Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 dicembre 27 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte, diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.. Dato il sistema dinamico descritto mediante il diagramma di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza 5 5 Magnitude (db) Phase (deg) 35 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Se con L si indica il guadagno d anello, la funzione di sensitivitá è data da (+L(s)) 2 G(s) +L(s) +L(s) L(s) +L(s) 3. Dato un sistema di controllo in retroazione, nel caso in cui le specifiche dinamiche siano incompatibili a causa di un tempo di assestamento desiderato molto piccolo e di un disturbo di misura n a frequenza relativamente bassa, si procede: assicurando con la retroazione il tempo di assestamento desiderato e introducendo un filtro sul ramo di retroazione per attenuare il disturbo attenuando con la retroazione il disturbo di misura e imponendo con un prefiltro il tempo di assestamento desiderato attenuando il disturbo con un compensatore dedicato (compensazione dei disturbi misurabili) e imponendo con la retroazione il tempo di assestamento desiderato 4. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio del guadagno d anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento si effettua cancellando, con lo zero della rete, il polo dell impianto che precede ω c anche se instabile non può essere applicata ad impianti instabili in catena aperta

2 5. L introduzione di un azione in avanti richiede la conoscenza analitica del segnale di riferimento permette di avere errore di inseguimento nullo in condizioni nominali è robusta rispetto a incertezze sui parametri dell impianto può essere applicata solo a impianti con grado relativo nullo 6. Se la funzione di anello di un sistema dinamico con controllo in retroazione presenta un margine di fase M f = 5 o =.8727 rad alla pulsazione ω c = 5 rad/s, il sistema sarà stabile a fronte di un ritardo presente nell anello di retroazione e trascurato in fase di progetto se questo non supera:.745 s.2566 s s s 7. Il tuning dei parametri di un regolatore PID che minimizzi opportuni indici integrali (IAE,ITAE, ecc.) richiede un modello molto accurato dell impianto (con tutti i poli e gli zeri) un modello approssimato del secondo ordine dell impianto un modello approssimato del primo ordine più ritardo dell impianto la sola conoscenza del margine di ampiezza e della pulsazione critica dell impianto 8. Il campionamento impulsivo di un segnale tempo-continuo (caratterizzato da uno spettro X(s)) con periodo T = 2π/ω s, genera una sequenza il cui spettro vale X (jω) = T X (jω) = T X (jω) = T X (jω) = T 9. Un regolatore digitale: X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) può essere implementato con diversi tipi di tecnologie: elettronica, meccanica, pneumatica, ecc. necessita di interfaccie adeguate (convertitori AD e DA) con l impianto da controllare esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione differenziale equivalente a R(s) esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione alle differenze ottenuta approssimando la funzione R(s). Il diagramma di Nyquist completo di un sistema con due poli nell origine si chiude all infinito con: due semicirconferenze percorse in senso orario una semicorconferenza percorsa in senso antiorario due semicirconferenze percorse in senso antiorario una semicirconferenze percorsa in senso orario

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 dicembre 27 - Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali, diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova.. Assegnato un sistema di controllo dove la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) é tale che e R(s) = K, K R, G(s) = s+5 s(s 2 +s+2)(s ), a Tracciare il diagramma completo di Nyquist di G(s) e determinare per quali valori del guadagno K il sistema di controllo risulta stabile internamente; 2. Dato l impianto descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = 4(s+.8) s 2 +4s+25 a) Progettare un regolatore statico R s (s) che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche di bassa frequenza: errore di velocità (ovvero errore a regime per ingresso a rampa) inferiore al 4%; attenuazione di almeno 2 volte di un disturbo sinusoidale sull uscita d con pulsazione ω d =. rad/s. b) Tracciare negli schemi forniti i diagrammi di Bode asintotici di G e (s) = R s (s)g(s) e valutare dai grafici i valori del margine di fase M f, margine di ampiezza M a, pulsazione di incrocio ω c e pulsazione critica ω f. c) Progettare il regolatore dinamico R d (s) di complessità minima che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche tenendo in considerazione che al punto successivo viene richiesta la progettazione di un prefiltro (essendo le specifiche richieste chiaramente incompatibili tra loro si scelga quali soddisfare col regolatore dinamico e quali con l aggiunta del prefiltro): tempo di assestamento T a.3 s; risposta aperiodica per ingresso a gradino. attenuazione di almeno volte di un disturbo di misura sinusoidale a pulsazione ω n = 2rad/s d) Progettare il prefiltro R pf (s) che consenta il soddisfacimento di tutte le specifiche richieste al punto precedente. e) Riportarenegli schemi fornitiilmodulodellafunzioned anellol(s) = R(s)G(s)(conR(s) = R s (s)r d (s)) e della funzione di sensitività complementare F(s) (schema in alto) e sovrapposti nello stesso schema (in basso) il modulo di F(s), quello di R pf (s) e quello della nuova funzione di trasferimento ingresso-uscita F (s) = R pf (s)f(s). f) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) = R s (s)r d (s) che prefiltro R pf (s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione lo spettro dei segnali in gioco e una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 2 o. Discretizzare entrambi i sistemi con il metodo di Tustin. g) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) = U(z) E(z) e R pf(z) = Y(z) Q(z).

4 Cognome: Nome: N. Matr.: Diagramma di Bode delle ampiezze di G e (s) 8 6 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] ω c : ω f : M f : M a :

5 8 Diagramma di Bode delle ampiezze di L(s) e F(s) 6 4 Modulo M [db] Pulsazione ω [rad/s] Diagramma di Bode delle ampiezze di F(s), R pf (s) e F (s) = R pf (s)f(s) Modulo M [db] Pulsazione ω [rad/s] Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 dicembre 27 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette.

6 I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte, diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.. Dato il sistema dinamico descritto mediante il diagramma di Bode di figura: il margine di ampiezza è infinito il margine di ampiezza vale circa 75 db il margine di ampiezza vale circa 25 db non è possibile calcolare il valore del margine di ampiezza 5 5 Magnitude (db) Phase (deg) 35 Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2. Se con L si indica il guadagno d anello, la funzione di sensitivitá è data da (+L(s)) 2 G(s) +L(s) +L(s) L(s) +L(s) 3. Dato un sistema di controllo in retroazione, nel caso in cui le specifiche dinamiche siano incompatibili a causa di un tempo di assestamento desiderato molto piccolo e di un disturbo di misura n a frequenza relativamente bassa, si procede: assicurando con la retroazione il tempo di assestamento desiderato e introducendo un filtro sul ramo di retroazione per attenuare il disturbo attenuando con la retroazione il disturbo di misura e imponendo con un prefiltro il tempo di assestamento desiderato attenuando il disturbo con un compensatore dedicato (compensazione dei disturbi misurabili) e imponendo con la retroazione il tempo di assestamento desiderato 4. La progettazione di una rete correttrice per cancellazione: permette di imporre sia il margine di ampiezza che la pulsazione di incrocio del guadagno d anello è utile per evitare l insorgere di code di assestamento si effettua cancellando, con lo zero della rete, il polo dell impianto che precede ω c anche se instabile non può essere applicata ad impianti instabili in catena aperta

7 5. L introduzione di un azione in avanti richiede la conoscenza analitica del segnale di riferimento permette di avere errore di inseguimento nullo in condizioni nominali è robusta rispetto a incertezze sui parametri dell impianto può essere applicata solo a impianti con grado relativo nullo 6. Se la funzione di anello di un sistema dinamico con controllo in retroazione presenta un margine di fase M f = 5 o =.8727 rad alla pulsazione ω c = 5 rad/s, il sistema sarà stabile a fronte di un ritardo presente nell anello di retroazione e trascurato in fase di progetto se questo non supera:.745 s.2566 s s s 7. Il tuning dei parametri di un regolatore PID che minimizzi opportuni indici integrali (IAE,ITAE, ecc.) richiede un modello molto accurato dell impianto (con tutti i poli e gli zeri) un modello approssimato del secondo ordine dell impianto un modello approssimato del primo ordine più ritardo dell impianto la sola conoscenza del margine di ampiezza e della pulsazione critica dell impianto 8. Il campionamento impulsivo di un segnale tempo-continuo (caratterizzato da uno spettro X(s)) con periodo T = 2π/ω s, genera una sequenza il cui spettro vale X (jω) = T X (jω) = T X (jω) = T X (jω) = T 9. Un regolatore digitale: X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) X(jω jnω s ) X(jω jn2ω s ) può essere implementato con diversi tipi di tecnologie: elettronica, meccanica, pneumatica, ecc. necessita di interfaccie adeguate (convertitori AD e DA) con l impianto da controllare esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione differenziale equivalente a R(s) esegue in tempo-reale l algoritmo di controllo rappresentato da un equazione alle differenze ottenuta approssimando la funzione R(s). Il diagramma di Nyquist completo di un sistema con due poli nell origine si chiude all infinito con: due semicirconferenze percorse in senso orario una semicorconferenza percorsa in senso antiorario due semicirconferenze percorse in senso antiorario una semicirconferenze percorsa in senso orario

8 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici Ho superato la Parte A in data (mese/anno) Controlli Automatici (Parte B) Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 dicembre 27 - Problemi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali, diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova.. Assegnato un sistema di controllo dove la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) é tale che e R(s) = K, K R, G(s) = s+5 s(s 2 +s+2)(s ), a Tracciare il diagramma completo di Nyquist di G(s) e determinare per quali valori del guadagno K il sistema di controllo risulta stabile internamente; Come si vede dai diagrammi di Nyquist, sia per K positivo che per K negativo non esistono valori per cui il sistema ad anello chiuso sia stabile. Il numero di giri antiorario attorno al punto (, ) dovrebbe essere, mentre invece per K positivo è e per K negativo è prima e poi a seconda del valore di K. Questo si evince anche dalla tabella di Routh che presenta nella prima colonna una variazione che non dipende da K. Tabella : Routh -8 5K -9 K-2 92-K -45K K 2-293K-84-45K Nyquist Diagram Nyquist Diagram Imaginary Axis Imaginary Axis Real Axis (a) Nyquist positivo Real Axis (b) Nyquist nehgativo Figura : Diagrammi di Nyquist 2. Dato l impianto descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = 4(s+.8) s 2 +4s+25 a) Progettare un regolatore statico R s (s) che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche di bassa frequenza:

9 errore di velocità (ovvero errore a regime per ingresso a rampa) inferiore al 4%; attenuazione di almeno 2 volte di un disturbo sinusoidale sull uscita d con pulsazione ω d =. rad/s. Dal momento che è richiesto errore a regime limitato per ingresso a rampa il regolatore statico R s (s) dovrá avere un polo nell origine (dal momento che nell impianto non ve ne sono), e quindi avrá la forma R s (s) = µ s dove µ è determinato imponendo il soddisfacimento delle due condizioni di bassa frequenza. In particolare dalla prima si ricava e v = lim s s µ s G() = µg().4 µ.4g() = essendo il guadagno statico G() =.28. Dalla seconda condizione, che può essere riscritta come S(jω) 2 alla pulsazione ω d =.rad/s considerando l espressione approssimata di S(jω) per basse frequenze, si ricava S(jω d ) L(jω d ) = µ.5. G(jω d ) jω d Svolgendo i calcoli risulta G(j.)/j. = 2.93 da cui µ = 5.5. Per garantire che entrambe le condizioni siano verificate, occorre assumere il valore di µ più grande tra quelli trovati. Per semplicità si considera µ = 2. b) Tracciare negli schemi forniti i diagrammi di Bode asintotici di G e (s) = R s (s)g(s) e valutare dai grafici i valori del margine di fase M f, margine di ampiezza M a, pulsazione di incrocio ω c e pulsazione critica ω f. Vedere diagramma in fondo. M f = 6.6 o, ω c = 28.6 rad/s, M a =, ω f non esiste. c) Progettare il regolatore dinamico R d (s) di complessità minima che consenta il soddisfacimento delle seguenti specifiche tenendo in considerazione che al punto successivo viene richiesta la progettazione di un prefiltro (essendo le specifiche richieste chiaramente incompatibili tra loro si scelga quali soddisfare col regolatore dinamico e quali con l aggiunta del prefiltro): tempo di assestamento T a.3 s; risposta aperiodica per ingresso a gradino. attenuazione di almeno volte di un disturbo di misura sinusoidale a pulsazione ω n = 2rad/s Per il calcolo del regolatore dinamico si considera il sistema esteso G e (s) = 8(s+.8) s(s 2 +4s+25). Le specifiche dinamiche possono essere tradotte in vincoli sul margine di fase e sulla pulsazione di incrocio della funzione d anello. In particolare, T a.3s 3 ω c.3s ω c rad/s risposta aperiodica M f 8 o attenuazione di volte del diturbo di misura ω c 2 = 2rad/s Dal momento che le due specifiche su ω c sono incompatibili, si progetterà il regolatore dinamico con l obiettivo di attenuare il disturbo di misura, demandando al prefiltro l ottenimento del tempo di assestamento desiderato. Di conseguenza si assumerà M f = 8o e ω c = 2 rad/s. Dal calcolo del modulo e dell argomento di G e (jω), alla pulsazione ω c (e dai diagrammi di bode appena tracciati) si evince come

10 sia necessaria una rete ritardarice. Infatti, G e (j2) = e arg(g e (j2)) = o. Pertanto l amplificazione della rete dovrà essere mentre lo sfasamento dovrà essere M = G e (jω c) =.26, ϕ = 8 o +M f arg(g e (jω c)) = o. M e ϕ verificano le condizioni di applicabilità di una rete ritardatrice. Dalle formule di inversione si ricava che τ = e ατ =.35 per cui R d (s) = ατ s+ τ s+ =.35s s+ d) Progettare il prefiltro R pf (s) che consenta il soddisfacimento di tutte le specifiche richieste al punto precedente. Il prefiltro ha lo scopo di rendere il sistema retroazionato più veloce, allargandone la banda fino a ottenre una pulsazione di taglio di rad/s (anzichè l attuale di 2 rad/s), come richiesto dalla specifica sul tempo di assestamento. Pertanto avrà l espressione R pf (s) = s 2 + s + e) Riportarenegli schemi fornitiilmodulodellafunzioned anellol(s) = R(s)G(s)(conR(s) = R s (s)r d (s)) e della funzione di sensitività complementare F(s) (schema in alto) e sovrapposti nello stesso schema (in basso) il modulo di F(s), quello di R pf (s) e quello della nuova funzione di trasferimento ingresso-uscita F (s) = R pf (s)f(s). Vedere diagramma in fondo. f) Volendo discretizzare sia il regolatore R(s) = R s (s)r d (s) che prefiltro R pf (s) scegliere il tempo di campionamento più idoneo tenendo in considerazione lo spettro dei segnali in gioco e una specifica sul ricostruttore di ordine zero che deve introdurre uno sfasamento sul margine di fase inferiore a 2 o. Discretizzare entrambi i sistemi con il metodo di Tustin. Il tempo di campionamento deve essere scelto considerando la più restrittiva delle condizioni richieste: pulsazione di campionamento pari a volte la massima pulsazione dei segnali in gioco che in questo caso risulta pari a ω max = rad/s (larghezza di banda della funzione ingresso-uscita con prefiltro): ω s = ω max = rad/s T = 2π ω s =.628 s; massimo sfasamento (negativo) sul margine di fase, introdotto dal ricostruttore di ordine zero, inferiore a 2 o : M f = T 2 ω 8 c π 2o T 2π 8 =.349 s essendo ω c = ωc = 2 rad/s. Per soddisfare entrambe le specifiche si assume T =.2 s. Sostituendo s = 2 z i corrispondenti sistemi discretizzati risultano T +z R(s) = 2 s.35s s+ R(z) = z.2627z 2.999z +.999z 2 =.285z2 +.78z.2627 z 2.999z +.999

11 R pf (s) = s z 4.636z s + R pf(z) =.882z = z.882 g) Scrivere le equazioni alle differenze corrispondenti ai due sistemi discretizzati al punto precedente R(z) = U(z) E(z) e R pf(z) = Y(z) Q(z). Interpretando z come l operatore ritardo unitario segue immediatamente che le equazioni alle differenze corrispondenti a R(z) e M(z) sono: R(z) = z.2627z 2.999z +.999z 2 = U(z) E(z) u k =.999u k.999,u k e k +.78e k.2627e k 2 R pf (z) = z.882z = Y(z) Q(z) y k =.882y k q k 4.455q k

12 Cognome: Nome: N. Matr.: Diagramma di Bode delle ampiezze di G e (s) 8 6 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] ω c : ω f : M f : M a :

13 8 Diagramma di Bode delle ampiezze di L(s) e F(s) 6 4 Modulo M [db] Pulsazione ω [rad/s] Diagramma di Bode delle ampiezze di F(s), R pf (s) e F (s) = R pf (s)f(s) Modulo M [db] Pulsazione ω [rad/s]