FONDAMENTI DI AUTOMATICA I - Ingegneria Elettronica Appello del 15 luglio 2015

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1 FONDAMENTI DI AUTOMATICA I - Ingegneria Elettronica Appello del 15 luglio 2015 Prof.ssa Mara Tanelli 1. Si consideri il sistema dinamico non lineare con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni: ẋ 1 (t) = 4x 3 1(t) 4x 2 1(t)x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 2 (t) u(t) y(t) = x 1 (t) 1.1 Determinare tutti gli stati ( x 1, x 2 ) e le uscite ȳ di equilibrio associati all ingresso costante u(t) = k, t 0, con k parametro reale (2 punti). Gli equilibri si ottengono uguagliando a zero le equazioni di stato, sostituendo la funzione di ingresso u(t) con l ingresso di equilibrio costante ū = k e risolvendole, se possibile, per x 1 e x 2. Tali stati di equilibrio si sostituiscono poi nella trasformazione di uscita per ottenere ȳ. Cosi facendo, per il sistema in esame si ottiene 4 x 2 1( x 1 x 2 ) = 0 x 2 = ū = k ȳ = x 1, da cui si hanno due stati di equibrio: x 1 = 0, x 2 = k, ȳ = 0 e x 1 = k, x 2 = k, ȳ = k. 1.2 Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno al punto di equilibrio determinato al punto precedente caratterizzato da x 1 = x 2 (2 punti). Le equazioni del generico sistema linearizzato sono δx 1 (t) = 12 x 2 1(t) EQ δx 1 (t) 8 x 1 (t) EQ x 2 (t) EQ δx 1 (t) 4 x 2 1(t) EQ δx 2 (t) δx 2 (t) = δx 2 (t) δu(t) δy(t) = δx 1 (t) Linearizzando attorno allo stato di equilibrio x 1 = k, x 2 = k si ha δx 1 (t) = 12k 2 δx 1 (t) 8k 2 δx 1 (t) 4k 2 δx 2 (t) δx 2 (t) = δx 2 (t) δu(t) δy(t) = δx 1 (t)

2 1.3 Studiare la stabilità del sistema linearizzato in funzione del parametro k e valutare, se possibile, la stabilità del movimento di equilibrio del sistema non lineare (3 punti). La matrice A del sistema linearizzato ottenuto al punto precedente ha la forma [ 4k 2 4k A = 2 ], 0 1 i cui autovalori sono λ 1 = 4k 2 e λ 2 = 1. Poiche esiste i tale che Re(λ i ) > 0, il sistema linearizzato è instabile per ogni valore di k. La condizione per cui esiste i tale che Re(λ i ) > 0 è condizione sufficiente anche per affermare che movimento di equilibrio del sistema non lineare di partenza è instabile per ogni valore di k. 2. Si consideri la seguente funzione di trasferimento di un sistema lineare e tempo invariante di ordine due G(s) = 0.02s+1 (0.1s+1)(0.01s+1) Determinare tipo, guadagno, poli e zeri di G(s) (1 punto). G(s) ha tipo 0, guadagno 1, uno zero in z = 50 e due poli in 10 e Si calcoli l espressione della risposta di regime del sistema y(t) all ingresso u(t) = 10+e t 5sin(t) (3 punti). Essendo il sistema lineare, possiamo impiegare il principio di sovrapposizione degli effetti. Chiamato u 1 (t) = 10, u 2 (t) = e t e u 3 (t) = 5sin(t), si ha: y 1 (t) = 10, perchè il valore di regime della risposta allo scalino di un sistema asintoticamente stabile di tipo zero è pari al valore del guadagno moltiplicato per l ampiezza dello scalino. y 2 (t) = 0 perchè il valore di regime della risposta di un sistema asintoticamente stabile a un ingresso che converge a zero è zero; y 3 (t) = 5sin(t) perchè, essendo il sistema asintoticamente stabile possiamo applicare il teorema della risposta in frequenza e, essendo la pulsazione dell ingresso ω = 1 una decade inferiore a quella della prima singolarità, si può dire che il modulo di G(j1) = 1 e arg[g(j1)] 0deg.

3 2.3 Si traccino di diagrammi di Bode approssimati di modulo e fase della risposta in frequenza associata a G(s) (2 punti). I diagrammi (esatti e approssimati) sono mostrati in figura. 0 Diagramma di Bode Modulo 20 db pulsazione Diagramma di Bode Fase 50 gradi pulsazione 2.4 Si consideri ora G(s) retroazionata come mostrato in figura. Posto: 1) R(s) = 10, 2) R(s) = 10, 2) R(s) = 10 s, si studino le proprietà di stabilità del sistma in anello chiuso (3 punti). Nel caso 1) cambia solo il diagramma di Bode del modulo, che trasla verso l alto di 20dB. Pertanto, poichè il sistema con funzione di trasferimento L(s) = 10G(s) non ha poli a parte reale positiva, ovvero P = 0, e argl(jω) < 180deg, ω, per il corollario della piccola fase si puo affermare che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. Nel caso 2) si ha L(s) = 10G(s). In questo caso, il diagramma di Bode del modulo trasla verso l alto di 20dB, mentre quello della fase parte con sfasamento iniziale di 180deg. Il criterio di Bode e applicabile, perche P = 0 e ω c è ben definita. Però si ha µ L < 0, pertanto il sistema in anello chiuso è instabile (si noti che, inoltre, anche il margine di fase è negativo). Alternativamente, si sarebbe potuta studiare la stabilità con il criterio di Nyquist, che avrebbe mostrato che N = 1 P e dunque il sistema in anello chiuso è instabile con un polo a parte reale positiva.

4 Nel caso 3) si ha L(s) di tipo 1, con ω c = 10 rad/s e fase iniziale di -90deg. Il criterio di Bode e applicabile, perche P = 0 e ω c è ben definita, e si ha µ L = 10 > 0 e ϕ m 50deg> 0, quindi il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 3. Si consideri il sistema di controllo in figura con G(s) = 10 s+1 (10s+1)(0.1s+1). 3.1 Si progetti il regolatore R(s) per garantire: 1) asintotica stabilità del sistema in anello chiuso; 2) errore a transitorio e 0.1 a fronte di y o (t) = ±sca(t) e e 0.1 a fronte di d(t) = sin(t); 3) pulsazione critica ω c 5rad/s; 4) margine di fase ϕ m 60 (5 punti). Per soddisfare il vincolo 2) si può porre R 1 (s) = µ R /s, avendo così e = 0 a fronte di y o (t) = ±sca(t). Per quanto riguarda il vincolo su d(t) = sin(t), esso si traduce in una disuguaglianza che il modulo di L(jω) dovrà rispettare in fase di progetto dinamico. Infatti, la funzione di trasferimento tra d e y è S(s) = 1 1+L(s), il cui modulo si può approssimare a partire da quello di L(jω) come: S(jω) 1/ L(jω) per ω ω c e S(jω) 1 per ω > ω c. Il vincolo diventa pertanto, poichè il disturbo agisce ad una pulsazione inferiore alla ω c minima richiesta, 1/ L(jω) 0.1, ovvero L(jω) 10. Ciò implica che si dovrà avere L(jω) 20dB per ω = 1 rad/s. Ponendo L (s) = 10 s si soddisfano tutti i requisiti, perchè ω c 10rad/s, ϕ m 90deg, e il vincolo sul disturbo d(t) è soddisfatto. Per ottenere tale funzione d anello, il regolatore complessivo sarà R(s) = R 1 (s)r 2 (s) = (10s+1)(0.1s+1) s(s+1) che è realizzabile. Infine, a L (s) = 10 s e applicabile criterio di Bode, perche P = 0 e ω c è ben definita, e si ha µ L = 10 > 0 e ϕ m 90deg>0, quindi il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 3.2 Supponendo ora che il sistema da controllare si modifichi come in figura con H(s) 10s+1 s+1, si progetti C(s) in modo tale che l effetto a regime del disturbo d(t) = sin(t) sull uscita sia nullo (3 punti).

5 Per progettare C(s) nel modo richiesto si noti dapprima che l espressione del compensatore ideale è C id (s) = H(s) G(s) = 0.1(0.1s + 1)(10s+1)2, che non è realizzabile. Per gli scopi richiesti, tuttavia, (s+1) 2 è sufficiente progettare un compensatore reale C(s) tale che C(j1) = H(j1) G(j1) 5 e arg[c(j1)] = 180 µ +arg[h(j1)] arg[g(j1)] 95.5deg. A tale scopo si può porre C(s) = e, imponendo (1+sT) 2 i due vincoli su modulo e fase, si ottiene da cui si ottiene µ 11 e T 1.1. µ 1+T 2 = 5 2arctan(T) = 95.5deg, 4. Si considerino due sistemi lineari, tempo invarianti a tempo continuo connessi tra loro in retroazione negativa. Si derivino le equazioni di stato del sistema interconnesso, illustrando il legame tra la stabilità dei sistemi di partenza e quella del sistema interconnesso (4 punti). Il sistema da studiare è mostrato in figura Il due sottosistemi S 1 e S 2, di ordine n 1 e n 2, hanno equazioni ẋ i (t) = A i x i (t)+b i u i (t) y i (t) = Cx i (t)+d i u i (t), con i = 1,2. Supponiamo per semplicità che siano strettamente propri, ovvero D 1 = D 2 = 0. I vincoli di interconnessione sono mostrati nel diagramma in figura, e sono: u 1 = u y 2 e y 1 = u 2 = y. Il sistema complessivo avrà ordine n = n 1 +n 2 e le sue equazioni saranno date da: ẋ 1 (t) = A 1 x 1 (t)+b 1 (u(t) C 2 x 2 (t)) ẋ 2 (t) = A 2 x 2 (t)+b 2 (C 1 x 1 (t)) y(t) = C 1 x 1 (t).

6 La matrice A del sistema complessivo è pertanto data da [ ] A1 B A = 1 C 2, A 2 B 2 C 1 i cui autovalori sono, in generale, diversi da quelli dei sottosistemi di partenza. Pertanto, l asintotica stabilità dei sistemi di partenza non implica, ne è implicata, dall asintotica stabilità del sistema interconnesso. 5. Si introduca la classe dei regolatori PI (Proporzionale Integrale), e si spieghi in cosa consiste il fenomeno della carica integrale (integral windup). Si illustri poi lo schema a blocchi di un implementazione anti-windup per tale classe di regolatori (4 punti). Un regolatore di tipo PI ha un azione di controllo u(t) che è somma di due componenti, una proporzionale all errore e(t), ed una proporzionale al suo integrale nel tempo. Di fatto, la funzione di trasferimento di tale regolatore è data da (1+sT i ) R PI (s) = k P, s dove k P è la costante proporzionale e T i è detto tempo integrale. Il fenomeno della carica integrale, relativo a sistemi di controllo con regolatori dotati di azione integrale, fa riferimento al fatto che, nella pratica, tra il regolatore ed il sistema da controllare è presente un attuatore, che è il dispositivo fisico che attua la variabile di controllo sul sistema. Ogni attuatore, per sua natura, è caratterizzato dal fenomeno della saturazione, che implica che l entità della variabile di controllo sia limitata. Pertanto, lo schema effettivo del sistema di controllo è quello mostrato in figura dove la variabile di controllo effettiva m(t) in uscita dal blocco che rappresenta la saturazione (SAT) è data da m(t) = u max, u > u max m(t) = u(t), u min u u max m(t) = u min, u < u min. Pertanto, nel caso in cui la variabile di controllo u(t) supera i limiti di saturazione, l uscita dell attuatore m(t) satura al valore massimo (o minimo). Finchè l errore non cambia segno, lo stato dell integratore e l uscita u del regolatore continuano ad aumentare (o a diminuire, a seconda del segno dell errore), potendo assumere valori estremamente più elevati dei valori di saturazione. Quando l errore cambia segno, lo stato dell integratore (e quindi la variabile u) cominciano a decrescere, ma non la variabile m, che inizia a scendere solo quando il valore di u rientra nei limiti di saturazione. Durante tutto questo intervallo di tempo la variabile controllata si allontana dal riferimento in maniera indesiderata, a causa del fatto che m rimane bloccata al valore massimo per tutto il tempo necessario a scaricare l integratore contenuto nel regolatore.

7 Per ovviare a tale problema si implementa il regolatore PI in configurazione anti wind-up, il cui schema è mostrato in figura e in cui i parametri k P e T i sono quelli del regolatore PI precedentemente introdotto. Tale schema consente un funzionamento standard del regolatore fuori dalla saturazione: in questo caso, ovvero con SAT=1, la funzione di trasferimento tra e ed m e quella del regolatore PI standard. In caso di saturazione, invece, lo schema consente di far crescere/decrescere la variabile u non appena l errore cambia segno, impedendo cosi l accumularsi della carica integrale.