercizio 4. (Giusti 20.4 Posto X = ]0, ], d(, y =, dimostrare che lo spazio metrico y (X, d è completo. Dimostrare inoltre che la distanza d è equivalente alla distanza classica d e (, y = y. Esercizio 5. Sia (X, d spazio metrico completo e sia C C 2 una successione di chiusi non vuoti (N.B.: non si richiede che diam C n 0. Verificare che n C n potrebbe essere vuoto. 3

4 Esercizi avanzati Esercizio. Sia (X, d spazio metrico. Dimostrare che la funzione δ(, y = d(, y + d(, y,, y X definisce una distanza in X. Verificare che X è itato nella metrica δ e che δ e d sono metriche equivalenti. Dedurre che la itatezza è una proprietà metrica e non topologica. Esercizio 2. Dati (X, d, (X 2, d 2 spazi metrici, per ogni = (, 2, y = (y, y 2 X X 2 si definiscano δ (, y = ma{d (, y, d 2 ( 2, y 2 }, δ 2 (, y = d 2 (, y + d 2 2 ( 2, y 2. Verificare che (X X 2, δ i, i =, 2, è spazio metrico e che δ, δ 2 sono distanze equivalenti. Dimostrare infine che, dato (X, d metrico, la funzione d : X X R è una funzione continua. Esercizio 3. Siano date d e d 2 distanze su X. Dimostrare che d(, y = ma{d (, y, d 2 (, y} è ancora una distanza in X, mentre ciò non è detto per δ(, y = min{d (, y, d 2 (, y}. Più in generale, data (d α α J collezione di distanze su X, allora i. la funzione d S (, y = sup{d α (, y : α J}, se ovunque finita, è una distanza; ii. verificare che in i. è necessario aggiungere l ipotesi di finitezza in quanto potrebbe accadere che d S (, y = + (fornire un esempio; iii. nel caso J = N, se (d n (, y n N è una successione monotona decrescente per ogni, y X, allora la funzione d I (, y = inf{d n (, y : n N}, se non nulla per y, è una distanza; iv. verificare che le ipotesi sono necessarie in quanto potrebbe essere d I (, y = 0 oppure d I potrebbe non verificare la disuguaglianza triangolare; v. estendere iii. al caso più generale in cui esiste il ite d (, y = n + d n (, y. Applicare i risultati al caso delle distanze d p ( p + in R n. Esercizio 4. Si consideri la seguente funzione f : R 2 R definita da f( = f ( (, 2 { se 2 / Q, 0 := altrimenti, dove := è la norma euclidea di. Si verifichi che a f è continua in ogni punto se R 2 viene munito della distanza del riccio; b f è continua in 0 e discontinua in ogni 0 se R 2 viene munito della distanza euclidea; c concludere che la distanza euclidea e quella del riccio non sono equivalenti. Esercizio 5. (Giusti 20.5 Dimostrare che una successione f k in B(X, Y converge uniformemente a una funzione f se e solo se per ogni successione k X si ha d Y (f k ( k, f( k 0 per k +. Esercizio 6. (si veda anche Giusti 20.5 Siano f, f k C b (X, Y. Si dice che f k tende uniformemente a f sui compatti di X se per ogni compatto K X la successione f k tende uniformemente a f in C b (K, Y. Dimostrare che f k tende uniformemente a f sui compatti di X se e solo se per ogni successione k X con k o si ha f k ( k f( o per k +. 4

5 Esercizio 7. Siano d e d I la distanza uniforme e la distanza integrale su C([0, ]. Dimostrare che d I (f, g d (f, g ma che tuttavia le due distanze non sono Lipschitz equivalenti, cioè che non esiste β > 0 tale che d (f, g β d I (f, g per ogni f, g C([0, ]. Esercizio 8. (in parte, Giusti 20.0 Sia X = C([0, ] e siano d e d I la distanza uniforme e la distanza integrale; si definisca F : X X, f F (f mediante la posizione F (f( := f(. a Dimostrare che le mappe F : (X, d (X, d, F : (X, d I (X, d I, come anche F : (X, d (X, d I sono continue; b verificare che invece F : (X, d I (X, d non è continua; c utilizzare b per dimostrare che d I e d non sono distanze equivalenti. Esercizio 9. Sia (X, d spazio metrico e si definisca L = Lip(X := { f : X R, f lipschitziana }, { } f( f(y Lip(f := sup :, y X, y. d(, y Verificare che L è uno spazio vettoriale. Fissato o X e posto δ(f, g = f( o g( o + Lip(f g, dimostrare che (L, δ è spazio metrico completo. Nel caso in cui X è compatto, si ponga anche δ u (f, g = sup f( g( + Lip(f g. X Dimostrare che anche (L, δ u è spazio metrico completo. La due distanze sono equivalenti? Posto più in generale C 0,α (X = { f : X R, f hölderiana di esponente α }, { } f( f(y h α (f := sup d(, y α :, y X, y, δ α (f, g = f( o g( o + h α (f g, con o X fissato, dimostrare che (C 0,α (X, δ α è spazio metrico completo. Esercizio 0. Con riferimento alle notazioni dell Esercizio 9, si verifichi che le posizioni f = f( o + Lip(f, f u = f + Lip(f, f α = f( o + h α (f, definiscono tre norme su, rispettivamente, Lip(X la prima, Lip(X con X compatto la seconda, C 0,α (X la terza. Tali norme inducono, rispettivamente, la distanze δ, δ u e δ α. Esercizio. Sia f n : [a, b] R, n N, una successione di funzioni continue tali che: i f n converge uniformemente a f in ogni intervallo [a + δ, b] con 0 < δ < b a; ii {f n } sono uniformemente itate in un intorno destro di a. Dimostrare che b a f n( d b a f( d se n +. Verificare che il risultato non è più vero se si toglie l ipotesi ii. 5

6 Esercizio 2. Sia A un insieme non vuoto e si definisca l 2 (A := { f : A R : f(a 2 < + }. Si può verificare che se f l 2 (A allora l insieme {a A : f(a 0} è al più numerabile, dunque la somma a A è in realtà una serie. Nel caso A = N, l2 (N coincide con l insieme delle successioni di numeri reali (a n a quadrato sommabile cioè tali che la serie di termine generale a 2 n è convergente. Per f, g l 2 (A si ponga ora a A (f, g 2 = a A f(ag(a. Dimostrare che ( l 2 (A, (, 2 è uno spazio di Hilbert. Verificare che una base ortonormale è data dalle funzioni {e i ( } i A definite da e i (a = δ i,a, con δ i,a delta di Kronecker, perciò la cardinalità della base coincide con la cardinalità di A. (Si potrebbe verificare che l 2 (A, al variare di A, fornisce tutti i possibili spazi di Hilbert su R, a meno di omeomorfismi che conservano il prodotto scalare. Esercizio 3. (distanza da un punto e da un insieme Sia (X, d X spazio metrico, o X, E X. Allora a la funzione f o : X R data da f o ( := d X (, o è lipschitziana di costante Lip(f o ; b la funzione f E : X R definita da f E ( := d(, E := inf { d X (, y : y E } è lipschitziana di costante Lip(f E ; c si ha d(, E = 0 se e solo se E. Esercizio 4. (continuità per multifunzioni Una multifunzione da X in Y è un applicazione F : X 2 Y. Si vuole introdurre un concetto di continuità per tali funzioni. Si supponga che (X, d X, (Y, d Y siano spazi metrici; si vorrebbe definire una metrica su 2 Y. Si ponga Se A, B sono elementi di K(Y si definiscano K(Y := { A Y : A chiuso e itato }. δ(a, B := sup { d(a, B : a A } + sup { d(b, A : b B } =: sup d(a, B + sup d(b, A a A b B (si veda l Esercizio 3 per la definizione e le proprietà di d(a, B e la distanza di Hausdorff { } δ H (A, B := ma sup d(a, B, sup d(b, A. a A b B Verificare che δ e δ H sono due distanze equivalenti su K(Y. Le distanze δ e δ H permettono di introdurre il concetto di continuità per multifunzioni, almeno se F : X K(Y, cioè per multifunzioni a valori chiusi e itati. Provare che invece δ e δ H non definiscono delle distanze su { A Y : A itato }, né su { A Y : A chiuso } (né tantomeno nell insieme delle parti 2 Y, perché? Esercizio 5. Sia X un insieme e sia δ : X X [0, + ] un applicazione tale che (i δ(, y = 0 = y, (ii δ(, y = δ(y,, per ogni, y X, (ii δ(, y δ(, z + δ(z, y, per ogni, y, z X. 6

7 Si osservi che δ non è una distanza su X perché può assumere il valore +. Per ogni, y X si ponga δ(, y, se δ(, y < +, δ(, y = + δ(, y, altrimenti. a Verificare che δ definisce una distanza su X. b Sia E X un sottoinsieme tale che, y E si abbia δ(, y <. Allora δ ristretta su E definisce una distanza in E. Verificare che δ e δ sono distanze equivalenti in E. c Utilizzare a per definire una distanza sull insieme C(R 2 := { A R 2 : A chiuso }. Esercizio 6. Sia k [0, + [ e siano = (, 2, y = (y, y 2 due generici punti di R 2. Si definisca d k (, y = ma { k y + 2 y 2, 2 + k y y 2 }. a Verificare che k > 0, d k definisce una distanza su R 2. b Disegnare B k (0; ] = { R 2 : d k (, 0 }, la palla chiusa di centro 0 e raggio per la distanza d k. (Suggerimento: distinguere i casi k = 0,, oppure k > oppure 0 < k <. Osservare che per k = 0, si riottengono due distanze conosciute. Quali? c Dire per quali valori di k, la distanza d k è equivalente alla distanza euclidea d e su R 2. d Verificare che k > 0, B k (0; ] è un chiuso e itato nella topologia euclidea di R 2. e Sia K(R 2 = { A R 2 : A chiuso e itato }. È noto che K(R2 è uno spazio metrico con la distanza di Hausdorff δ H (si veda l Esercizio 4. Si consideri l applicazione tra spazi metrici F : [0, + [ K(R 2 definita da F (k = B k (0; ]. (i Verificare che F è continua, anzi, Lipschitziana. Più precisamente verificare che per ogni 0 h, k vale per ogni h, k vale mentre se h < k si ha ( 2 δ H F (k, F (h k h, ( + k( + h ( { 2 δ H F (k, F (h ma ( + k( + h, } k h, hk ( { 2 k h k } { 2 δ H F (k, F (h ma, ma ( + k( + h k ( + k( + h, } k h. k Dedurre che F è Lipschitziana con costante di Lipschitz minore o uguale a 2; (ii calcolare il k + F (k. Esercizio 7. Sia k [0, + [ e siano = (, 2, y = (y, y 2 due generici punti di R 2. Definiamo d k (, y = ma { k( y + ( 2 y 2, ( y + k( 2 y 2 }. a Si dica per quali valori di k, la funzione d k definisce una distanza su R 2 e si disegni la palla chiusa B k (0; ]. Verificare che B k (0; ] è chiuso nella topologia euclidea di R 2. Trovare infine per quali k, d k è equivalente alla distanza euclidea di R 2. b Sia ora E l insieme dei valori k per cui d k non è una distanza e si fissi un k E. (i Verificare che la collezione d insiemi U( = {U R 2 : r > 0, B k (, r U}, al variare di R 2, costituisce la famiglia degli intorni per una topologia su R 2. 7

8 (ii Dire se la topologia ottenuta è metrizzabile, cioè se esiste una distanza su R 2 per cui U( è la famiglia di intorni corrispondente (chiaramente non può essere metrizzata con d k perché non è una distanza, ma a priori potrebbe esistere un altra metrica che induce la topologia. Esercizio 8. Sia C(R 2 = { A R 2 : A chiuso }. Per o R 2 fissato si ponga B k = B e ( o, k], con k N, e A, C C(R 2 si definisca δ o (A, C := k= 2 k min {, δ H (A B k, C B k }, con la convenzione che δ H (, A = δ H (A, = δ H (, = 0 per ogni insieme A. a Verificare che δ o definisce una distanza su C(R 2 (in un certo senso questa distanza è localizzata rispetto a o, nel senso che si pesano sempre meno le parti degli insiemi A e C che sono via via più lontane da o ; b fissato o = (0, 0 e con riferimento all Esercizio 7, spiegare (ed eventualmente provare perché la mappa F : [0, [ K(R 2 data da F (k = B k (0, ] è continua se in K(R 2 si scelgono indipendentemente la metrica δ H oppure δ o, ma k F (k non esiste se si sceglie δ H mentre k F (k = B (0, ] se si sceglie la distanza δ o (dunque F : [0, ] C(R 2 è continua se in C(R 2 si sceglie la distanza δ o. Esercizio 9. Sia p ]0, [. a Si dimostri la disuguaglianza + t ( + t p /p, t [0, ]. Si deduca che a, b 0 vale (a + b p a p + b p. b Si utilizzi il risultato di a per verificare che la posizione δ p (, y = y p + 2 y 2 p, dove = (, 2, y = (y, y 2 R 2, definisce una distanza su R 2. approssimativamente la palla B p (0, ] = { R 2 : δ p (, 0 }. c Dire per quali valori di p la distanza δ p è equivalente alla distanza euclidea d e. Disegnare (anche d Sia F : ]0, [ K(R 2 definita da F (p = B p (0, ]. Si calcoli il ite p 0 F (p e lo si indichi con B 0 (0, ]. Dire se B 0 (0, ] è aperto oppure chiuso in ( R 2, d e. Allo stesso modo si può definire B 0 (, r] = p 0 B p (, r]. (i Sia (E, d uno spazio metrico. Provare che E = r>0 B E (0, r = r>0 B E (0, r]. (ii Dedurre dal punto (a che { B 0 (0; ρ] : ρ > 0 } non può essere l insieme delle palle chiuse centrate nell origine per qualche distanza su R 2. (iii Dire se { B 0 (, r : r > 0 } può essere una base d intorni di un generico punto per una topologia su R 2 (per cui gli intorni del punto sono soprainsiemi degli insiemi della base. 8