Prova Esame 10 gennaio 08 Risposte agli esercizi d esame. Esercizio 1
|
|
- Guido Dini
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Prova Esame gennaio 8 Risposte agli esercizi d esame Testo: Esercizio La crescita dei tumori può essere modellata con l equazione di Gompertz: dr R = a R ln K dove R è la dimensione (raggio [=] L) della massa tumorale, a è un parametro che descrive l aggressività nel tempo del tumore ([=] T - ) e K ([=] L) è il raggio massimo della massa tumorale in assenza di un adeguata terapia.. Proporre una ragionevole adimensionalizzazione del modello con un opportuna scelta dei tempi e delle lunghezze caratteristiche.. Quanti sono i parametri adimensionali che compaiono nel modello? È possibile osservare biforcazioni nel modello adimensionale (e, di conseguenza, nel modello dimensionale?) 3. Individuare e classificare (se possibile) le soluzioni stazionarie del modello. Eventualmente commentare quali situazioni esse rappresentino dal punto di vista fisico. Si assume che un eventuale strategia di cura preveda una chemioterapia la cui aggressività sia direttamente proporzionale alla dimensione del tumore. Tale cura può essere modellata come un termine di decrescita direttamente proporzionale alla massa del tumore stesso. dr = a R ln R K mr Nel modello il parametro m ([=]T - ) descrive l aggressività nel tempo della chemioterapia. a. Adimensionalizzare il modello proposto (si suggerisce di lasciare i tempi e le lunghezze caratteristiche individuate precedentemente) b. Individuare i possibili parametri adimensionali che è possibile osservare per il modello in esame. c. Studiare la dinamica del sistema al variare dei parametri adimensionali individuati. È possibile osservare biforcazioni? Nel caso di risposta negativa, dare un interpretazione fisica di tale eventualità: la strategia di terapia proposta è in grado di portare alla definitiva scomparsa della malattia? Svolgimento: Quesito : La scelta dei tempi e delle lunghezze caratteristiche è obbligata per il caso in esame dato che sono presenti un solo parametro con le dimensioni del tempo ed un solo parametro con le dimensioni della lunghezza:
2 t l c c = a = K Adimensionalizzando il modello con tali dimensioni caratteristiche: t τ = = at t c R R r = = l K c τ t = a R = rk E sostituendo nel modello dimensionale: dr R = Ka = arln = akrln r dτ K Si ricava: rln r dτ = Quesito : Nel modello adimensionale ottenuto non compaiono parametri adimensionali. Di conseguenza non si possono osservare cambiamenti qualitativi del comportamento dinamico del sistema. Non è quindi possibile osservare biforcazioni nel modello al variare dei parametri a e K. Quesito 3: Si riporta di seguito lo studio della funzione f(r)=-r lnr. La funzione è definita solo per r>. Si possono innanzitutto valutare gli zeri della funzione: r ( r r) lim ln = rln r = r= Esistono quindi due zeri della funzione per r = (dal punto di vista fisico corrisponde all estinzione del tumore) e r = (ovvero R = K, tumore completamente sviluppato). Inoltre si può notare che f > per < r < ed è negativa per r>. È possibile calcolare la derivata della funzione nei punti di singolarità:
3 d d ( ) rln r = ln r =+ ( ) r= r= r= rln r = ln r = < r= In corrispondenza di r S = la derivata della funzione diverge positivamente, mentre la derivata per r S = è negativa. Tale analisi permette già di stabilire che la soluzione di estinzione è di natura instabile, mentre la soluzione di saturazione è l unica soluzione stazionaria stabile presente nel modello. Continuando lo studio della funzione è possibile analizzare la presenza di eventuali punti di interesse quali per esempio minimi e/o massimi. Difatti è facile verificare che: d rln r = ln r = ln r = r =.3679 e ( ) Tale punto corrisponde ad un massimo, in corrispondenza del quale la funzione assume valore: f = ln =.3679 e e e e In conclusione, è possibile rappresentare la funzione e descrivere le corrispondenti linee delle fasi: Nella seconda parte dell esercizio è introdotto un ulteriore termine che intende modellare l influenza di un eventuale terapia di intensità direttamente proporzionale alla massa tumorale: 3
4 dr R = a R ln mr K Quesito a Adimensionalizzando il modello con le stesse dimensioni caratteristiche adottate precedentemente: dr R = Ka = a Rln mr= akrln r mkr dτ K ovvero: m = rln r µ r µ = > dτ a Quesito b Nel modello compare quindi un solo parametro adimensionale, µ, che rappresenta dal punto di vista fisico il rapporto tra l intensità della terapia e l aggressività del tumore. Quesito c Per la caratterizzazione del modello al variare del parametro µ, sono possibili diverse strade che sono riportate schematicamente nel seguito: Procedura (senza caratterizzazione di stabilità) Osservando che r = è sempre soluzione del modello matematico, il secondo membro può essere riscritto: ( ) ln r µ = r = exp µ S In conclusione esistono due soluzioni stazionarie per il modello, una corrispondente all estinzione del tumore (r = ) ed un altra per cui r, il cui valore decresce all aumentare del parametro µ. Da osservare che queste due differenti soluzioni sono sempre ben distinte per ogni valore di µ. 4
5 Procedura (secondo membro come differenza di due funzioni) Il modello: = r ln r µ r può essere riscritto come: f f = f () r = r () r = µ r () r f () r ln r La funzione f è stata già introdotta nella discussione della precedente procedura. La funzione f è una retta passante per l origine la cui pendenza cresce al crescere del parametro µ. Qualunque sia il valore di µ, le due curve si intersecano per r = e per un valore di r positivo che corrisponde alla soluzione stazionaria. La natura delle intersezioni non cambia al variare del parametro µ: si ha sempre una soluzione stazionaria di tipo instabile in corrispondenza di r = ed una soluzione stazionaria stabile per r >. Tale soluzione stazionaria stabile si avvicina all origine per µ +, ma è sempre ben distinta da essa. Da osservare che la pendenza della f per r è infinita, per cui tale funzione assume sempre valori maggiori della f, qualunque sia il valore di µ. Una procedura elegante per verificare l assenza di biforcazioni nel modello è verificare se le condizioni di non iperbolicità sono verificate per qualche coppia di valori (r,µ ): 5
6 f ( r, µ ) df = µ ln r ( r, µ ) = r ln r µ r = = E si può facilmente verificare l unica soluzione r che soddisfa le equazioni si ha per r =, a cui non corrisponde nessun valore finito di µ. Non è quindi possibile osservare biforcazioni nel sistema in esame. In conclusione, dallo studio del presente modello si può intuire che la terapia proposta non è in grado di distruggere completamente il tumore e al termine della terapia rimarrà nell organismo un residuo del tumore la cui dimensione sarà inversamente proporzionale all intensità della terapia che è stata effettuata. Testo: Esercizio 3 Dato il seguente sistema non lineare bidimensionale dx = x x dy = y x y. Individuare i punti critici del modello matematico.. Classificare (se possibile) i punti critici individuati. 3. Rappresentare (se possibile, e qualitativamente) il diagramma delle fasi nei pressi dei punti critici. 4. Rappresentare (qualitativamente) un diagramma delle fasi completo del modello Quesito La determinazione dei punti critici del sistema può essere affrontata osservando innanzitutto che la prima equazione dipende solo dalla x, pertanto le ascisse dei punti critici saranno forniti dagli zeri di tale equazione non lineare. x x xs, xs = = = Sostituendo nella seconda equazione: y x y = y = s s analogamente : y x y = y = s s 6
7 Avremo quindi due punti critici nel sistema: ( s s) = ( ( ) = ( PC.. x, y, PC.. x, y, s s ) ) Quesiti -3 Per la classificazione dei punti critici è necessario valutare lo Jacobiano del sistema in corrispondenza dei punti critici, di seguito scritto nella sua forma generica: J ( xy, ) x = y x In corrispondenza dell origine (P.C. ): J (,) = Lo Jacobiano è una matrice diagonale, pertanto gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale e gli autovettori coincidono con gli assi di riferimento. In particolare, essendo gli autovalori reali e di segno opposto, si può concludere che l origine è una sella in cui l asse delle x (autovettore corrispondente all elemento diagonale J =λ =) coincide con la varietà instabile e l asse delle y (autovettore corrispondente all elemento diagonale J =λ =-) coincide con la varietà stabile. È possibile quindi una rappresentazione immediata del diagramma delle fasi nei pressi del punto critico: In corrispondenza dell altro punto critico: J (, ) = 7
8 Di nuovo, si ha una matrice in forma diagonale per cui gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale e gli autovettori sono paralleli agli assi di riferimento. Gli autovalori sono entrambi reali e negativi per cui si ha un punto critico di tipo nodo stabile. L autovettore q (λ = -) è parallelo all asse delle x, mentre q (λ = -) coincide con la direzione verticale. Per la rappresentazione grafica si può notare che la dinamica del sistema linearizzato: () t = c exp( λ t) + c exp( λ t) z q q per t + (ovvero nei pressi del punto critico) è dominata dalla componente cui compete autovalore più piccolo in valore assoluto: () t c exp( λ t) = c exp( t) z q q Ovvero le orbite si avvicinano al punto critico seguendo la direzione descritta dall autovettore q (ovvero l asse x). Analogamente, per t - (lontano dal punto critico) le orbite saranno parallele alla direzione descritta dall autovettore q (direzione verticale). È possibile quindi affrontare la rappresentazione grafica del sistema linearizzato nei pressi del punto critico: v u Quesito 4 È possibile tentare una rappresentazione qualitativa globale del sistema, estrapolando in maniera plausibile i diagrammi di fase ottenuti localmente: 8
9 Esercizio 4 Testo: Si consideri la seguente equazione di Laplace bidimensionale per la variabile u(x,y) con le assegnate condizioni al contorno: u u + = x y u u u x (, y) = u(, y) = ( x,) = ( x,) = sin( 3πx ) sinh( 3π ) [, ], y [,]. Classificare l equazione differenziale a derivate parziali in parabolica/iperbolica/ellittica. Classificare le condizioni al contorno rispetto alla variabile x e rispetto alla variabile y in omogenee/non omogenee, Dirichlet/Neumann/miste 3. Risolvere l equazione di Laplace applicando il metodo di separazione delle variabili. L equazione di Laplace è in genere una PDE lineare omogenea di tipo ellittico. Nel caso specifico le condizioni al contorno sono di tipo Dirichlet, e sono omogenee lungo la variabile x e non omogenee lungo la y. Col metodo di separazione delle variabili si suppone che la soluzione sia del tipo: (, ) = X ( x) Y( y) u x y essendo X(x) e Y(y) funzioni solo della x e della y, rispettivamente. Sostituendo nell equazione iniziale si perviene a: X '' Y + Y'' X = 9
10 ovvero: X '' Y '' = X Y Il primo membro è una funzione della sola x, mentre il secondo membro è funzione della sola y. Come stabilito dal metodo di separazione delle variabili, l unica possibilità per cui sia verificata l eguaglianza è che primo e secondo membro siano entrambi costanti. Inoltre il problema è omogeneo lungo la direzione x, per cui è possibile cercare le autofunzioni lungo tale coordinata. X '' = λ, X ( ) = X ( ) = X Per λ > la generica soluzione dell equazione differenziale ordinaria è: ( ) = sin λ + X x c x c cos λ x Applicando le condizioni al contorno: X X ( ) () c = c = = sin λ = λ = nπ λn = n π Il problema omogeneo lungo x avrà quindi autovalori λ n e corrispondenti autofunzioni: n ( ) = α sin ( π ) X x n x n Con gli autovalori calcolati è possibile quindi calcolare il problema differenziale lungo y: Y '' = λn = n π Y ovvero: Y n Y '' π = che ammette come soluzione generale:
11 n ( ) = π e + Y y ae a n y nπ y Ponendo la condizione al contorno per y=: ( ) Yn = a + a = a = a per cui: nπy nπy ' ( ) = ( ) = Y sinh n y a e e a y Una soluzione della PDE sarà quindi: (, ) = ( ) ( ) = γ sin( π ) sinh( π ) u x y X x Y y n x n y n n n n Tale funzione per y= sarà: (,) = ( ) ( ) = γ sin ( π ) sinh ( π) u x X x Y n x n n n n n Osservando che per la nostra condizione al contorno: ( x, ) = f ( x) sin( 3πx ) sinh( 3π ) u = Tale condizione al contorno coincide con una particolare soluzione del problema differenziale ovvero quella per n = 3, per cui si può concludere che la soluzione della PDE sarà: u ( x, y) = sin( 3πx ) sinh( 3πy )
FM210 - Fisica Matematica I
FM21 - Fisica Matematica I Seconda Prova Scritta [16-2-212] Soluzioni Problema 1 1. Chiamiamo A la matrice del sistema e cerchiamo anzitutto gli autovalori della matrice: l equazione secolare è (λ + 2β)λ
DettagliANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 6 giugno 2004: soluzioni ESERCIZIO - Data la funzione f) 3 2 4 + 27 + 9 2 ) /3 4 + 27, + 9 si chiede
DettagliFM210 - Fisica Matematica I
FM10 - Fisica Matematica I Seconda Prova di Esonero [13-01-01] Soluzioni Problema 1 1. Il moto si svolge in un campo di forze centrale in assenza di attrito. Pertanto si avranno due integrali primi del
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliIstituzioni di Matematica II 5 Luglio 2010
Istituzioni di Matematica II 5 Luglio 010 1. Classificare, al variare del parametro α R, la forma quadratica (1 + α )x + 4xy + αy.. i) Si determinino tutti i punti critici della seguente funzione f(x,
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
DettagliEsonero di Analisi Matematica II (A)
Esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x log 3 x (x ) 3 dx.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria. Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti.
Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Terzo appello 8 Settembre 4 Compito B Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.:
DettagliSistemi Dinamici Corso di Laurea in Matematica Compito del
Sistemi Dinamici Corso di Laurea in Matematica Compito del 6--9 Esercizio. punti) i) Studiare al variare del parametro µ R, il ritratto di fase del sistema meccanico dato da un punto materiale di massa
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 016/017. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 4 5 6 Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona
DettagliEstremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.
Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..
DettagliFM210 - Fisica Matematica I
FM21 - Fisica Matematica I Prima Prova Scritta [26-1-212] Soluzioni Problema 1 1. Riscriviamo il sistema come e risolviamo la prima equazione: xt) = x e 3t + 2 ẋ = 3x + 2, ẏ = y + z 3, ż = 2x + z, Inserendo
DettagliANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
ANALISI MATEMATICA I MODULO, I e II MODULO, II MODULO CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA Prova scritta del 2 luglio 2004: soluzioni Data la funzione f() = 3 2 2 arctan + 0, si chiede di: a) calcolare il dominio
DettagliTraiettorie nello spazio degli stati
. Traiettorie nello spazio degli stati Per mostrare i tipici andamenti delle traiettorie nello spazio degli stati in funzione della posizione dei poli del sistema si farà riferimento ad un esempio: un
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
DettagliESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007
ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) - a.a. 00/0 I Semestre Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea (quadriennale) in Fisica a.a. 2002/03
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliProprietà dei sistemi dinamici lineari
Proprietà dei sistemi dinamici lineari Vediamo se le proprietà dei sistemi lineari ci possono essere utili per chiarire qualcosa sulla stabilità. Partiamo dal sistema dinamico lineare più semplice possibile:
DettagliUniversità di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 19 Dicembre Traccia A
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 9 Dicembre 07 - Traccia A Cognome e nome................................ Numero di matricola............
DettagliUniversità di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 19 Dicembre Traccia A
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 9 Dicembre 06 - Traccia A Cognome e nome................................ Numero di matricola............
DettagliAnno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A
del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0
DettagliCORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI
CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI Notiamo che lo studio delle funzioni assegnate f,..., f 4 si riduce a considerare
DettagliSoluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 17/10/2013
Istituto Superiore XXV aprile Pontedera - Prof Francesco Daddi Soluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 7/0/03 Esercizio Si consideri la funzione e x+ se x < f(x) = 0 se x = x x x se
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 2 settembre 2008 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti 2 settembre 28 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
Dettagli3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0.
1 Calcolo vettoriale 1 Scrivere il vettore w =, 6 sotto forma di combinazione lineare dei vettori u = 1, e v = 3, 1 R w = v 4u Determinare la lunghezza o il modulo del vettore, 6, 3 R 7 3 Determinare la
DettagliESAMI A.A ANDREA RATTO
ESAMI AA 2014-15 ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo le prove d esame relative al Corso di Geometria e Algebra per Ingegneria Ambientale e Civile (aa2014-15) Si noti che, durante tutte le
DettagliStatistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete
Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati A.A.00-0 Analisi Matematica 3 Esercizi svolti nelle lezioni V. Del Prete Numeri complessi Argomenti ed esercizi svolti nelle lezioni 30.09.00 e
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliUniversità degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)
Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari). Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (08/07/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O, P-Z) (08/07/20)
DettagliCORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova II prova parziale TEMA n.1
CORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova 15-06-2010 II prova parziale TEMA n.1 Parte 1. Quesiti preliminari. Stabilire se le seguenti affermazioni sono
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliAnalisi Matematica 2. Continuità, derivabilità e differenziabilità
Docente: E. G. Casini Università degli Studi dell Insubria DIPATIMENTO DI SCIENZA E ALTA TECNOLOGIA Corso di Studio in Matematica e Fisica Analisi Matematica ichiami di Teoria ed Esercizi con Svolgimento
DettagliEquazione di Laplace
Equazione di Laplace. La funzione di Green Sia, indicati con x e y due punti di R 3 E(x, y) = x y Consideriamo la rappresentazione integrale di u(x) C 2 (), anche rinunciando all ipotesi che sia armonica
DettagliAUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello dell 8 luglio 2008: testo e soluzione
AUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello dell 8 luglio 8: testo e soluzione Prof. Maria Prandini 1. Si consideri il sistema con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni:
DettagliESAMI E ESERCITAZIONI A.A
ESAMI E ESERCITAZIONI AA 2015-16 ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo prove d esame, esercitazioni ed esami relativi al Corso Integrato di Matematica, Modulo B, per Scienze dell Architettura
DettagliTutorato Calcolo 2 Simone La Cesa, 15/11/2017
1 Tutorato Calcolo Simone La Cesa, 15/11/017 Esercizi stabilità dei sistemi di equazioni differenziali e Funzioni di Lyapunov 1. Si consideri l equazione: mx + k(x + x 3 ) = 0 moto di una particella di
DettagliCOMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D. Fila A
Esercizio 1 Determinare il dominio della seguente funzione: COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA Funzioni di due variabili Classe 5ª D Fila A (a) f (, ln( + 4 Esercizio Calcolare le derivate parziali delle
DettagliAllora esistono δ > 0 e σ > 0 tali che. f(x, y) = 0; (2) la funzione ϕ : ]x 0 δ, x 0 + δ [ R, y = ϕ(x), è derivabile e.
16 42 Funzioni implicite Il seguente teorema fornisce una condizione sufficiente affinché, data un equazione della forma f(x, ) = 0, sia possibile determinare come funzione della x Teo 11 (Teorema della
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
Dettaglideterminare una soluzione y(t) dell equazione completa e, quindi dedurne tutte le y(t) soluzioni dell equazione.
ANALISI VETTORIALE Soluzione esercizi 4 febbraio 2011 10.1. Esercizio. Assegnata l equazione lineare omogenea di primo ordine y + a y = 0 determinare le soluzioni di tale equazione in corrispondenza ai
DettagliCorsi di laurea in Matematica e Fisica - Anno Accademico 2017/18 FM210 / MA. Prima Prova di Esonero [ ]
Corsi di laurea in Matematica e Fisica - Anno Accademico 017/18 FM10 / MA Prima Prova di Esonero [9-4-018] 1. Un punto materiale di massa m si muove in una dimensione sotto l effetto di una forza posizionale,
Dettagli0 < x 3. A1 1 [7 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: x 2 mod 5 2x 1 mod 3. x 21 mod 7
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 017-018 Corso di Laurea in Informatica L-31 Prova scritta di Matematica Discreta 1 CFU 5 Settembre 018 A1 1 [7 punti] Determinare le eventuali soluzioni
DettagliQueste note (attualmente, e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori.
ËÁËÌ ÅÁ ÈÁ ÆÁ ½ Queste note attualmente e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e molto probabilmente) non prive di errori 41 Sistemi 2D Come abbiamo già detto tipicamente è impossibile
Dettagli(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33.
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 28 Giugno 2017 Parte A A1 1 [10 punti] Dimostrare
DettagliModulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STAL - Raccolta degli Esami A.A
Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del //.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni:
Dettagli1 Sistemi Dinamici Esercizio del Parziale del 29/11/2010
1 Sistemi Dinamici Esercizio del Parziale del 29/11/2010 Si consideri il sistema dinamico con { ẋ = y ẏ = d U(x) U(x) = 2 ( x 2 3 x + 4 ) e x/2. (2) 1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema
DettagliElementi di matematica - dott. I. GRASSI
Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali
DettagliSoluzioni dello scritto di Geometria del 28 Maggio 2009
Soluzioni dello scritto di Geometria del 8 Maggio 9 1) Trovare le equazioni del sottospazio V(w, x, y, z) R 4 generato dalle quaterne c 1 = (,,, 1) e c = (, 1, 1, ). ) Trovare una base per OGNI autospazio
DettagliCalcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Analisi modale per sistemi dinamici LTI TC Modi naturali di un sistema dinamico Analisi modale Esercizio 1 Costante di tempo Esercizio 2 2 Analisi modale per
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliLuogo delle radici. Si consideri il seguente schema in retroazione:
0.0. 5.1 1 Luogo delle radici Si consideri il seguente schema in retroazione: La funzione di trasferimento G 0 (s) del sistema retroazionato è: G 0 (s) = G(s)H(s) 1+G(s)H(s) I poli del sistema retroazionato
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 3 settembre 2009 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 3 settembre 29 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d Esame (04/0/00) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 009/0 Matematica e Statistica Prova d Esame di MATEMATICA (04/0/00) Università di Verona - Laurea in
DettagliFM1 - Equazioni differenziali e meccanica
Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2006/2007 FM1 - Equazioni differenziali e meccanica Prima prova d esonero (03-04-2006) CORREZIONE Esercizio 1. Lo spettro Σ(A) della matrice A si trova risolvendo
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009
Algebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009 Esercizio 1. Nello spazio vettoriale reale R 3 [x] si considerino l insieme A k = {1 + x, k + (1 k)x 2, 1 + (k 1)x 2 + x 3 }, il vettore v k = k + kx x 3 e la
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliAnalisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica)
COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione
DettagliSyllabus per la seconda prova intermedia e per le prove scritte di esame. Esercizi di preparazione.
Università di Trento - Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e in Ingegneria Ambientale Analisi matematica 2 - a.a. 2013-14 - Prof. Gabriele Anzellotti Syllabus per la seconda prova intermedia e per le
DettagliCorso di laurea in Chimica. Matematica
Corso di laurea in Chimica Matematica Esercizi di ricapitolazione per la prova in itinere (tratti dalle prove in itinere degli anni precedenti) (Gli esercizi segnati con una crocetta sono di livello più
DettagliEsercitazione 05: Trasformata di Laplace e funzione di trasferimento
Esercitazione 05: Trasformata di Laplace e funzione di trasferimento 28 marzo 208 (3h) Fondamenti di Automatica Prof. M. Farina Responsabile delle esercitazioni: Enrico Terzi Queste dispense sono state
DettagliVerifica di matematica. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (x; y) è assegnata la curva Γ di equazione: 2
0 Marzo 00 Verifica di matematica roblema Si consideri l equazione ln( + ) 0. a) Si dimostri che ammette due soluzioni reali. Nel piano riferito a coordinate ortogonali monometriche (; ) è assegnata la
DettagliEsercizi su estremi vincolati e assoluti
Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizio 1. di sul quadrato Determinare i punti di minimo e di massimo (e i relativi valori di minimo e massimo) assoluto f(x, y) = x cos(πy) Q = [0, 1] [0, 1].
Dettagli4.1 Sulla linearizzazione attorno agli equilibri
½¾º¼ º¾¼½ Queste note (attualmente, e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori 41 Sulla linearizzazione attorno agli equilibri Come abbiamo già
DettagliModulo di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 05/06 Corso di Laurea in Biotecnologie Modulo di Matematica Esame del 0/0/06 N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato.
DettagliANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2010 Versione A
ANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2 Versione A Nome Cognome: Matricola Codice corso Docente: Corso di Laurea: Analisi II 75 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi C es. 23 es. 245 es 24 es. es. 3 pinti b c
Dettagliverificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto F (4, Determinare l equazione della retta tangente al grafico nel punto F.
PROBLEMA 1 Assegnate due costanti reali a e b (con a > 0), si consideri la funzione q(t) così definita: q(t) = at e bt 1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione
DettagliFoglio di Esercizi 5 Meccanica Razionale a.a. 2017/18 Canale A-L (P. Buttà)
Foglio di Esercizi 5 Meccanica Razionale a.a. 017/18 Canale A-L (P. Buttà) Esercizio 1. Su un piano orizzontale sono poste due guide immateriali circolari di centri fissi O 1 e O e uguale raggio r; sia
Dettagli1 Introduzione all operatore di Laplace.
CORSO DI ANALISI IN PIÙ VARIABILI II CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA L OPERATORE DI LAPLACE 1 Introduzione all operatore di Laplace. Diamo un esempio di un problema di fisica matematica la cui equazione
DettagliCorso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
DettagliGeometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione
DettagliScritto d esame di Matematica I
Capitolo 2: Scritti d esame 139 Pisa, 19 Gennaio 2005 x 1 + (x + 1) log x (x 1)(2x 2). 2. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri 1 dx e 2x 1, 0 dx e 2x 1, e, nel caso in cui convergano,
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliAUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello del 20 luglio 2006: testo e soluzione
AUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello del 2 luglio 26: testo e soluzione Prof. Maria Prandini 1. Si consideri il sistema lineare con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti
Dettagli11 Piccole oscillazioni attorno a posizioni stabili
11 Piccole oscillazioni attorno a posizioni stabili Consideriamo un sistema con l gradi di libertà descrivibile mediante le coordinate lagrangiane (q 1,..., q l ). Supponiamo che i vincoli siano lisci
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliEsame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica
Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario
DettagliAnalisi Matematica 2. Michele Campiti. Prove scritte di. Ingegneria Industriale a.a
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a. 20 202 Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (3/09/011) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 010/11 1 Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O, P-Z)
DettagliMatematica classe 5 C a.s. 2012/2013
Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliIn questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali.
Sistemi dinamici In questa lezione ci occuperemo di sistemi dinamici in tempo continuo, rappresentati da equazioni differenziali. Le equazioni differenziali sono delle equazioni in cui le incognite rispetto
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliESAMI E ESERCITAZIONI A.A Esempio di Prova d Esame Tempo a disposizione: 60 minuti. Esercizio 1.1. (8 punti) Si consideri la matrice
ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2011-12 ANDREA RATTO Sommario. In questo file presentiamo prove d esame, esercitazioni ed esami relativi al Corso di Geometria e Algebra per Ingegneria Biomedica e Meccanica.
Dettagli1) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: 3x y + 11z = x y + 9z = 2x + y 6z = 0.
12 Gennaio 211 Ingegneria...... Matricola... In caso di esito sufficiente desidero sostenere la prova orale: [ ] oggi [ ] Mercoledì 19 Gennaio ore 15. [ ] Giovedì 27 Gennaio ore 11. [ ] Lunedì 14 Febbraio
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliEquazioni Differenziali
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 2015/2016 Dipartimento di Scienze Matematiche, Informatiche e Fisiche Corso di Laurea in Matematica Equazioni Differenziali Appello del 26 gennaio 2016 N.B.:
DettagliSistemi di Equazioni Differenziali
Sistemi di Equazioni Differenziali Nota introduttiva: Lo scopo di queste dispense non è trattare la teoria riguardo ai sistemi di equazioni differenziali, ma solo dare un metodo risolutivo pratico utilizzabile
Dettagli11 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliTraiettorie nello spazio degli stati
Capitolo. INTRODUZIONE. Traiettorie nello spazio degli stati Per mostrare i tipici andamenti delle traiettorie nello spazio degli stati in funzione della posizione dei poli del sistema si farà riferimento
Dettagli