1. Si consideri il sistema dinamico in figura, dove u(t) è la variabile di controllo, d(t) un disturbo 5

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1 CONTROLLI AUTOMATICI (Ingegneria Aerospaziale - Allievi da A a L) Prof.ssa Mara Tanelli Seconda Prova in Itinere del 26 Gennaio Si consideri il sistema dinamico in figura, dove u(t) è la variabile di controllo, d(t) un disturbo esogeno misurabile ed y(t) la variabile controllata e G(s) = (+20s)(+2s)(+0.4s), H(s) = (+20s). Si tracci lo schema a blocchi di un sistema di controllo comprensivo di un regolatore in retroazione, compensazione diretta del disturbo e compensazione diretta del riferimento..2 Si progetti ora un regolatore R(s) di tipo Proporzionale-Integrale in modo tale che la banda passante del sistema in anello chiuso sia ω c 0. rad/s. Si può procedere cancellando con lo zero di R(s) il polo dominante di G(s) e tarando poi il guadagno proporzionale K p per ottenere che la funzione di trasferimento d anello abbia pulsazione critica ω c 0. rad/s. Si ha quindi R(s) = s 20s L(s) = 0. s( + 2s)( + 0.4s).3 Si progetti un compensatore del disturbo che garantisca una buona attenuazione di d(t) nella banda di pulsazioni ω [0, ]rad/s. Il compensatore ideale ha funzione di trasferimento che non è realizzabile. Cd id (s) = H(s) = 0.( + 2s)( + 0.4s), G(s) Occorre, per rispettare la specifica, utilizzare un compensatore che abbia risposta in frequenza circa uguale a quella del compensatore ideale nella banda di pulsazioni ω [0, ]rad/s occorre quindi certamente mantenere nel compensatore reale il guadagno e lo zero a più bassa frequenza di quello ideale) e che, ovviamente, sia realizzabile.

2 Ad esempio, ( + 2s) C d (s) = s,.4 Si progetti un compensatore del riferimento che garantisca buone prestazioni di inseguimento di y 0 (t) nella banda di pulsazioni ω [0, 0.2]rad/s. Il compensatore ideale ha funzione di trasferimento che non è realizzabile. Cy id o(s) = = 0.2( + 20s)( + 2s)( + 0.4s), G(s) Occorre, per rispettare la specifica, utilizzare un compensatore che abbia risposta in frequenza circa uguale a quella del compensatore ideale nella banda di pulsazioni ω [0, 0.2]rad/s (occorre quindi certamente mantenere nel compensatore reale il guadagno e lo zero a più bassa frequenza di quello ideale) e che, ovviamente, sia realizzabile. Ad esempio, ( + 20s) C y o(s) = s.5 Si spieghi brevemente quali sono i vantaggi del sistema di controllo progettato ai punti precedenti rispetto ad uno schema senza compensazioni, con particolare riferimento al caso in cui l uscita y(t) del sistema sia affetta da significativi rumori di misura. Volendo utilizzare uno schema di controllo senza compensatori che rispetti entrambe le specifiche sul disturbo e sul riferimento occorre progettare R(s) in modo tale che la banda passante del sistema in anello chiuso sia pari almeno a ω c = rad/s, ovvero una decade maggiore di quella progettata al punto.. Una banda passante più elevata causa tuttavia un amplificazione degli errori di misura, il cui legame con l uscita y del sistema è descritto dalla funzione di sensitività complementare F (s) = L(s)/( + L(s)) (cambiata di segno). Da ciò si evince che gli errori di misura vengono attenutati solo per ω > ω c. Pertanto, la presenza di significativi rumori di misura sull uscita y(t) impone di mantenere il più possibile contenuta la banda passante del sistema in anello chiuso. E perciò evidente che tali rumori possono essere reiettati più efficacemente da un sistema di controllo comprensivo di compensatori, che offre più gradi di libertà per il soddisfacimento delle diverse specifiche. 2. Si consideri il sistema dinamico lineare stazionario a tempo continuo con due ingressi e due uscite descritto dalla seguente matrice di trasferimento G(s) = 5 +2s +0s +0s 5 +0s 2. Progettare un regolatore di disaccoppiamento per il sistema dato che garantisca errore nullo a transitorio esaurito a fronte di variazioni a scalino dei riferimenti e una banda passante per entrambi gli anelli del sistema disaccoppiato pari a ω c 2rad/s.

3 Progettiamo dapprima il disaccoppiatore (s), da scegliere in modo tale che la matrice G(s) (s) sia diagonale. Ponendo (s) = 22 (s) =, si ottiene 2 (s) = G 2(s) + 2s = 0.2 G (s) + 0s 2 (s) = G 2(s) G 22 (s) = 5. Valutiamo ora il sistema su cui si dovranno progettare i due regolatori disaccoppiati. Si ha G (s) = G (s) + 2 (s)g 2 (s) 0 G (s) = 0 G 2 (s) = G 22 (s) + 2 (s)g 2 (s) Sostituendo i valori numerici si ottiene G (s) = G (s) + 2 (s)g 2 (s) = 5 + 2s s = 4.8( + 0.3s) ( + 2s)( + 0s) 4.8 ( + 2s). Si può progettare un regolatore, ad esempio di tipo PI per rispettare la specifica. In particolare, si può procedere cancellando con lo zero di R (s) il polo G (s) e tarando poi il guadagno proporzionale K p per ottenere che la funzione di trasferimento d anello abbia pulsazione critica ω c 2 rad/s. Si ottiene dunque In modo del tutto analogo, R (s) = s 2s L(s) 2 s G 2 (s) = G 22 (s) + 2 (s)g 2 (s) = 5 + 0s s ( + 0s) ( + 0s). Progettando un regolatore R 2 (s) di tipo PI seguendo i passi visti per il progetto di R (s) si ottiene Si ottiene dunque R 2 (s) = s 0s L 2 (s) 2 s 2.2 Si calcoli la matrice dei guadagni relativi (RGA) per il sistema in esame e si discuta se, con un regolatore decentralizzato, si possano soddisfare le stesse specifiche di cui al punto 2. (nota: non si richede il progetto di tale regolatore). Si ha RGA = G(0) G(0) = La matrice RGA è pertanto molto vicina alla matrice identità. Ciò indica che è possibile, senza particolari difficoltà, effettuare un progetto di un regolatore decentralizzato che porti al soddisfacimento delle specifiche per il sistema in esame.

4 3. Si consideri il sistema retroazionato in figura, dove G(s) = (s+2) e R(s) = 0 s+2 s 3. Si spieghi in cosa consiste il fenomeno della carica integrale (integral wind-up) per il sistema di controllo considerato e si determini un implementazione anti-windup per R(s), disegnandone lo schema a blocchi. Il fenomeno della carica integrale, relativo a sistemi di controllo con regolatori dotati di azione integrale, fa riferimento al fatto che, nella pratica, ogni attuatore è caratterizzato dal fenomeno della saturazione. Ovvero, lo schema effettivo del sistema di controllo è quello mostrato in figura, dove la variabile di controllo effettiva m(t) in uscita dal blocco che rappresenta la saturazione è data da u max ; u > u max m(t) = u; u min u u max u min ; u < u min Pertanto, nel caso in cui la variabile di controllo u(t) supera i limiti di saturazione, l uscita dell attuatore m(t) satura al valore massimo (o minimo). Finchè l errore non cambia segno, lo stato dell integratore e l uscita u continuano ad aumentare (o a diminuire, a seconda del segno dell errore), potendo assumere valori estremamente più elevati dei valori di saturazione. Quando l errore cambia segno, lo stato dell integratore e quindi la variabile u cominciano a decrescere, ma non la variabile m, che inizia a scendere solo quando il valore di u rientra nei limiti di saturazione. Durante tutto questo intervallo di tempo la variabile controllata si allontana dal riferimento in maniera indesiderata, a causa del fatto che m rimane bloccata al valore massimo per tutto il tempo necessario a scaricare l integratore contenuto nel regolatore. La realizzazione anti-windup per il regolatore PI considerato si ottiene ponendo e Γ(s) = N(s) K p H(s) = R(s) = 0 s + 2 s = N(s) D(s) = s + 2 K(s) = N(s) Γ(s) = K p = 0 Γ(s) D(s) Γ(s) = + st i = + 0.5s. Pertanto lo schema a blocchi di un implementazione anti-windup di R(s) è quello mostrato in figura. 3.2 Si disegni lo schema a blocchi di un implementazione digitale del sistema di controllo considerato, specificando il significato dei singoli blocchi. Lo schema a blocchi di un implementazione digitale del sistema di controllo considerato è mostrata in figura, dove il blocco A/D effettua la conversione analogico/digitale del segnale e(t) mediante

5 campionamento, mentre il blocco ZOH effettua la conversione digitale/analogica del segnale u (k) mediante mantenitore di ordine zero. 3.3 Si scelga il tempo di campionamento T c in modo tale che il decremento di margine di fase dovuto al ritardo intrinseco di conversione introdotto dal mantenitore sia di 0 o. Il ritardo intrinseco di conversione introdotto dal mantenitore è pari a τ c = T c /2. Pertanto, poichè la pulsazione critica del sistema di controllo considerato è pari a ω c = 0rad/s, si ottiene da cui T c 0.035s. φ m = T c 2 ω 80 o c π = 0o, 3.4 Si determini, con il passo di campionamento fissato al punto precedente, la funzione di trasferimento del regolatore digitale con il metodo di Eulero indietro (o implicito) e si scriva l algoritmo di controllo comprensivo di anti-windup da implementare su un microprocessore. Il metodo Eulero indietro implica di utilizzare la trasformazione s (z )/(zt c ). Applicando tale trasformazione al regolatore R(s) si ottiene La legge di controllo è pertanto R(z) = U(z) E(z) = 0( + 2T c)z 0z 0 0 0z = z z z. u(k) = u(k ) + 0e(k) 0e(k ).

6 L algoritmo di controllo si può scrivere come leggi y0 e y; e=y0-y; u=u+0*e-0*e_old; if (u>u_max) u=u_max; if (u<u_min) u=u_min; scrivi u e_old=e; 4. Si consideri il sistema lineare e tempo invariante a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) 4. Si scrivano le espressioni del movimento libero e del movimento forzato di stato e uscita del sistema con condizioni iniziali x(0) = x 0 ed ingresso u(k) = ū(k). Per un sistema dinamico LTI a tempo discreto, le espressioni del movimento libero x L (t) e forzato x F (t) dello stato sono date da k x L (t) = A k x 0 x F (t) = A k j Bū(j). Corrispondentemente, le espressioni del movimento libero y L (t) e forzato y F (t) dell uscita sono date da j=0 y L (t) = CA k x 0 k y F (t) = C A k j Bū(j) + Dū(k). j=0 4.2 Per la classe di sistemi in esame, si dia la definizione di stato e uscita di equilibrio associati ad un ingresso costante u(k) = ū, e si mostri sotto quali condizioni questi esistono e sono unici. Lo stato di equilibrio associato ad un ingresso costante u(k) = ū per un sistema LTI a tempo discreto è dato dal movimento dello stato x(k) = x costante, che si ottiene a partire dall equazione di stato ponendo x = A x + Bū. Analogamente, l uscita di equilibrio ȳ si ottiene dalla trasformazione di uscita ponendo ȳ = C x + Dū. Risolvendo la prima equazione rispetto a x si ottiene

7 x = (I A) Bū, da cui si evince che lo stato di equilibrio esiste ed è unico se e solo se la matrice (I A) è invertibile. In tal caso esiste ed è unica anche l uscita di equilibrio, data da ȳ = [C(I A) B + D]ū.