INGEGNERIA INFORMATICA

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1 INGEGNERIA INFORMATICA FONDAMENTI DI AUTOMATICA 09/02/2017 Prof. Marcello Farina SOLUZIONI Anno Accademico 2015/2016 ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema a tempo discreto non lineare descritto dalle seguenti equazioni: A. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad un generico punto di equilibrio. Si ricorda che il metodo della linearizzazione si applica in modo analogo a sistemi a tempo continuo e a sistemi a tempo discreto. B. Si calcolino le condizioni di equilibrio corrispondenti all ingresso. C. Si verifichi che il sistema linearizzato, intorno alle condizioni di equilibrio trovate al punto precedente, presenta le seguenti matrici di sistema: D. Determinare le proprietà di stabilità dei movimenti di equilibrio trovati. SOLUZIONE A. Si definiscano le variabili,,,. Il sistema linearizzato è il seguente: dove B. Le equazioni del sistema all equilibrio si ottengono ponendo e e u(t)=1. L unica condizione di equilibrio è.

2 C. Si verifica che il sistema linearizzato, intorno alle condizioni di equilibrio trovate al punto precedente, presenta le matrici di sistema: D. La matrice di sistema è diagonale. I suoi autovalori sono entrambi pari a 0.5, il cui modulo e strettamente minore di 1. L equilibrio trovato è pertanto un movimento asintoticamente stabile. ESERCIZIO 2 Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni: A. Analizzare le proprietà di stabilità del sistema Quali sono i modi del sistema? B. Si calcoli la risposta libera del sistema con condizione iniziale. C. Si determini la funzione di trasferimento del sistema. In particolare, si individuino: Tipo. Guadagno generalizzato. Poli (se complessi coniugati, si determinino la loro pulsazione naturale e il loro smorzamento). Zeri. D. Si disegnino, su un apposito foglio di carta semilagaritmica, i diagrammi di Bode del modulo e della fase della funzione di trasferimento calcolata al punto precedente. SOLUZIONE A. Il sistema lineare presenta le seguenti matrici di sistema: Il polinomio caratteristico è. Gli autovalori del sistema sono pari a. Il sistema risulta semplicemente stabile. I modi del sistema sono e. B. Dalla risposta al punto precedente risulta che la risposta libera dell uscita può essere scritta come sin cos Si calcola che. Inoltre cos sin e. Si ottiene dunque che cos C. La funzione di trasferimento del sistema è

3 Si ottiene che Il tipo è g=0. Il guadagno generalizzato è. I poli sono due, in. La pulsazione naturale è e lo smorzamento è pari a. Il sistema presenta uno zero in. D. I diagrammi di Bode richiesti sono i seguenti ESERCIZIO 3 Si consideri la funzione di trasferimento A. Si individuino: Tipo. Guadagno generalizzato. Poli. Polo dominante. Zeri. B. Si determini l espressione analitica della risposta forzata del sistema al segnale sca. C. Si ricavi l approssimazione (del I ordine) ai poli dominanti della funzione di trasferimento. D. In base all approssimazione ricavata al punto precedente si indichi a quale grafico, tra quelli sottostanti, corrisponde la risposta forzata del sistema ad un ingresso a scalino del tipo sca. Si giustifichi adeguatamente la risposta.

4 SOLUZIONE A. Analizzando la funzione di trasferimento di ricavano i seguenti dati. Il tipo è g=0. Il guadagno generalizzato è. I sistema presenta due poli: s=-10 e s=-0.1. Il polo dominante è s=-0.1. Il sistema presenta uno zero in s=-1. B. La trasformata di Laplace del segnale in ingresso è, da cui si ricava che la trasformata di Laplace della risposta forzata del sistema è Si ottiene dunque che sca. C. L approssimazione del I ordine ai poli dominanti della funzione di trasferimento è D. In base all approssimazione ricavata al punto precedente la risposta forzata del sistema ad un ingresso a scalino del tipo sca è quella mostrata in figura C. Infatti, al polo dominante s=-0.1 corrisponde un tempo di assestamento pari a dove s e il guadagno è pari a.

5 ESERCIZIO 4 Si consideri lo schema di controllo sottostante. dove A. Si determini la funzione di trasferimento R(s) del regolatore in modo tale che a. L errore a transitorio esaurito sia tale che quando sca, n(t)=0 e d(t)= sca. b. L ampiezza del segnale d errore a transitorio esaurito, sia minore o uguale a quando 0, d(t)=0 e n(t)=sin( ), con rad/s. c. L ampiezza del segnale d errore a transitorio esaurito, sia minore o uguale a quando 0, d(t)=sin( ) e n(t)=0, con rad/s. d. La sovraelongazione percentuale della risposta del sistema ad anello chiuso a un segnale sca sia minore del % e il tempo di assestamento all % del valore di regime sia minore di 10 s. B. Si dica come è possibile determinare la funzione di trasferimento del regolatore ottenuto discretizzando R(s) con il metodo di Eulero esplicito (in avanti) e con il valore di s. Si valuti inoltre la variazione di margine di fase dovuta alla discretizzazione. SOLUZIONE Si considerino le specifiche del testo. Prima di tutto è necessario tradurle in specifiche sulla funzione d anello L(s). a E possibile soddisfare la specifica richiesta al punto a. ponendo, che corrisponde a porre.. In questo caso si sceglie b. La seconda specifica corrisponde a richiedere che db per rad/s. c. La terza specifica corrisponde a richiedere che db per rad/s. d L ultima serie di specifiche richiede una distinzione preliminare: Se % si ha che S%=0 e che %, per cui si chiede che rad/s; Se % perchè S%<20 occorre che, mentre si ha che %, dove, da cui la richiesta sul tempo di assestamento si traduce in richiedere che.

6 Progetto Il modo più rapido, dato che la funzione di trasferimento G(s) relativa al sistema è a fase minima, di risolvere questo problema di sintesi corrisponde nel far sì che la funzione d anello aperto sia. Il regolatore corrispondente ha funzione di trasferimento B. Per determinare la funzione di trasferimento a tempo discreto si applica, nella funzione di trasferimento trovata, la sostituzione Il ritardo indotto dal campionamento e dal mantenitore è pari a variazione sul margine di fase pari a., che corrisponde a una