In questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali.

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1 Sistemi dinamici In questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali. Le equazioni differenziali sono delle equazioni in cui le incognite rispetto alle quali risolviamo l equazione non sono numeri ma sono funzioni. Inoltre, avendo a che fare con funzioni come oggetti elementari su cui lavorare, abbiamo tra le operazioni ammesse nella formulazione delle equazioni, oltre a somme e prodotti, le operazioni tipiche sulle funzioni, e in particolare la differenziazione (da cui il nome): dunque la nostra incognita comparira anche differenziata, una o piu volte. Un esempio semplice Consideriamo una equazione differenziale molto semplice che ci porta ad un comportamento esponenziale: = α t Siamo in grado di calcolare la soluzione generale in questo caso semplice: x( t _C e ( α t) ed e sempplice verificare che tale funzione soddisfa l equazione differenziale. Osserviamo che cio che abbiamo trovato e una famiglia di funzioni, al variare del parametro _C. Per eliminare la costante arbitraria scegliamo un dato iniziale, ad esempio: x( ) = 2 = 2 e ( α t) Possiamo poi disegnare le soluzioni al variare del dato iniziale: α =.2 dati_iniziali = [[ x( ) = ], [ x(.5], [ x( ) = ], [ x( ) = -]]

2 2 x(t) t 2 In questo grafico sono anche presenti dei vettori che rappresentano localmente la pendenza della soluzione passante per il punto base del vettore stesso; sono calcolati proprio usando il membro di destra dell equazione differenziale e sono sempre tangenti alle soluzioni. Notiamo anche che lo e un punto di equilibrio: la soluzione con dato iniziale uguale a rimane identicamente ferma sullo. (dalla figura si vede che tale punto di equilibrio e instabile.) Per una generica equazione del tipo x( t g ( ) t i punti di equilibrio si ottengono con l equazione seguente: g( x) = Infatti in questo modo la derivata (la pendenza) deve rimanere nulla e la soluzione non si muove dal suo valore di equilibrio. Classificazione (incompleta) dei punti di equilibrio Ci proponiamo di analizzare le situazioni principali che capitano attorno ad un punto di equilibrio per sistemi a uno e due gradi di liberta. Sistemi in una dimensione. Riconsideriamo la stessa equazione di prima = α t e cerchiamo i punti di equilibrio: α x = x equilibrio = Per la stabilita si va a vedere la derivata del membro di destra g( x) = α x nel punto di equilibrio Dg( x) = α Dg( x equil α

3 in questo caso la derivata non dipende dal punto ed e sempre uguale al parametro alpha. Se quest ultimo e positivo il punto di equilibrio e instabile, se e negativo e stabile. Possiamo verificarlo col grafico delle soluzioni α = -.5 dati_iniziali = [[ x( ) = ], [ x(.5], [ x( ) = ], [ x( ) = -]] x(t) t.5 Osservazione: nelle mappe la stabilita si ha con autovalori di modulo <, qui con autovalori negativi. Questo perche gli autovalori nelle mappe corrispondono all esponenziale degli autovalori nelle equazioni differenziali. Sistemi in due dimensioni. La fenomenologia e piu ricca, e senza alcuna pretesa di completezza vediamo i casi principali di analisi di stabilita per i punti di equilibrio. Consideriamo come prototipo sistemi lineari, che hanno un equilibrio nell origine x( t α + β ( t) t ( t η + δ ( t) t Come al solito, per la ricerca dei punti di equilibrio si impostano delle equazioni uguagliando a zero i membri di destra delle equazioni differenziali. { α x + β =, η x + δ = } ( x, ) = { =, x = } equilibrio e poi si guarda l opportuna generalizzazione della derivata, la matrice Jacobiana, una matrice fatta con le derivate parziali, valutandola nel punto di equilibrio, e calcolandone gli autovalori. Dx ( α x + β ) D ( α x + β ) α β = Dx ( η x + δ ) D ( η x + δ ) η δ Essendo una equazione differenziale lineare la matrice Jacobiana non dipende da x e mentre in generale si e va valutata nei punti di equilibrio

4 autovalori = α 2 δ 2 { =, x = } α β DM ([, ] η δ α 2 2 α δ + δ β η, + 2 α 2 δ 2 α 2 2 α δ + δ β η Passiamo ora a dei casi concreti scegliendo i parametri: Nodo instabile Entrambi gli autovalori reali e positivi. (stabile se entrambi reali e negativi) 2 DM ([, ] 2 autovalori = (, 2) autovettori = [ 2, ], [, ] dati_iniziali = [[ x(., ( ) =. ], [ x( ) = -., ( ) = -.], [ x(., (.], [ x(., ( ) = -.], [ x( ) = -., (.], [ x( ) = -., (.]] x Sella Entrambi gli autovalori reali: uno positivo e uno negativo. 2 DM ([, ] - 2 autovalori =, autovettori =,, 3 [, ] dati_iniziali = [[ x(., ( ) =. ], [ x( ) = -., ( ) = -.], [ x(., (.],

5 [ x(.2, ( ) = -.], [ x( ) = -., (.], [ x( ) = -.3, (.]] x.5.5. Fuoco stabile Autovalori complessi e coniugati con parte reale negativa. (instabile se parte reale positiva) DM ([, ] 2 2 autovalori = +, 4 4 I I 55 dati_iniziali = [[ x( ) = -.3, (.], [ x( ) = -.2, (.], [ x( ) = -., (.]]

6 . x Centro Autovalori complessi e coniugati con parte reale nulla DM ([, ] 2 autovalori = ( I 3, I 3 ) dati_iniziali = [[ x( ) = -.3, (.], [ x( ) = -.2, (.], [ x( ) = -., (.]] x Modelli di crescita logistica

7 Consideriamo qui la versione in tempo continuo della mappa logistica: = α x( t ) ( β ) t e proviamo subito a disegnare alcune soluzioni, dopo aver scelto dei valori per i parametri. =.5 x( t ) ( 2 ) t dati_iniziali = [[ x(.], [ x(.], [ x(.], [ x(.2], [ x(.3], [ x(.5], [ x(.8], [ x( ) =.4] ].4.2 x(t) t Sembra esserci un punto di equilibrio in,5. Cerchiamo in generale le soluzioni costanti e controlliamo la loro stabilita. α x ( β x) = x equilibrio =, β Risultano due equilibri: uno nell origine (estinzione), e uno il cui valore dipende da uno dei parametri. Guardiamo la stabilita in entrambi. Dg( x) = α 2 α x β Dg( ) = α Dg = β α Possiamo allora osservare che il parametro beta influisce solo sulla posizione del secondo punto di equilibrio, mentre l altro parametro influisce solo sulla stabilita : in particolare quanto e positivo l origine instabile e la seconda soluzione costante e stabile; viceversa se alpha e negativo. Verifichiamo mettendo tale parametro <. =.2 x( t ) ( 2 ) t dati_iniziali = [[ x( ) = ], [ x(.], [ x(.2], [ x(.3], [ x(.5], [ x(.6], [ x( ) = ] ]

8 .4.2 x(t) t Osservazione: non ci sono oscillazioni! mentre la mappa logistica oscillava intorno al valore della capacita portante. Il fenomeno oscillatorio presente con la mappa e dovuto ad un effetto di ritardo dato dalla discretizzazione del tempo. Nel risolvere numericamente le equazioni differenziali in realta si fa propio una discretizzazione: guardiamo cosa accade se utilizziamo un algoritmo di integrazione rozzo e con un passo troppo grande. = 3 x( t ) ( 2 ) t dato_iniziale = [[ x(.2]] passo_di_integrazione =.63.8 x(t) t

9 Chiaramente cio che vediamo in questo modo non e la vera soluzione della equazione differenziale, che non presenta oscillazioni nella forma in cui l abbiamo scritta. Ovviamente e comunque possibile anche nei sistemi in tempo continuo ottenere delle oscillazioni (come abbiamo visto nella classificazione dei punti di equilibrio) Per l equazione logistica possiamo ottenere oscillazioni in vari modi. Il primo consiste nell incorporare proprio un ritardo nell equazione. = α x( t ) ( β x( t τ) ) t Vediamo l equazione con ritardo con un programma scritto ad hoc.... Un secondo modo di introdurre un effetto di ritardo e quello di passare ad una equazione di ordine superiore, in particolare una equazione del secondo ordine, in cui sono presenti derivate seconde della funzione incognita. Possiamo capire il perche di tutto cio se ci ricordiamo che la derivata prima rappresenta la velocita di variazione di una funzione; analogamente la derivata seconda sara la velocita di variazione della derivata prima, quindi l accelerazione. In questo modo si ottiene un effetto di ritardo. Consideriamo dunque la seguente equazione: 2 = t 2 α x( t ) ( β ) Scegliamo dei valori per i parametri e guardiamo l evoluzione per qualche condizione iniziale: 2 = t 2 x( t ) x( t ) ( ) dati_iniziali = [[ x(.5, D( x)( ) =. ], [ x(.5, D( x)(.4], [ x( ) =, D( x)( ) = ] ] 2.5 x(t) t Abbiamo cosi verificato che anche in questo modo otteniamo delle oscillazioni. Osserviamo comunque che il giusto spazio delle fasi per capire la dinamica di questa variante dell equazione logistica, e bidimensionale, e dunque trasformiamo l equazione di ordine superiore in un sistema di equazioni del primo ordine:

10 x( t ( t) t ( t) = α x( t ) ( β ) t e guardiamone l evoluzione x( t ( t) t ( t x( t ) ( ) t dati_iniziali = [[ x(.5, ( ) =. ], [ x(.5, (.4], [ x( ) =, (.2]] x Cerchiamo i punti di equilibrio: { =, α x ( β x) = } ( x, ) = equilibrio { =, x = }, { =, x = } β Calcoliamo la matrice Jacobiana: x = x α x ( β x) α x ( β x) α ( β x) α x β e valutiamola nei punti di equilibrio: { =, x = } DM ([, ] α α, α Si vede cosi che (se alpha e positivo) l origine e sempre una sella, e { =, x = } β

11 DM =, β α α, α che l altro punto di equilibrio e sempre un centro. Modelli di competizione: Lotka - Volterra Anche per il modello preda-predatore si puo dare una formulazione in tempo continuo, con le seguenti equazioni: = α x( t ) ( β ( t) ) t ( t) = η ( t ) ( δ ) t Scegliamo dei valori per i parametri e guardiamo il campo vettoriale: α =, β = 3 η =, δ = 2 Modello di Lotka-Volterra x Si intuisce la possibile presenza di una sella nell origine e di un centro o un fuoco nel primo quadrante. Guardiamo qualche soluzione.

12 .4 Modello di Lotka-Volterra x Verifichiamo i punti di equilibrio e guardiamone la stabilita : { α x ( β ) =, η ( δ x ) = } ( x, ) = equilibrio { =, x = }, { x =, = } δ β Dx( α x ( β )) D( α x ( β ) ) α ( β ) α x β = Dx( η ( δ x )) D( η ( δ x ) ) η δ η ( δ x ) " " α =, β = 3 η =, δ = " " { =, x = } DM ([, ] -3, -3 " " { =, x = } - DM ([, ] 3 - I 3, I 3 Osservazione: con le mappe avevamo trovato nel primo quadrante un fuoco instabile.

13 L equazione di Van der Pol Consideriamo ora questa equazione e guardiamone la dinamica: = t 2 α ( 2 ) x( t ) t α =.5 3 x(t) t 2 Riproviamo a guardarlo su tempi piu lunghi e poi cambiamo il parametro con valori tipo:,,2, t = ( t) α 3 3 ( t) = t α =.5

14 Equazione di Van der Pol x 2 Possiamo osservare che sembra esistere una curva chiusa che attrae tutte le orbite, sia quelle che partono al suo interno, sia quelle con dato iniziale esterno; vediamo con il parametro incrementato: α = 4 Equazione di Van der Pol x 2 4 Il fenomeno e ancora piu evidente: le traiettorie convergono rapidamente verso quello che sembra essere un ciclo limite. In compenso sembrano essere scomparse le oscillazioni intorno all origine. Guardiamo i punti di equilibrio e la loro stabilita : { α =, } 3 x3 x x = ( x, ) = { x =, = } equilibrio

15 Dx α 3 x3 x D α 3 x3 x α ( x 2 ) = - Dx( x ) D( x) " " { x =, = } α DM ([, ] - +, 2 α α α α Dall analisi degli autovalori vediamo che (se alpha > ) l origine e sempre instabile, ed e un fuoco per valori minori di 2, e un nodo per valori maggiori di 2. Per indagare meglio la presenza del ciclo limite procediamo nel modo seguente. Guardiamo il campo vettoriale: > α =.5 Campo vettoriale di Van der Pol x Adesso guardiamo qualcosa di diverso: per cercare i punti di equilibrio annullavo entrambi i membri di destra delle due equazioni, per cercare i punti in cui entrambe le derivate fossero nulle e dunque punti lasciati invarianti dalla dinamica. Ora guardiamo queste equazioni una per volta: la soluzione sara in generale un luogo di punti e l intersezione di questi due luoghi deve coincidere con i punti di equilibrio. Queste curve rappresentano i punti in cui il flusso e solo verticale o solo orizzontale (essendo una delle due derivate nulla). { = x, = x x}

16 x 2 4 Vediamole ora insieme al campo vettoriale Campo vettoriale di Van der Pol x A questo punto sovrapponiamo anche alcune soluzioni [[ x( ) =, (.2], [ x( ) = -4, ( ) = ], [ x( ) =, ( ) = 4 ], [ x( ) = 4, ( ) = -2.5]]

17 Campo vettoriale di Van der Pol x Possiamo rifare tutta l analisi con il valore del parametro piu alto. Attrattori: Rossler, Lorenz z( t b + x( t ) z( t) c z( t) t = ( t ) z( t) t ( t + a ( t) t a =.7, b =.4, c = 8.5

18 Attrattore di Rossler z x equilibri = ({ z( t , x( t , ( t) = }, { z( t) = , = , ( t) = }) equilibri = [[ , , ], [ , , ] ] Attrattore di Rossler z x {.4 + x z 8.5 z =, x +.7 =, z = } ( x,, z) = ({ z = , x = , = }, equilibrio { z = , x = , = })

19 x ( z) ( z) z ( z) - - = x ( x +.7 ) ( x +.7 ) z ( x +.7 ).7 z x 8.5 x (.4 + x z 8.5 z) (.4 + x z 8.5 z) z (.4 + x z 8.5 z) " " { z = , x = , = } - - DM ([ , , ]) = I, I, [ ,, {[ , , ]}], [ I,, {[ I, I, I]}], [ I,, {[ I, I, I]}] " " { z = , x = , = } - - DM ([ , , ] I, I, [ I,, {[ I, I, I]}], [ I,, {[ I, I, I]}], [ ,, {[ , , ]}]

20 z x Lorenz = σ ( x) t ( t) = ρ x x z t z( t) = β z + x t = ( t) t ( t) = 28 x( t ) ( t ) x( t ) z( t) t 8 z( t) = x( t ) ( t) t 3 z( t)

21 Attrattore di Lorenz z x 2 8 x =, 28 x x z =, x = 3 z ( x,, z) = { =, z =, x = }, { z = 27, x = 6 2, = 6 2 }, { z = 27, = 6 2, x = 6 2 } equilibrio x ( x) ( x) z ( x) - = x ( 28 x x z) ( 28 x x z) z ( 28 x x z) 28 z - x -8 8 x x 3 z 8 x 3 z 8 x x z 3 z 3 " " { =, z =, x = } - DM ([,, ] ,, ,, { 9 +,, },,, { 9,, }, -8,, 3 {[,, ] } " " { z = 27, x = 6 2, = 6 2 }

22 DM ([ 6 2, 6 2, 27] , I, I " " { z = 27, = 6 2, x = 6 2 } DM ([ 6 2, 6 2, 27] , I, I [ ,., {[., , ]}], [ I,., {[., I, I ]}], [ I,., {[., I, I ]}] Attrattore di Lorenz z x 2 2