Teoria della misura Esercizi. 1. Teoremi di convergenza sotto il segno di integrale. n 1 + n 2 x 2. f n (x) =

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1 Teoria della misura Esercizi 1. Teoremi di convergenza sotto il segno di integrale Esercizio 1. Calcolare il Per ogni intero positivo n sia f n : R + R la funzione definita da n 1 + n 2 x 2. lim f n (x) dλ 1 (x) a nei casi a >, a =, a < (suggerimento R (1 + y2 ) 1 dλ 1 (x) = π). Esercizio 2. Per ogni intero positivo n sia f n : [, π] R definita da ( 1 n + sin x ) n. (i) Studiare la convergenza puntuale di {f n } su [, π] e determinare i sottoinsiemi di [, π] dove si ha convergenza uniforme. (ii) Calcolare il limite π lim f n (x) dλ 1 (x). Esercizio 3. Per ogni intero positivo n sia f n : [, + ) R definita dalla formula x 1 + x e x n. (i) Disegnare sommariamente i grafici delle funzioni f n e studiare la convergenza puntuale di {f n } su [, + ). (ii) Verificare se {f n } converge uniformemente in [, + ) oppure in [, 1]. (iii) Determinare per quali n N, f n è in L 1 ([, + ), λ 1 ). (iv) Calcolare, qualora esistano, i limiti lim f n (x) dλ 1 (x) e lim f n (x) e x dλ 1 (x).

2 Esercizio 4. Sia ϕ : R R la funzione definita da ϕ(x) = x 2. Per ogni intero positivo n sia f n : R R la funzione definita da ϕ(n 2 x n). (i) Disegnare sommariamente i grafici delle funzioni f n e studiare la convergenza puntuale di {f n } su R; (ii) calcolare il limite seguente: lim arctan(n 4 x) f n (x) dλ 1 (x) R (può essere utile effettuare un cambio di variabile nell integrale); (iii) utilizzando l analisi svolta al punto (ii), mostrare che la serie arctan(n 4 x) f n (x) n=1 converge puntualmente e in L 1 (R). Esercizio 5. Per ogni intero positivo n sia f n : (, 2) R, definita da arctan(nx) n x 2 x. (i) Calcolare il lim 2 1 f n dλ 1. (ii) Calcolare il lim f n dλ 1. Esercizio 6. Per ogni intero positivo n sia f n : R R definita da [ (x 1) e nx] n. (i) Disegnare sommariamente i grafici delle funzioni f n e studiare la convergenza puntuale di {f n } su R. (ii) Mostrare che { f n } è una successione monotona sull intervallo (, ]. (iii) Calcolare, qualora esistano, i limiti seguenti: lim f n (x) dλ 1 (x) lim f n (x) dλ 1 (x) 1

3 (per il secondo limite può essere utile tenere tenere conto del punto (ii)). (iv) Stabilire se la somma della serie n=1 f n è in L 1 (R + ). Esercizio 7. Per ogni numero reale a, sia g a la somma puntuale della serie n=2 ( 1) n (log n) a 1 [,1/n), dove 1 [,1/n) indica la funzione indicatrice dell intervallo [, 1/n). (i) Utilizzando le proprietà delle serie a segno alterno, dimostrare che se a, allora g a è non negativa; (ii) per ogni N 2 si osservi che la restrizione di g a sull intervallo [1/(N + 1), 1/N) è una funzione costante, che è somma di un numero finito di termini della serie. Calcolare, poi, l integrale di g a sull intervallo [1/(N + 1), 1/N); (iii) utilizzando (ii), dimostrare che g a appartiene a L 1 (λ 1 ) per ogni a e che la serie ( 1) n n=2 (log n) 1 a [,1/n) converge a g a in L 1 (λ 1 ). Cosa si può dire se a <? Esercizio 8. Per ogni intero positivo n sia f n : R + R definita da x arctan(nx) x 2 + n 2 x 3. (i) Studiare la convergenza puntuale di {f n } su R + ; (ii) calcolare il limite seguente: (iii) calcolare il limite seguente: (iv) mostrare che la serie lim f n (x) dλ 1 (x); 1 lim f n (x) dλ 1 (x); f n (x) n=1 converge puntualmente e in L 1( (1, ) ).

4 2. Applicazioni di Fubini Tonelli Esercizio 1. Sia f : R 2 R definita da Provare che f è in L 1 (R 2, λ 2 ) e calcolare f(x, y) = xe y x 1 + x 2. R 2 f(x, y) dλ 2 (x, y). Esercizio 2. Si consideri la funzione f : R 2 R definita da f(x, y) = x y(1 + y 2 ). Siano per n 1, e sia D n = {(x, y) R 2 : x2 2 y 2x2, 1 n y n}, D = {(x, y) R 2 : x2 2 y 2x2 }. (i) Provare che f è in L 1 (D n, λ 2 ), per ogni n. (ii) Calcolare il limite lim f(x, y) dλ 2 (x, y). D n Esercizio 3. Si dimostri che la funzione F : R 2 R definita da F (u, v) = n=2 (u/v) 1/3 (2 + u 2 + v 2 ) n sin n è in L 1 (λ 2 ) (λ 2 indica la misura di Lebesgue su R 2 ). Esercizio 4. Siano E = {(u, v) R 2 : v > u 2 } e G : E R la funzione definita da G(u, v) = sin3 (u) u 4 + v 2.

5 (i) dimostrare che G è integrabile (su E) rispetto alla misura di Lebesgue λ 2 ; (ii) calcolare l integrale E G dλ 2; (iii) si calcoli il lim E sin u 3 u 4 + v 2n dλ 2(u, v). Esercizio 5. Sia f : R + R + R la funzione definita da f(u, v) = sin(uv) u 2 + v v. (i) si mostri che f è integrabile rispetto alla misura di Lebesgue sui rettangoli (, 1) (, 1), (, 1) (1, ) e (1, ) R + ; (ii) si calcoli il lim [sin(uv)] n f(u, v) dλ 2 (u, v). R + R + Esercizio 6. Siano Ω l insieme {(x, y) R 2 : x e x2 < y < x + e x2 } e, per ogni parametro reale a, f a : R 2 R la funzione definita da f a (x, y) = (1 + x ) a e xy. (i) Per quali valori di a la funzione f a è in L 1 (Ω, λ 2 )? (ii) Calcolare il lim a Ω f a dλ 2. Esercizio 7. Sia B : ( 1, ) ( 1, ) R la funzione definita da B(u, v) = t u (1 t) v dt. (i) Sia a un numero reale > 1. Per quali a la funzione B è in L 1( ) ( 1, a) ( 1, a), λ 2? (ii) Per ogni t in (, 1) sia I(t) l integrale definito da I(t) = t u u 1 du. Dimostrare che 1 t I(t) è uniformemente limitata per t discosto da 1 e che I(t) log(1 t) per t tendente a 1. Per dimostrare la seconda affermazione può essere utile effettuare il cambio di variabili s = u log t.

6 (iii) Utilizzando (ii), dimostrare che la funzione (u, v) B(u, v)/(u v) è in L 1( (1, ) (1, ), λ 2 ). Esercizio 8. Sia B 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} e, per ogni parametro reale a, sia f a : R 2 R definita da f a (x, y) = arctan(xy) (x 2 + y 2 ) a. (i) Provare che f a è in L 1 (B 1, λ 2 ), per ogni a < 2. (ii) Sfruttando il risultato del punto (i), provare che f a è in L 1 (R 2, λ 2 ), per ogni 1 < a < 2. Per tali valori di a calcolare R 2 f a (x, y) dλ 2 (x, y). Esercizio 9. Sia f : R + R + R la funzione definita da f(u, v) = 1 e (u+v) u 2 + v v. (i) mostrare che f è integrabile rispetto alla misura di Lebesgue sui rettangoli (, 1) (, 1), (, 1) (1, ) e (1, ) R + ; (ii) dimostrare che il seguente limite esiste finito. lim arctan(nuv) f(u, v) dλ 2 (u, v) R + R +