Controlli Automatici 2 13/07/05 Compito a

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1 Controlli Automatici 3/7/5 Compito a a) Data la funzione di trasferimento P (s) = (s+)(s+) (s+)s. a.) Si tracci il diagramma di Bode. a.) Si tracci il diagramma di Nyquist. Bode Diagram 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure : Bode per il compito a a.3) Si tracci il luogo (diretto) delle radici di P (s). a.4) Si dica se e possibile stabilizzare il sistema retroazionandolo con un controllore a sola azione proporzionale e in caso si calcoli la massima banda ottenibile (ad anello chiuso) con tale regolatore. R. Dal luogo delle radici o dal diagramma di Nyquist di vede che un proporzionale, con guadagno sufficientemente elevato, stabilizza il sistema. Inoltre, al crescere del guadagno, due poli si avvicinano agli zeri mentre l altro tende a sull asintoto, ovvero la banda puo essere allargata arbitrariamente. a.5) Si dica se e possibile stabilizzare il sistema retroazionandolo con un controllore a sola azione integrale e in caso si calcoli la massima banda ottenibile (ad anello chiuso) con tale regolatore.

2 Nyquist Diagram Figure : Nyquist per il compito a R. No, lo si puo vedere dal luogo delle radici o dal diagramma di Nyquist di P (s) /s. b) Dato il sistema descritto dalla funzione di trasferimento P (s) = P (s) s(s+), si progetti un controllore C(s), da utilizzarsi in retroazione, tale che il sistema ad anello chiuso sia asintoticamente stabile e (i requisiti non devono essere soddisfatti dallo stesso controllore): b.) Per P (s) = e.s, l errore di regime permanente in risposta ad un segnale di riferimento alla rampa del sistema sia in modulo inferiore al %. R. Il guadagno di velocita ν di C(s)P (s) dev essere tale che /ν <.. Se C(s) esercita solo azione proporzionale K deve essere K > 5. Per tale valore il sistema 5P (s) ha pulsazione di attraversamento circa pari a 3 e margine di 8. Il ritardo introduce uno sfasamento di 3. =.3rad 7 e dunque la stabilita sarebbe al limite. Per migliorare la stabilita si puo introdurre una rete attenuatrice, che restringe la banda, del tipo C(s) = s + s +

3 3 Root Locus Figure 3: Luogo delle radici per il compito a. In alternativa, si puo introdurre un ulteriore polo nell origine e uno zero prima del polo del sistema (che altrimenti la fase sta sempre sotto i -8 gradi) con il controllore C(s) =. s + s b.) Il sistema C(s)P (s) abbia pulsazione di attraversamento non inferiore a rad/s e il sistema risultante sia asintoticamente stabile quando P (s) = e.s. R. Il controllore C(s) = soddisfa i requisiti, dato che la pulsazione di attraversamento e circa a e il margine vale 38. b.3) Il sistema si mantenga stabile quando P (s) = Ke.s e K [, 4]. R. Il controllore C(s) = soddisfa i requisiti. c.) Sia dato un sistema del primo ordine P (s) asintoticamente stabile e senza poli nell origine e si supponga l uscita sia corrotta dal disturbo d(t) = α sin(t), ovvero l uscita del sistema sia Y (s) = P (s)u(s) + D(s). Si dimostri che se si desidera che l errore di regime permanente a ingresso di riferimento nullo sia nullo, il controllore C(s) da utilizzarsi in retroazione per la generazione 3

4 automatica dell ingresso u(t), (ovvero U(s) = C(s)(R(s) Y (s))) deve essere almeno del secondo ordine. R. Y (s) = D(s) = S(s)D(s) C(s)P (s) Se il sistema retroazionato e stabile, con un ingresso sinusoidale l uscita tendera al suo regime permanente y RP (t) = α S(j) sin(t + S(j)) Affinche tale funzione sia nulla si deve avere che S(j) =, ovvero lim s j C(s)P (s) =, ovvero C(s) deve avere un polo in s = j, dunque dovra essere almeno del secondo ordine. 4

5 Controlli Automatici 3/7/5 Compito b a) Sia dato un sistema del primo ordine P (s) asintoticamente stabile e senza poli nell origine e si supponga l uscita sia corrotta dal disturbo d(t) = α sin(t), ovvero l uscita del sistema sia Y (s) = P (s)u(s) + D(s). Si dimostri che se si desidera che l errore di regime permanente a ingresso di riferimento nullo sia nullo, il controllore C(s) da utilizzarsi in retroazione per la generazione automatica dell ingresso u(t), (ovvero U(s) = C(s)(R(s) Y (s))) deve essere almeno del secondo ordine. R. Si veda la risposta c del compito a. b) Data la funzione di trasferimento P (s) = (s+)(s+) (s+)s. b.) Si tracci il luogo (diretto) delle radici di P (s)..5 Root Locus Figure 4: Luogo delle radici per il compito b b.) Si dica se e possibile stabilizzare il sistema retroazionandolo con un controllore a sola azione integrale e in caso si calcoli la massima banda ottenibile

6 (ad anello chiuso) con tale regolatore. R. Si veda risposta a.5) del compito a. b.3) Si tracci il diagramma di Nyquist. 6 Nyquist Diagram Figure 5: Nyquist per il compito b b.4) Si tracci il diagramma di Bode. b.5) Si dica se e possibile stabilizzare il sistema retroazionandolo con un controllore a sola azione proporzionale e in caso si calcoli la massima banda ottenibile (ad anello chiuso) con tale regolatore. R. Si veda la risposta a.4) del compito a. c) Dato il sistema descritto dalla funzione di trasferimento P (s) = P (s) s(s+), si progetti un controllore C(s), da utilizzarsi in retroazione, tale che il sistema ad anello chiuso sia asintoticamente stabile e (i requisiti non devono essere soddisfatti dallo stesso controllore): R. c.) Per P (s) = e.s, l errore di regime permanente in risposta ad un segnale di riferimento alla rampa del sistema sia in modulo inferiore al %. 6

7 Bode Diagram 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 6: Bode per il compito b R. La soluzione procede secopndo la risposta b. del compito a. c.) Il sistema C(s)P (s) abbia pulsazione di attraversamento non inferiore a rad/s e il sistema risultante sia asintoticamente stabile quando P (s) = e.s. R. Il controllore C(s) = soddisfa i requisiti. c.3) Il sistema si mantenga stabile quando P (s) = Ke.s e K [, 5]. R. Il controllore C(s) = soddisfa i requisiti. 7