Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Appello del 24 Settembre 2015

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Appello del 24 Settembre 2015 Nome e Cognome: Matricola Firma Durata della prova: 2 h. Numero di esercizi: 5 Punteggio: il numero di punti è indicato a fianco di ciascun esercizio Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici vanno messi, spenti, sul banco - non è ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non è consentito scrivere a matita ESERCIZIO 1 punti: 6 su 32 E assegnato il sistema dinamico non lineare a tempo continuo e invariante con γ parametro reale non nullo. ẋ 1 = 4γ 3 x x 2u ẋ 2 = 3x 2 + 3u y = x 2 1. Si determinino lo stato ( x 1, x 2 ) e l uscita ȳ di equilibrio associati all ingresso costante u(t) = ū = 1, t 0.

2 2. Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attorno alla condizione di equilibrio determinata al punto precedente. 3. Si studi la stabilità del sistema linearizzato al variare di γ e si valuti, se possibile, la stabilità del movimento di equilibrio del sistema non lineare. 2

3 ESERCIZIO 2 punti: 8 su 32 Un sistema dinamico lineare invariante ha funzione di trasferimento (10 + s) G(s) = 5 (1 + s)( s + s 2 ) 1. Si trovino il tipo, il guadagno, i poli e gli zeri di G(s) e la costante di tempo dominante del sistema. 2. Si scriva l approssimazione, A(s), a poli dominanti per G(s) e se ne tracci il diagramma polare approssimato. 3

4 3. Si supponga ora di disporre di un regolatore R(s) = 1 inserito nello schema di figura dove A(s) rappresenta l approssimazione a poli dominanti di G(s) calcolata al punto precedente. Si studi, w + - e R(s) A(s) y Figure 1: Schema a blocchi della retroazione dell Esercizio 2 utilizzando il criterio di Nyquist, l asintotica stabilità del sistema in anello chiuso e si determinino margine di guadagno e margine di fase, giustificando brevemente i risultati ottenuti. 4

5 ESERCIZIO 3 punti: 9 su 32 Si prenda in considerazione il sistema di controllo della figura. d w + - e R(s) G(s) + + y Figure 2: Schema del sistema di controllo dell Esercizio 3 1 G(s) = 10 (1 + s)(0.1s + 1) e τs è la funzione di trasferimento del sistema da controllare e R(s) = 0.1 s + 1 s è la funzione di trasferimento del controllore. 1. Posto τ = 0 si discuta se il sistema in anello chiuso soddisfa le seguenti proprietà: 1) il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile; 2) l errore a transitorio esaurito a fronte di w(t) = 130sca(t) e d(t) = 55sca(t) è nullo; 3) la pulsazione critica del sistema in anello chiuso è ω c 0.5 rad/s; 4) il margine di fase è ϕ m 50. 5

6 Bode Plot Frequency log scale Phase (degrees) Magnitude (db) 6

7 2. Con riferimento al sistema di controllo studiato al punto precedente si dica, giustificando la risposta, qual è il massimo valore del ritardo τ: a) compatibile con il rispetto del vincolo sul margine di fase ϕ m 50. b) compatibile con l asintotica stabilità del sistema in anello chiuso. ESERCIZIO 4 punti: 6 su 32 L equazione alle differenze y(k) 1 4 y(k 1) + 9y(k 2) 9 y(k 3) = u(k 3) 4 descrive il prezzo y(k) di un titolo quotato in borsa al giorno k esimo, dove u(k 3) sono gli investimenti su quel titolo fatti tre giorni prima. 1. Si scriva la Trasformata Zeta Y (z) del prezzo y(k) con u(k 3) = 100imp(k 3). 7

8 2. Si scriva la funzione di trasferimento tra u(k) e y(k). 3. Si trovi il prezzo del titolo, y(4), al giorno k = 4, se il prezzo al giorno iniziale dell analisi è y(0) = 20 e gli investimenti sul titolo vengono tutti fatti al giorno 1 e sono pari a u(1) = 10 (quindi u(k) = 0 k 1). 8

9 ESERCIZIO 5 punti: 3 su 32 Si definisca con precisione la risposta in frequenza di un sistema. Si scrivano quindi i comandi Matlab per calcolare il modulo e la fase della risposta in frequenza associata 32 alla funzione di trasferimento M(s) = s 2 in corrispondenza della pulsazione ω = s