PROVE PARZIALI DEL CORSO DI ANALISI FUNZIONALE CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA APPLICATA A.A

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1 POVE PAZIALI DEL COSO DI ANALISI FUNZIONALE COSO DI LAUEA MAGISTALE IN MATEMATICA APPLICATA A.A SISTO BALDO, GIANDOMENICO OLANDI E ANTONIO MAIGONDA 1. Prima prova parziale Esercizio 1. Sia {E n } n N è una successione decrescente di insiemi misurabili secondo Lebesgue, cioè E n+1 E n. Si provi che se E 1 ha misura finita, allora m( E n ) = m(e n ). Mostrare con un esempio che l enunciato può essere falso quando m(e 1 ) =. Esercizio 2. Siano f : misurabile secondo Lebesgue, g funzione continua definita su. Dimostrare che: (1) per ogni α l insieme {x : f(x) = α} è misurabile. (2) g f è misurabile. Esercizio 3. Dimostrare che un insieme E è misurabile secondo Lebesgue se e solo se la sua funzione caratteristica χ E è misurabile. Esercizio 4. Si provi il Lemma di iemann-lebesgue: data f L 1 () allora f(t)e iαt dt =. α ± Esercizio 5. Sia g k (x) = k/π, k N \ {}. Si verifichi che: 1 + k 2 x2 (1) g k > e g k (x) dx = 1; (2) per ogni ε > si ha che g k converge uniformemente a zero su {x : x > ε}; (3) per ogni funzione continua e itata f vale g k (x)f(x) dx = f(). k + Esercizio 6. Si dica per quali valori α > è sommabile su [, + [ la funzione 1 F α (x) = x α + k. α k=1 Esercizio 7. Per ogni k N \ {} sia f k (x) = k 3 (x k) 2 χ [k 1/k,k+1/k] (x). Verificare che f k converge uniformemente a zero sui compatti di, tuttavia f k(x) dx f k (x) dx. k k Esercizio 8. Si provi che per 1 p < r < si ha l p l r l con inclusione propria. Esercizio 9. c l p con inclusione propria, e c è denso in l p rispetto alla norma di l p. 1

2 2 SISTO BALDO, GIANDOMENICO OLANDI E ANTONIO MAIGONDA Esercizio 1. l p c l con inclusioni proprie e c è la chiusura di c rispetto alla norma di l. Esercizio 11. Sia {(x (n) k ) k N : n N} una successione in l p convergente a (x k ) k N in l p. Si dica, motivando la risposta, se tale successione converge a (x k ) k N in l. Esercizio 12. Si provino i seguenti fatti: (1) Il duale di l 1 è l. (2) Il duale di l contiene l 1. Vale l uguaglianza? Esercizio 13. Sia (X, Σ, µ) uno spazio con misura. Sia f L p (X), ovvero X f p dµ < +. Si provi la Disuguaglianza di Chebyshov: per ogni α >, posto X α = {x X : f(x) > α}, si ha: ( ) p f L p µ(x α ). α Esercizio 14. Sia (X, Σ, µ) uno spazio con misura, p 1. Supponiamo che f : X C sia misurabile e che f L p (X) per ogni p > p. Si provi che esiste (finito o infinito) il f L p p e si ha f L p = f L. p Esercizio 15. Sia 1 p, α \ {} fissato e si consideri il sottospazio vettoriale G di 2 definito da G = {}. Si consideri su 2 la norma p definita per ogni (x 1, x 2 ) 2 da { ( x 1 p + x 2 p ) 1/p se 1 p, (x 1, x 2 ) p = max{ x 1, x 2 } se p =. Si consideri il funzionale T : (G, p ) definito da T (x 1, ) = αx 1. Si descrivano le estensioni lineari e continue T di T a tutto lo spazio ( 2, p ) che abbiano la stessa norma di T. Esercizio 16. Sia X spazio normato, f : X {± }. Allora f è s.c.i. se e solo se epi(f) è chiuso in X, inoltre f è s.c.i. se e solo se f è s.c.s. Esercizio 17. Sia X uno spazio vettoriale normato. C X un insieme convesso non vuoto. Si provi che C è convesso e int(c) è convesso se non vuoto. Inoltre C = int(c) se int(c). Esercizio 18. Sia X è spazio vettoriale e {C λ } λ Λ è famiglia arbitraria di convessi, C = λ Λ C λ. Allora se C si ha che C è convesso. Esercizio 19. Sia X normato, G sottospazio di X, g : G lineare e continua. Allora l insieme: F := { f : X lineare e continua tale che f G = f e f = f } è convesso. In particolare, se g ammette due estensioni, allora ne ammette infinite. Esercizio 2. Sia X normato. Si mostri con un esempio che in generale, dato p X, può non esistere q B := {x X : x = 1} tale per cui p X = p(q).

3 POVE IN ITINEE 3 Esercizio 21. Sia f : [, 1] una funzione tale per cui per ogni x [, 1] esiste ed è finito f(y). y x Dimostrare che l insieme di discontinuità di f è al più numerabile. Sia poi A [, 1] un insieme numerabile; fare un esempio di funzione f : [, 1] che soddisfa la proprietà precedente, che è discontinua in A e continua in [, 1] \ A. Esercizio 22. Sia X uno spazio di Banach, C X un insieme convesso e fortemente chiuso (cioè chiuso nella topologia indotta dalla norma). Allora C è debolmente sequenzialmente chiuso: se x X è ite debole di una successione a valori in C, allora x C. Esercizio 23. Se X è uno spazio di Banach e F : X è una funzione convessa e continua, allora F è (sequenzialmente) debolmente semicontinua inferiormente: per ogni successione x n x si ha F (x) inf n + F (x n). Esercizio 24. Se X è uno spazio di Banach riflessivo, C un convesso chiuso non vuoto e x X, mostrare che esiste un elemento di C di distanza minima da x. Tale elemento è necessariamente unico? 2. Seconda prova parziale Esercizio 25. Sia H spazio di Hilbert, K sottinsieme di H chiuso convesso non vuoto, π K (x) la proiezione di x X su K. Si provi che: (1) dato x H, vale la seguente caratterizzazione: {π K (x)} = {y K : x y, z y H per ogni z K}; (2) la mappa x π K (x) è Lipschitziana di costante 1; (3) K possiede un unico elemento di norma minima. (4) Se V H è un sottospazio chiuso di H, allora e inoltre π V è lineare. {π K (x)} = {y V : x y, v H = per ogni v V }; Esercizio 26. Sia H uno spazio di Hilbert, S un sottinsieme non vuoto di H. (1) Si enunci la definizione di S. (2) Si dica chi è S nel caso H = l 2 e S definito da: (a) S = T 1 (H), dove T 1 (x 1, x 2,..., x n,...) = (, x 2 2,, x 4 4,,...). (b) S = T 2 (H), dove T 2 (x 1, x 2,..., x n,...) = (x 1, x 2 2, x 3, x 4 4,...). (c) S = T 3 (H), dove T 3 (x 1, x 2,..., x n,...) = (, x 1, x 2,..., x n 1,...). (d) S = {x l 2 : x l 2 = 1}. Le risposte vanno giustificate. Esercizio 27. Sia u n una base di Hilbert di spazio di Hilbert H. ortonormale tale che + n=1 Si provi che anche v n è una base di Hilbert. u n v n 2 H < 1 Sia v n una successione

4 4 SISTO BALDO, GIANDOMENICO OLANDI E ANTONIO MAIGONDA Esercizio 28. isolvere il seguente problema agli autovalori 2π cos(x + t)u(t)dt λu(x) =. Esercizio 29. Sia V : L 2 (, 1) L 2 (, 1) l operatore lineare definito ponendo (V f)(x) = x f(t)dt, x [, 1]. (1) Calcolare esplicitamente l operatore aggiunto V ; (2) calcolare esplicitamente l operatore V V ; (3) verificare che V, V e V V sono compatti. Esercizio 3. Sia V : L 2 (, 1) L 2 (, 1) l operatore lineare definito ponendo (V f)(x) = x f(t)dt, x [, 1]. Si consideri l operatore aggiunto V e l operatore V V le cui espressioni sono date da: 1 1 ( t ) V (g)(t) = g(x) dx, V V (f)(x) = f(s) ds dt. t (1) Determinare tutte le autofunzioni dell operatore V V ; (2) provare che V 2/π; (3) è vero che V = 2/π? Esercizio 31. Si consideri la seguente equazione differenziale con condizioni al contorno di tipo Neumann: ( ) u D + u = e x, u () = u (1) =. x Si stabilisca se il problema ammette un unica soluzione e in caso affermativo la si caratterizzi come minimo di un opportuno funzionale integrale. Esercizio 32. Si provi che per λ > 1 l equazione integrale nell incognita f C ([, 1]) 1 ha soluzione per ogni g C ([, 1]) assegnata. e st f(t)dt λf(s) = g(s) Esercizio 33. Sia T : L 2 (, 1) L 2 (, 1) l operatore definito da: T f(t) = 1 k(t, s)f(s) ds, x k(t, s) = min{t, s}. Si provi che L 2 (, 1) ha una base costituita da autofunzioni di T. Considerando l operatore Af = f definito su D A = {f H 2 (, 1) : f() = f (1) = }, si trovi una tale base. Esercizio 34. Consideriamo l equazione integrale per λ : dove (T u)(t) = 1 λu(t) (T u)(t) = f(t), k(t, s)u(s) ds, k(t, s) = n ϕ i (t)ψ i (s), i=1

5 POVE IN ITINEE 5 con ϕ 1,..., ϕ n linearmente indipendenti in L 2. Si dica per quali λ C l equazione ammette soluzione per ogni f L 2 (, 1) e per tali valori si scriva esplicitamente la soluzione. Esercizio 35. Si consideri in L 2 (, π) l operatore di Sturm-Liouville A : D A L 2 L 2 definito da Au = u dove D A = {u H 2 (, π) : u() + u () =, u(π) + u (π) = }. (1) Si determinino gli autovalori di A; (2) Si determini la funzione di Green k(t, s) dell operatore; (3) Si determini lo spettro di T f(t) = e si scriva T in forma diagonale. π k(t, s)f(s) ds, Esercizio 36. Sia f : una funzione localmente sommabile su e tale che: f(y) f(x) y x 2 L 1 ( ). (1) Provare che esiste una successione h n + tale che f(x + h n ) f(x) dx =. n h n (2) Dedurre che f è una funzione costante quasi ovunque. [Suggerimento: si consideri la convoluzione 1 h ρ h f dove ρ h è la funzione caratteristica di [ h, ], h >.] Esercizio 37. Sia N 2, f C 1 ([, + [) e poniamo u(x) = f( x ) per ogni x N. (1) Si trovino condizioni necessarie e sufficienti per f affinchè u W 1,p ( n ), 1 p <. (2) Sia a >. Si provi che per r > si ha: (r 2a f 2 (r)) [(r a f(r)) ] 2 +(r a f(r)) 2 = r 2a [(f (r)) 2 +f 2 (r)]+a(r 2a 1 f 2 (r)) a(a 1)r 2a 2 f 2 (r), (3) Si provi che per ogni N 3, N N e per ogni r > N 1 si ha r N 1 f 2 (r) 2 (4) Si provi che per ogni r > 1, rf 2 (r) 2 r + (5) Si provi che se u W 1,2 ( N ), N 2 allora u(x) per ogni x N con x > N 1. r t N 1 [(f (t)) 2 + f 2 (t)] dt, t[(f (t)) 2 + f 2 (t)] dt, C(N) x (N 1)/2 u W 1,2 ( N ) Esercizio 38. Si provi che: (1) se f L 1 loc () allora la posizione T f, ϕ := f(x)ϕ(x) dx per ogni ϕ C c () definisce una distribuzione T f D, il che permette di identificare L 1 loc () ad un sottospazio di D mediante la mappa J : L 1 loc () D data da J(f) = T f ;

6 6 SISTO BALDO, GIANDOMENICO OLANDI E ANTONIO MAIGONDA (2) δ D \ J(L 1 loc ()); (3) T D è tale per cui tt = se e solo se T = cδ, c. Esercizio 39. Sia T la distribuzione associata alla funzione f L 1 loc () definita da f(x) = log x. Si provi che: (1) vale la seguente rappresentazione: T ϕ(x), ϕ = ε + \[ ε,ε] x dx. (2) sia S D. Allora ts = 1 se e solo se S = cδ + T, c. Esercizio 4. Sia τ > e poniamo ω = 2π/τ. Il nucleo di Dirichlet di ordine m e periodo τ è m definito da: D m (ωt) = e ikωt. Si provi che nel senso delle distribuzioni D m τ τ dove τ = m m k= m k= m δ (kτ) è la distribuzione nota come pettine di Dirac di passo τ. Il risultato si esprime nella formula sommatoria di Poisson: + k= e ikωt = τ + k= δ (kτ) Esercizio 41. Si calcolino le seguenti distribuzioni: d a.) dx f a,b, con f a,b (x) = H(x) log ax + H( x) log bx, a >, b > ; b.) e t δ. Esercizio 42. Studiare la convergenza (puntuale, in L 1 (), in L 2 (),in D ()) della successione di funzioni definita da { n 2 sin(nt) se t ] π u n (t) :=, π n n[, altrimenti. Esercizio 43. Calcolare il ite nel senso delle distribuzioni: con u n := n(δ(t 1/n) δ(t + 5/n)). n + u n Dipartimento di Informatica, Università di Verona Strada Le Grazie 15 - I Verona, Italy.