AUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello del 20 luglio 2006: testo e soluzione

Transcript

1 AUTOMATICA I (Ingegneria Biomedica - Allievi da L a Z) Appello del 2 luglio 26: testo e soluzione Prof. Maria Prandini 1. Si consideri il sistema lineare con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 (t) = αx 1 (t) ( α + 2 ) 2 x2 (t) + 2u(t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) 4x 2 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) dove α è un parametro reale (α R). 1.1 Determinare per quali valori di α il sistema è asintoticamente stabile. La matrice dinamica del sistema è: [ ] α (α + 2) 2 A = 1 4 Verifichiamo per quali valori di α gli autovalori di A hanno tutti parte reale strettamente negativa. Il polinomio caratteristico di A è det(λi A) = λ 2 + (4 α)λ + α Dato che si tratta di un polinomio di grado 2, condizione necessaria e sufficiente perchè abbia radici a parte reale strettamente negativa è che tutti i coefficienti siano dello stesso segno e non nulli. Questa condizione si traduce nel sistema di equazioni: { 4 α > e quindi nella condizione α < 4 α > 1.2 Posto α = 2, determinare l espressione analitica del movimento libero dello stato e dell uscita del sistema associati alla condizione iniziale x 1 () = 1 e x 2 () =. Per α = 2, si ha Da ẋ 1 (t) = 2x 1 (t) + 2u(t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) 4x 2 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) ẋ 1 (t) = 2x 1 (t) + 2u(t), x 1 () = 1, u(t) =, t ottengo: x 1 (t) = e 2t, t. Quindi il movimento libero dell uscita associato alla condizione iniziale x 1 () = 1 e x 2 () = è y(t) = x 1 (t) = e 2t, t. Per quanto riguarda il movimento dello stato, calcolo x 2 (t), t sostituendo nella seconda equazione di stato l epsressione di x 1 (t), t : ẋ 2 (t) = 4x 2 (t) + v(t), x 2 () =, v(t) = e 2t, t

2 e quindi ottengo x 2 (t) = e 4t x 2 () + t t t e 4(t τ) v(τ)dτ = e 4t e 4τ e 2τ dτ = e 4t e 2τ dτ = 1 2 [e 2t e 4t ], t. Da cui segue che il movimento libero dello stato associato alla condizione iniziale x 1 () = 1 e x 2 () = è x 1 (t) = e 2t t x 2 (t) = 1 2 [e 2t e 4t ] 1.3 Posto α = 2, determinare la funzione di trasferimento del sistema con ingresso u e uscita y. Applico la trasformata di Laplace ad ambo i membri della trasformazione di uscita ottenendo: Dala prima prima equazione di stato si ha Y (s) = X 1 (s). sx 1 (s) x 1 () = 2X 1 (s) + 2U(s), da cui, posto x 1 () = per il calcolo della funzione di trasferimento, segue che La fuzione di trasferimento è quindi: X 1 (s) = 2 s + 2 U(s) G(s) = 2 s Posto α = 2, tracciare l andamento qualitativo della risposta forzata allo scalino del sistema con ingresso u e uscita y (specificare nel grafico valore iniziale, valore asintotico, e tempo di assestamento). Si tratta della risposta forzata allo scalino di un sistema che ha come funzione di trasferimento quella calcolata al punto precedente, e cioè G(s) = 2 s+2. Dato che G(s) è propria, allora la risposta allo scalino partirà da zero. Dato che G(s) ha poli con parte reale strettamente negativa, allora la risposta allo scalino unitario tenderà al guadagno G() = 1. (nota: valore iniziale e finale possono essere determinati applicando il teorema del valore iniziale e del valore finale). Per quanto riguarda il tempo di assestamento, esso è determinato dalla costante di tempo dell unico polo ed è quindi T a 5τ = = 2.5. La modalità di risposta è esponenziale, data la presenza di un unico polo reale.

3 Si consideri un sistema dinamico lineare di ordine 3 con funzione di trasferimento G(s). In figura sono rappresentati i diagrammi di Bode (approssimati ed esatti) del modulo e della fase della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento G(s). 2 Diagramma di Bode Modulo 4 6 db pulsazione Diagramma di Bode Fase 9 gradi pulsazione 2.1 Determinare il guadagno, il tipo, le singolarità (cioè i poli e gli zeri) della funzione di trasferimento G(s) sapendo che tutte le sue singolarità sono a valori reali. Scrivere l espressione di G(s). Tipo: g = (a basse pulsazioni, dove contribuiscono solo guadagno ed eventuali singolarità nell origine, il diagramma del modulo ha pendenza nulla) Guadagno: µ =.1 (a basse pulsazioni il modulo vale -2 db e la fase ). Zeri: nessuno (il diagramma del modulo è decrescente) Poli: p 1 = 1, p 2 = p 3 = 1 (il diagramma asintotico del modulo varia la sua pendenza da db/decade a -2 db/decade alla pulsazione ω = 1 e da -2 db/decade a -6 db/decade alla pulsazione

4 ω = 1, e corrispondentemente la fase asintotica si riduce di 9 o e 18 o. I poli sono tutti reali perchè viene detto nel testo dell esercizio.) G(s) =.1 (1 + s)(1 + s 1 )2 2.2 Determinare l espressione analitica della risposta a regime del sistema con funzione di trasferimento G(s) quando viene applicato in ingresso ad esso il segnale u(t) = sen(.1t) + 2sen(t), t. Dato che il sistema è del terzo ordine ed ha tre poli reali negativi, esso è asintoticamente stabile. La risposta di regime del sistema è data dal teorema della risposta in frequenza per ognuno dei due seganli sinuosidali di cui è somma l ingresso: y (t) = G(i.1) sen(.1t + arg G(i.1)) + 2 G(i1) sen(t + arg G(i1)). Posso leggere i valori di G(i.1) e G(i1) dal diagramma di Bode del modulo: G(i.1) db = 2 G(i.1) =.1 G(i1) db = 2 3 G(i.1) = e quelli di arg G(i.1) e arg G(i1) dal diagramma di Bode della fase: arg G(i.1) = o = radianti arg G(i1) = 45 o = π 4 radianti Allora y (t) =.1sen(.1t) +.14sen(t π 4 ). 3. Si consideri il sistema con ingresso u ed uscita y in figura, ottenuto mediante interconnessione di quattro sistemi lineari del 1 o ordine con funzione di trasferimento G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s), e G 4 (s). 3.1 Determinare l espressione della funzione di trasferimento H(s) del sistema con ingresso u ed uscita y, in funzione di G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s), e G 4 (s). G 2 (s) H(s) = G 1 (s) 1 G 2 (s)(g 3 (s) + G 4 (s))

5 3.2 Posto G 1 (s) = 1 s 2, G 2(s) = s 2 s+7, G 3(s) = 2 s+2 e G 4(s) = 1 s+2 al punto precedente: (a) verificare che H(s) = s + 2 (s + 4) 2 ; (b) valutare le proprietà di stabilità del sistema con ingresso u ed uscita y. nell espressione di H(s) calcolata G a (s) = G 3 (s) + G 4 (s) = 1 s + 2 s 2 G 2 (s) G b (s) = 1 G 2 (s)g a (s) = s+7 1 s 2 H(s) = G 1 (s)g b (s) = 1 s 2 1 s+7 s+2 (s 2)(s + 2) (s + 4) 2 = = s 2 (s + 2)(s + 7) s + 7 s 2 + 9s + 14 s + 2 (s + 2) (s + 4) 2 = (s 2)(s + 2) (s + 4) 2 H(s) presenta due poli in 4. Essi sono anche autovaolri. Il sistema è però di ordine 4, e quindi non possiamo concludere nulla sulle proprietà di stabilità del sistema senza conoscere i due autovalori nascosti. Questi autovalori nascosti si sono generati nel parallelo tra i sistemi con funzione di trasferimento G 3 (s) e G 4 (s) (autovalore pari quindi a -2) e nella serie tra il sistema con funzione di trasferimento G 1 (s) e quello con funzione di trasferimento G b (s) (autovalore pari a 2). A causa di quest ultimo autovalore positivo, si può concludere che il sistema è instabile. 3.3 Determinare l espressione analitica dell uscita forzata y(t), t, del sistema con funzione di trasferimento H(s) = s + 2 (s + 4) 2 quando u(t) = e 2t, t. La trasformata di Laplace dell uscita forzata è Y (s) = H(s)U(s) = s + 2 (s + 4) 2 1 s + 2 = 1 (s + 4) 2 la cui antitrasformata è y(t) = te 4t, t.

6 4. Si consideri il sistema dinamico non lineare con ingresso u ed uscita y descritto dalle equazioni: ẋ(t) = [.1x 4 (t) + 9x 2 (t) ] u(t) y(t) = x(t) In figura è tracciato il grafico della funzione h(x) =.1x 4 + 9x Determinare gli stati di equilibrio associati all ingresso costante u(t) = 1, t, e valutarne le proprietà di stabilità. Il valore degli stati di equilibrio si ottiene uguagliando a zero il secondo membro dell equazione di stato calcolata ponendo x(t) = x e u(t) = 1, t: [.1 x x 2] 1 =. Tale equazione può essere riscritta in termini della funzione h(x) come: h( x) =, per cui gli stati di equilibrio si leggono dal grafico sopra riportato e sono x a = 3, x b = e x c = 3. Quando u(t) = 1, t, la derivata di x(t) è ẋ = h(x). Tramite il grafico di h(x) si può analizzare il segno della derivata in un intorno di ognuno degli stati di equilibro suddetti e dedurre che: x a = 3 e x b = sono instabili, mentre x c = 3 è asintoticamente stabile. 4.2 Dire, giustificando la risposta, se gli stati di equilibrio associati agli ingressi: (a) u(t) = 2, t, (b) u(t) = 1, t, e le loro proprietà di stabilità cambiano rispetto al caso trattato al punto precedente. In entrambi i casi gli stati di equilibrio non cambiano perchè sono ottenuti uguagliando a zero il secondo membro dell equazione di stato calcolata ponendo x(t) = x e u(t) = ū( ), t: [.1 x x 2] ū =, e quindi sono ancora gli annullanti di h(x): x a = 3, x b = e x c = 3. Per quanto riguarda le proprietà di stabilità, nel caso (a) la derivata di x(t) per u(t) = 2, t, è ẋ = 2h(x) e quindi ha lo stesso segno di h(x), da cui si deduce che le proprietà di stabilità degli stati

7 di equilibrio rimangono inalterate. Nel caso (b) la derivata di x(t) per u(t) = 1, t, è ẋ = h(x) e quindi ha segno opposto rispetto a h(x). Tracciando il grafico corrispondente, si deduce che le proprietà di stabilità degli stati di equilibrio cambiano e, in particolare, x a = 3 e x b = sono instabili, mentre x c = 3 è asintoticamente stabile. 5. Con riferimento alla classe dei sistemi lineari a tempo discreto: a) scrivere le equazioni del sistema in forma matriciale (equazione di stato e trasformazione di uscita); Si veda la dispensa del corso. b) scrivere l espressione del movimento dello stato associato alla condizione iniziale x e all ingresso ū(t), t, (formula di Lagrange a tempo discreto), evidenziando la componente libera e quella forzata del movimento. Si veda la dispensa del corso.