Sistemi con ritardo. Appunti di Controlli Automatici. Ing. Alessandro Pisano. Versione 1.0

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1 Sistemi con ritardo Appunti di Controlli Automatici Versione 1.0 Ing. Alessandro Pisano

2 SOMMARIO 1. Introduzione (3) 2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo (4) 3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo (8) 3.1 Ritardo puro (8) 3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo (13) 4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico (16) 5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua (18) calda acqua fredda 2

3 Sistemi con ritardo 1. Introduzione Nello studio dei sistemi dinamici spesso si assume che la FdT sia una funzione razionale fratta (cioè, un rapporto di polinomi nella variabile s di Laplace). Questa modalità di rappresentazione è valida solo per sistemi che rispondono istantaneamente alle variazioni della variabile di ingresso. Una tipica risposta di un sistema senza ritardo è riportata nella figura 1. u(t) t 0 0 y(t) t 0 Figura 1 - Sistema istantaneo In molti casi pratici tale ipotesi di istantaneità non è verificata e sono presenti ritardi finiti. Esempio 1. Si consideri un tratto di tubazione di lunghezza L. In corrispondenza della sezione S IN posta sul lato sinistro viene immessa una portata q(t) di un certo fluido, che si propaga nella tubazione con velocità costante V. u(t) q(t) S IN S OUT y(t) q(t-δ) Figura 2 - Sezione di tubazione Se si considerano come variabile di ingresso u(t) la portata q(t) immessa alla sezione di ingresso S IN e come variabile di uscita y(t) la portata misurata all istante t nella sezione di uscita S OUT, si ricava facilmente come l uscita dipenda dalla portata in ingresso attraverso un legame (statico) che coinvolge un ritardo temporale δ 3

4 = (1) = δ δ = (2) Il ritardo temporale δ dipende ovviamente sia dalla lunghezza L della tubazione che dalla velocità di transito del fluido. Nella figura 3 analizziamo un possibile segnale di ingresso e la relativa uscita. L uscita riproduce, con un ritardo temporale δ, il medesimo profilo dell ingresso. q(t) t δ y(t) δ t Figura 3 - Possibile andamento dell'ingresso e dell'uscita per il sistema dell'esempio 1 Il ritardo δ è il tempo che si deve attendere affinché una variazione dell ingresso si manifesti in una corrispondente variazione dell uscita. Vediamo se è possibile dare una rappresentazione di un legame dinamico che coinvolga un ritardo per mezzo di una FdT. 2. Funzioni di trasferimento di sistemi con ritardo Per caratterizzare in termini di FdT sistemi dinamici con ritardi finiti si impiega il Teorema di traslazione nel tempo, una della proprietà notevoli della Trasformata di Laplace (TdL). Teorema di traslazione nel dominio del tempo della TdL Sia X(s) la TdL del segnale x(t): L(x(t)) = X(s) (3) La Trasformata di Laplace del segnale ritardato x(t-δ), dove δ è un ritardo costante, vale L(x(t-δ)) = X(s) δ (4) Applicando tale teorema al legame I/O dell Esempio 1 si può determinarne la FdT associata. Si ha: 4

5 = (5) = δ (6) e pertanto, ricordando come la FdT sia, per definizione, il rapporto tra le TdL dell uscita e dell ingresso, si avrà = = δ = δ (7) La FdT individuata nella (7) è una funzione trascendente, e contiene il termine esponenziale complesso tipico dei sistemi con ritardo. Più in generale, la FdT di un sistema SISO con ritardo viene espresso nella forma seguente = δ (8) dove B(s) ed A(s) sono polinomi razionali ed il parametro positivo δ viene detto ritardo del sistema. Si noti che la rappresentazione (8), con il termine esponenziale δ che moltiplica la FdT razionale fratta, è solo un caso particolare di FdT associate a sistemi con ritardo, caso che peraltro copre una vasta casistica di interesse applicativo. Legami I/O di carattere piu generale rispetto al semplice legame (2) portano a FdT di forma più complessa. Ad esempio, il legame dinamico + = δ viene trasformato con Laplace nella forma seguente + δ = δ e conduce, come è facile verificare, alla seguente FdT che non può essere ricondotta nella forma di rappresentazione (8). = = δ δ Peraltro, come si è detto, la rappresentazione (8) è sufficientemente generale da coprire molti casi di interesse applicativo e quindi il nostro studio si concentrerà su tale classe di sistemi. Esempio 2 - Laminatoio Si consideri un impianto di laminazione, schematizzato nella Figura 4. L obbiettivo del controllo è quello di regolare lo spessore di un laminato agendo sulla distanza tra i cilindri del laminatoio. La distanza verticale h tra i cilindri viene variata per mezzo di un motore elettrico accoppiato ad un opportuno riduttore. 5

6 Set-point + Regolatore Amplificatore Riduttore Motore Misuratore di spessore Cilindro 1 y Laminato h V Cilindro 2 d Figura 4 - Schema di principio di un laminatoio Con riferimento alla Figura 4 individuiamo gli elementi costituenti il sistema. Il laminato scorre da destra verso sinistra con velocità costante V. Per motivi pratici, il trasduttore che misura lo spessore dovrà essere posizionato ad una certa distanza d dai cilindri del laminatoio. Il trasduttore di misura rileva lo spessore y del laminato, e ne trasduce il valore in un segnale elettrico. Tale segnale viene confrontato in un nodo di comparazione con il valore di set-point, ed il risultante segnale di errore viene elaborato da blocco regolatore. L uscita del blocco regolatore deve pilotare il motore, e a tal fine è necessario interporre un opportuno amplificatore di potenza in grado di interfacciarsi direttamente con gli avvolgimenti del motore. Il legame tra l uscita del sistema, y(t), e l ingresso h(t) è descritto dalla seguente relazione = h = (9) Sulla base di quanto detto in precedenza ciò significa che la FdT W(s) tra lo spessore del laminato e la distanza tra i cilindri è data da = / = (10) Si può quindi costruire uno schema a blocchi equivalente come quello in Figura 5 6

7 Set-point + h y Regolatore Amplificatore Riduttore Motore Figura 5 Rappresentazione del laminatoio mediante schema a blocchi Esempio 3 Scambiatore di calore Consideriamo uno scambiatore di calore a fasci tubieri per la produzione di acqua calda. All interno dei fasci tubieri viene immessa acqua fredda. I fasci tubieri vengono investiti da vapore ad alta temperatura che trasferisce energia termica al fluido che scorre al loro interno. All uscita dello scambiatore troviamo pertanto acqua calda (oltre che, ovviamente, il vapore condensato). Si faccia riferimento alla seguente Figura 6. I / P Convertitore Corrente/Pressione Regolatore Acqua fredda Set-point T + Vapore ad alta temperatura p Servovalvola pneumatica T Acqua calda Sensore di temperatura Condensa Figura 6 Schema di principio di uno scambiatore di calore La portata del vapore in ingresso viene modulata per mezzo di una servovalvola pneumatica di regolazione, che è pertanto l organo attuatore dell azione di controllo. La servo valvola è asservita ad un sistema di controllo in retroazione basato sulla misura della temperatura T dell acqua 7

8 all uscita dello scambiatore. Il segnale di controllo per la servo valvola viene generato da un opportuno convertitore corrente/pressione, che converte il segnale elettrico in uscita dal regolatore (che supponiamo essere un segnale in corrente nel range 4 20 ma) in un segnale di pressione p che si interfaccia direttamente con il posizionatore della servo valvola (un range tipico per i segnali di pressione utilizzati nei sistemi di controllo in tecnologia pneumatica è 3 15 Psi). La grandezza di uscita è pertanto la temperatura T dell acqua all uscita dello scambiatore, una quantità che si desidera regolare ad un valore costante. Fra il punto in cui viene misurata la temperatura ed il punto in cui si esercita l azione di controllo vi è un ritardo finito che dipende sia dalla velocità di transito dell acqua nei fasci tubieri che dalla lunghezza e geometria degli stessi. Si ha pertanto un ritardo finito tra l istante in cui una modifica della variabile di ingresso (la portata di vapore in ingresso) si manifesta in una modifica della variabile di uscita (la temperatura T). Aumentando la lunghezza dei fasci tubieri, o riducendo la velocità di transito dell acqua all interno dello scambiatore, tale ritardo aumenta. Analizziamo qualitativamente le dinamiche principali che concorrono nel fenomeno di scambio termico controllato che avviene nel sistema seguendo i vali legami di causa-effetto conseguenti ad una variazione del segnale di controllo p della servo valvola. A fronte di una variazione del segnale di controllo della servo valvola si produce una variazione della portata del vapore che transita nella servo valvola. Tale variazione avviene secondo la dinamica propria della servo valvola, e dipende anche dalle condizioni termodinamiche (pressione, temperatura,..) del vapore a monte e a valle della valvola. La variazione della portata del vapore induce un transitorio di adeguamento della temperatura nella regione esterna ai fasci tubieri che viene investita dal vapore ad alta temperatura. Si ha quindi la dinamica dello scambio termico tra l esterno e l interno dei fasci tubieri. In ultimo, si ha il transito del fluido fino al condotto di uscita in cui viene misurata la temperatura 3. Stabilità a ciclo chiuso di sistemi con ritardo 3.1 Ritardo puro Gli esempi precedenti mostrano come la presenza di ritardi finiti nei sistemi di controllo sia un fenomeno rilevante. Abbiamo anche visto come i ritardi finiti si prestino ad una rappresentazione nel dominio della Trasformata di Laplace basata su fattori esponenziali del tipo, dove δ rappresenta il valore del ritardo (espresso in secondi). Analizziamo le caratteristiche della risposta armonica di una FdT puramente esponenziale = (11) Ricordiamo che una FdT esponenziale del tipo (11) definisce un legame I/O nella forma di un ritardo temporale puro (v. Fig 7). 8

9 x(t) y(t) y(t) = x (t-δ) Figura 7 - Schema a blocchi di un ritardo puro La funzione di risposta armonica vale ω = ω (12) Dalla identità ω = = ω (13) si ricavano le espressioni del modulo e della fase della ω: = 1 = ω (14) La FdT esponenziale (12) ha una funzione di risposta armonica in cui il valore dei moduli è unitario su tutte le frequenze mentre è presente uno sfasamento in ritardo che cresce linearmente all aumentare della frequenza. La pendenza negativa della retta è proprio il ritardo δ. Le relazioni (13) e (14) ci dicono che, con riferimento alla Figura 7, una sinusoide x(t) di ampiezza unitaria e pulsazione ω in ingresso al blocco G(s) da luogo, in uscita, ad una sinusoide della medesima frequenza, di ampiezza unitaria, sfasata in ritardo rispetto all ingresso di un angolo ωδ. Ciò è ovvio se si considera il legame ingresso uscita y(t)=x(t-δ), che implica come la riposta y(t) all ingresso x(t)=sin(ωt) sia y(t)= x(t-δ)=sin(ωt-ωδ). I diagrammi di Bode della Funzione di risposta armonica ω sono riportati a seguire M db (ω)=20log 10 (M(ω)) log(ω) ϕ(ω) log(ω) Figura 8 - Diagrammi di risposta armonica del termine esponenziale 9

10 Per quanto concerne il diagramma delle fasi si osservi che l andamento esponenziale decrescente è dovuto al fatto che l asse delle ascisse è graduato in termini del log(ω). Un grafico equivalente, ma con l asse delle ascisse graduato sulla frequenza ω e non sul suo logaritmo, vedrebbe un diagramma delle fasi con andamento rettilineo decrescente (con pendenza negativa, in accordo con la seconda delle (14)). E utile confrontare i diagrammi delle fasi in corrispondenza di due diversi valori del ritardo. Si considerino i valori δ 1 e δ 2, con δ 1 >δ 2 e si faccia riferimento alla figura seguente. ϕ(ω) log(ω) > Figura 8 - Diagrammi delle fasi per diversi valori del ritardo Osserviamo come ad una data frequenza il valore del ritardo δ determini un maggiore o minore sfasamento in ritardo del corrispondente diagramma degli sfasamenti. I ritardi di fase hanno notoriamente effetti deleteri sulle proprietà di stabilità degli schemi a ciclo chiuso. Investighiamo ora le proprietà di stabilità a ciclo chiuso di sistemi contenenti dei ritardi. Iniziamo dal caso più semplice di un sistema in retroazione con funzione di trasferimento di ciclo aperto =. Consideriamo per semplicità un sistema di controllo a retroazione unitaria. x(t) + k y(t) Figura 9 Sistema a ciclo chiuso Il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso è: + = (15) Si desidera investigare le proprietà di stabilità del sistema a ciclo chiuso, descritto dalla funzione di trasferimento = = (16) 10

11 Il polinomio caratteristico = 1 + è una funzione trascendente che ne complica l analisi. Utilizziamo il criterio di stabilità di Nyquist, la cui validità copre anche sistemi dinamici affetti da ritardi finiti. La funzione di risposta armonica a ciclo aperto è =. La figura seguente riporta il diagramma di Nyquist completo per la, che parte, a frequenza ω=0, dal punto di coordinate (k,0) e coincide con la circonferenza centrata nell origine di raggio k, che viene percorsa infinite volte (in senso orario per valori crescenti della frequenza). Nell analisi secondo il criterio di Nyquist la variazione del guadagno k può essere messa in conto come una traslazione orizzontale del punto critico. Averlo disegnato in Figura 10 alla sinistra del punto ( k,0), intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo, significa avere implicitamente assunto, nel tracciare il diagramma, che k < 1. In tale condizione il punto critico non viene circondato dal diagramma e pertanto il sistema a ciclo chiuso è stabile. Se invece k>1 il punto critico si trova alla destra del punto ( k,0), e quindi all interno della circonferenza individuata dal diagramma di Nyquist. Pertanto il sistema a ciclo chiuso è instabile se k>1. Quando k=1 il diagramma passa per il punto critico, e quindi siamo in condizione di limite di stabilità per il sistema a ciclo chiuso. Im(F(jω)) Punto critico -1+j0 -k k Re(F(jω)) Punto di partenza Figura 10 Diagramma di Nyquist della FdT a ciclo aperto L analisi con il criterio di Nyquist ci dice quindi che il sistema a ciclo chiuso è: - Stabile se k < 1 - instabile se k > 1 - al limite di stabilità se k=1 Le proprietà di stabilità a ciclo chiuso della semplice FdT in esame = dipendono quindi soltanto dal valore del guadagno d anello e non dal particolare valore del ritardo. Le cose cambieranno quando andremo a considerare FdT piu complesse, per le quali il valore del ritardo è invece determinante ai fini della determinazione delle proprietà di stabilità a ciclo chiuso. 11

12 Verifichiamo i risultati ottenuti simulando il sistema in Figura 9 con un ingresso x(t) a gradino unitario, un valore del ritardo pari a =., e, in successione, con tre diversi valori del guadagno k (rif. File ritardo_puro.mdl ). Per k=1 il sistema presenta come atteso una oscillazione permanente. Per k=0.5 l uscita tende al valore di regime k/(1+k), calcolabile applicando il teorema del valore finale. Per k = 1.1 l uscita diverge. Si vedano i corrispondenti grafici nelle tre figure seguenti. Uscita a ciclo chiuso con k=1 Uscita a ciclo chiuso con k=0.5 Uscita a ciclo chiuso con k=1.1 12

13 3.2 Sistemi elementari del primo e secondo ordine con ritardo Ora analizziamo la stabilità a ciclo chiuso di sistemi più complessi. Tratteremo in successione i tre casi seguenti : = 1 + : = : = 1 + dove τ è una costante di tempo positiva. A. = Analizziamo preliminarmente le proprietà di stabilita a ciclo chiuso per la Fdt senza il ritardo. La FdT = ha un diagramma di Nyquist che, limitatamente alle frequenza positive, è interamente contenuto nel IV quadrante (v. Figura 11-(a)). Ciò dipende dal fatto che la fase di è sempre compresa tra 0 e -90. Il diagramma parte per ω=0 dal punto (k,0), e converge all origine per ω con un andamento simile a quello riportato nella Figura 11-(a). Quindi, la FdT senza il ritardo da luogo ad un sistema che, a ciclo chiuso, è sempre stabile qualunque sia il valore di k. Questa è una proprietà facilmente verificabile analizzando luogo delle radici della =. Le cose cambiano quando si include la presenza del ritardo δ. Nella figura 11-(b) si riportano due possibili andamenti per i diagrammi di Nyquist della F s = e, in corrispondenza di due diversi valori δ 1 e δ 2 del ritardo, con δ 1 < δ 2. Si nota come i diagrammi delle FdT con ritardo hanno un andamento sostanzialmente differente in quanto la fase non è più compresa tra 0 e -90 a causa del ritardo di fase, crescente con ω, introdotto dal ritardo. 11-(a) 11-(b) < k (-1,0) (-1,0) k Figura 11 Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo = e con ritardo = I diagrammi convergono all origine con un movimento rotatorio. In particolare, in presenza del ritardo i diagrammi ora intersecano il semiasse reale negativo, e ciò significa che, fissato uno specifico valore del ritardo δ, vi sarà un k cr = k cr (δ) tale che valori superiori ad esso 13

14 destabilizzeranno il sistema a ciclo chiuso. Questo risultato si mostra facilmente applicando il criterio di stabilità di Nyquist. Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha quindi, - Sistema stabile se k < k cr (δ) - Sistema instabile se k > k cr (δ) - Sistema al limite di stabilità se k= k cr (δ) Il valore k cr sarà sempre maggiore di uno, perche se k è inferiore all unità il diagramma di Nyquist non potrà mai uscire dalla circonferenza di raggio unitario (k è difatti il valore massimo del modulo della FdT). Analizziamo cosa succede tenendo costante k e facendo variare il ritardo δ. Fissato k, al crescere del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si sposta verso sinistra. Tale punto di intersezione non potrà però mai andare alla sinistra del punto (-k,j0) perché come detto il modulo della FdT F s non può mai eccedere il valore k e quindi nessun punto del diagramma di Nyquist può avere una distanza dall origine superiore a k. Quindi, il ritardo potrà destabilizzare il sistema soltanto quando quest ultimo ha un guadagno in catena aperta k > 1. Infatti, se k > 1 il punto (-k,j0) giace alla sinistra del punto critico (-1,j0). Pertanto, con k > 1, quando il ritardo eccede una certa soglia δ cr = δ cr (k) il punto di intersezione si sarà spostato alla sinistra del punto critico (-1,j0), destabilizzando quindi il sistema a ciclo chiuso sulla base del criterio di stabilità di Nyquist. Con riferimento al comportamento a ciclo chiuso si ha pertanto, - Sistema sempre stabile se k 1 - Fissato k > 1: o Sistema stabile se δ < δ cr o Sistema instabile se δ > δ cr o Sistema al limite di stabilità se δ = δ cr Si faccia riferimento al file F1.mdl, che simula il sistema a ciclo chiuso con = 1. Si può verificare mediante simulazione come ponendo k=2 si ottiene un δ cr pari a 1.21s circa. Si riporta a seguire lo schema Simulink. 1 y(t) 2 Gain 3 1 s+1 Transfer Fcn Transport Delay 14

15 : = L analisi della stabilità a ciclo chiuso della FdT viene condotta in maniera simile al precedente caso A. La FdT senza ritardo F s = ha un diagramma di Nyquist completo come quello riportato nella Figura 12-(a), nel quale viene evidenziata anche la richiusura all infinito. Poiché il diagramma completo in Figura 12-(a) non circonda il punto critico (-1,j0) si può concludere che il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0. L introduzione del ritardo provoca la comparsa di un movimento rotatorio simile a quella visto nell esempio precedente ( v. Figura 12-(b)). 12-(a) 12-(b) ω=0 ω=- (-1,0) ω= (-1,0) ω= < ω=0 + ω=0 + Figura 12 Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo = e con ritardo = La presenza di un punto di intersezione con l asse reale negativo significa che fissato uno specifico valore del ritardo δ, vi sarà un k cr = k cr (δ) tale che valori superiori ad esso destabilizzeranno il sistema a ciclo chiuso. A differenza dall esempio precedente, non si può più affermare con certezza che k cr è maggiore di 1. Poiché inoltre al crescere del ritardo δ il punto di intersezione con il semiasse reale negativo si sposta verso sinistra, vi sarà come prima anche un δ cr = δ cr (k). Nel caso in esame un ritardo sufficientemente elevato sarà sempre destabilizzante, qualunque sia il valore di k (non più, come nel caso A, solo quando si aveva k>1). : = 1 + La Figura 13-(a) riporta il diagramma di Nyquist completo della FdT senza ritardo = che mostra come il relativo sistema a ciclo chiuso è sempre stabile comunque si scelga k > 0. Nel, 15

16 medesimo diagramma possiamo leggere graficamente il valore del margine di fase m ϕ individuando il punto di intersezione P tra il diagramma e la circonferenza di raggio unitario centrata nell origine e valutando l angolo m ϕ che la congiungente PO individua con l asse reale negativo. L analisi del diagramma della FdT con il ritardo (Fig. 13-(b)) vede ancora la presenza delle rotazioni nel percorso verso l origine, e del punto di intersezione con l asse reale negativo. Il sistema a ciclo chiuso con ritardo viene quindi destabilizzato sia da guadagni k troppo elevati che, qualunque sia k anche eventualmente <1, da ritardi δ troppo elevati. ω=0 13-(a) 13-(b) < m ϕ (-1,j0) O ω= (-1,0) P (0,-j) ω= ω=0 + ω=0 + Figura 13 Diagramma di Nyquist delle FdT a ciclo aperto senza ritardo 3 = 1+ e con ritardo = 4. Calcolo del guadagno critico e del ritardo critico Vediamo ora una semplice procedura per ricavare per via grafica i valori di k cr e di δ cr. Sia = (17) Fissato un valore per δ, vediamo come si determina il guadagno critico k cr. Si tracciano i diagrammi di Bode della funzione e si deve valutarne il margine di guadagno M gdb in decibel. Graficamente si deve individuare la pulsazione ω cr ( pulsazione critica ) alla quale la fase vale ed il corrispondente valore in db del modulo, cambiato di segno, è il margine di guadagno (v. Figura 14) Una volta determinato il margine di guadagno, il guadagno critico vale 16

17 = 10 / (18) M db (ω)=20log 10 (M(ω)) ω t log(ω) M gdb ϕ(ω) ω cr log(ω) m ϕ 180 Figura 14 Valutazione grafica del margine di guadagno e del margine di fase Fissato un valore per k vediamo ora come si determina il ritardo critico δ cr. Si deve stavolta determinare il margine di fase della funzione. Graficamente, dopo averne tracciato i diagrammi di Bode si deve individuare la pulsazione ω t ( pulsazione di attraversamento ) alla quale il modulo in db vale zero e valutare lo sfasamento = a tale pulsazione. Il margine di fase è pari a (v.figura 14) = (19) Dal margine di fase della FdT, e dal valore della associata pulsazione di attraversamento ω t è possibile risalire facilmente al valore del ritardo critico, che vale δ cr = m ϕ /ω t (20) Giustifichiamo la semplice formula (20). Il ritardo finito non altera il valore dei moduli e introduce uno sfasamento in ritardo variabile con la frequenza di valore = ω (v. (14)). Alla frequenza di attraversamento ω t il termine di ritardo introduce pertanto uno sfasamento pari a. La condizione che deve essere rispettata per il mantenimento della stabilità è che il ritardo di fase introdotto alla frequenza ω t non ecceda, in modulo, il margine di fase. Si deve 17

18 naturalmente aver cura che il margine di fase e lo sfasamento in ritardo siano espressi in una unita di misura (radianti o gradi) per poter effettuare la divisione (20). 5. Modellazione e analisi di un sistema di miscelazione acqua calda acqua fredda Esempio 4 Miscelatore acqua calda-acqua fredda Consideriamo un sistema di miscelazione di acqua calda e acqua fredda che consenta di ottenere acqua miscelata a una certa temperatura di riferimento (set-point). Si faccia riferimento alla Figura 15. I / P Convertitore Corrente/Pressione Regolatore [Set-point] + Acqua calda Servovalvola pneumatica Sensore di temperatura Acqua miscelata Acqua fredda d Figura 15 Schema di principio di un miscelatore acqua calda acqua fredda Il sistema non è molto dissimile dallo scambiatore del precedente esempio 3. Descriviamo nel dettaglio tutte le componenti del sistema ricavando anche opportune equazioni di funzionamento che ci consentano di costruire un modello Simulink e simulare il funzionamento del miscelatore. 18

19 A. Un trasduttore di temperatura, che ipotizziamo avere un range di misura lineare tra C, e uscita in corrente 4 20 ma. La dinamica del sensore è trascurabile rispetto agli altri componenti del sistema di controllo. Il sensore di temperatura fornisce una uscita pari a 4 ma quando la temperatura nel punto di misura è pari a 20, e fornisce una uscita pari a 20 ma quando la temperatura nel punto di misura è pari a 60. Quindi la caratteristica del sensore nel suo campo di funzionamento lineare può essere cosi rappresentata: = = = 0.4 (21) Nella equazione precedente è il valore di uscita in ma fornito dal sensore, è la temperatura dell acqua nel punto di misura in C, e K T è il guadagno del sensore. B. Un circuito elettrico che genera il set-point. Il set-point deve poter essere confrontato con il segnale di misura, e deve pertanto essere un segnale in corrente nel range 4 20 ma che è il range del segnale di misura prodotto dal sensore di temperatura. Essendo il valore desiderato in gradi per la temperatura nel punto di misura, il segnale di setpoint, che chiamiamo, sarà generato in base alla seguente relazione, che riproduce la caratteristica di misura del sensore di temperatura = = 0.4 (22) C. Un regolatore di tipo proporzionale con quadagno k P. E un dispositivo che deve produrre in uscita una corrente proporzionale alla differenza tra due correnti in ingresso secondo la relazione = 12 + (23) Il valore del bias nella (23), posto pari a 12 ma, è scelto alla metà del range consentito 4 20 ma per il segnale in modo da massimizzare il range di funzionamento lineare del sistema di controllo per valori positivi e negativi dell errore (se superasse il valore di 20 ma o scendesse sotto i 4mA l attuatore andrebbe difatti in saturazione ). D. Un convertitore corrente/pressione che deve convertire il segnale in corrente prodotto dal regolatore in un segnale di tipo pneumatico che possa direttamente pilotare la servovalvola pneumatica di regolazione. Un range operativo comune per le servovalvole pneumatiche è 3 15 psi. Ricordiamo che 1 psi 0.06 Atm 15 psi 1.02 Atm 19

20 Il convertitore I/P modula pertanto la pressione in un circuito pneumatico connesso ad una rete di distribuzione di aria compressa, che deve pertanto essere disponibile. Il convertitore I/P deve mappare il segnale in un segnale in pressione equivalente nel range 3 15 psi. Il foglio di specifica del convertitore suggerisce inoltre di tenere conto di una dinamica del primo ordine con una costante di tempo / = 0.7. Definiamo una variabile ausiliaria che gestisca la parte statica della conversione I/P (eq. (24)) e generiamo il segnale di pressione effettivo in uscita dal convertitore filtrando la variabile ausiliaria con un filtro passa-basso a guadagno unitario e costante di tempo / (eq.(25)) = 3 + / 4 / + = / = = 0.75 (24) (25) Le equazioni (24) e (25) si realizzano in termini di schemi a blocchi come riportato in Figura / / Figura 16 Schema a blocchi per il convertitore I/P E. Una servovalvola pneumatica che con un ingresso nel range 3 15 psi compia l intera corsa. Il foglio di specifica della servovalvola ne riporta la costante di tempo. Si deve modellare il legame dinamico tra il segnale di pressione in ingresso alla valvola,, e la temperatura dell acqua nel punto di misura. La costante di tempo che modella la risposta dinamica della servovalvola è da considerarsi dominante rispetto alle costanti di tempo proprie dei transitori termici di miscelazione. Quindi la temperatura dell acqua nel punto di miscelazione dipenderà dal segnale di pressione secondo una FdT del primo ordine avente come costante di tempo la costante di tempo della valvola. Per determinarne il guadagno si deve fare qualche ipotesi e qualche ragionamento. 20

21 Osserviamo preliminarmente che il legame tra e sarà con buona approssimazione un ritardo puro δ, proporzionale alla distanza d tra il punti di miscelazione e il punti di misura ed inversamente proporzionale alla velocità di transito dell acqua nella tubazione: = δ (26) Ora ritorniamo al problema della determinazione del guadagno. Ipotizziamo che la temperatura della acqua fredda sia di 20 C. Ciò implica che con la valvola completamente chiusa ( = 3 ) il valore di regime per sarà pari a 20 C. Ipotizziamo anche che con la valvola tutta aperta ( = 15 ) il valore di regime per sia pari a 60 C. Le relative equazioni di funzionamento sono implementate nello schema riportato nella Figura seguente: Figura 17 Schema a blocchi per la servovalvola Nello schema in Figura 17 il guadagno K V è tale da garantire che quando = 15 ) il valore di regime per sia pari a 60 C. Il valore di regime per quando è pari a 15 vale 20+K V (15 3). Affinché tale valore sia pari a 60 C, il guadagno K V deve valere = = 3.33 (27) Implementando mediante schemi a blocchi tutte le equazioni ricavate finora si ottiene lo Schema Simulink riportato nella pagina seguente (file miscelatore.mdl ). Si riporta il file miscelatore_dati.m che contiene le assegnazioni per i parametri. % TRASDUTTORE DI TEMPERATURA K_T=0.4; % REGOLATORE PROPORZIONALE Kp=5; % CONVERTITORE CORRENTE PRESSIONE K_IP=0.75; tau_ip=0.7; % VALVOLA K_V= ; tau_v=3; %RITARDO delta=0.5; % il valore del ritardo e scelto a caso 21

22 T _des T_des^mA T_mis^mA T_mis^mA m_reg^ma p_1reg^psi p_reg^psi p_reg^psi T _misc T T T -20 C Schema SIMULINK Files miscelatore.mdl miscelatore_dati.m 1 3s s+1 Ritardo finito Servovalvola Filtro del riferimento 4+K_T*(u-20) Conversione del riferimento 12 Kp Regolatore 4 3 K_IP Guadagno sensore di temperatura K_T 1 tau_ip.s+1 Convertitore I/P Riferimento 22

23 Esplicitiamo la funzione di trasferimento a ciclo aperto = = =. (28) =. (29) % ANALISI DEL SISTEMA MISCELATORE % FUNZIONE DI TRASFERIMENTO A CICLO APERTO % F(s)=F'(s) e^(-delta s) % NUMERATORE E DENOMINATORE DELLA FdT F'(s) num_fprimo=kp*k_ip*k_v*k_t; den_fprimo=conv([tau_v 1],[tau_IP 1]); Fprimo=tf(num_Fprimo,den_Fprimo); % CALCOLO DEI MARGINI DI STABILITA margin(fprimo),grid L istruzione margin produce il seguente diagramma, in cui vengono anche restituiti i valori della pulsazione di attraversamento e del margine di fase 20 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 64.7 deg (at 1.22 rad/sec) 0 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 18. Diagrammi di risposta armonica della FdT a ciclo aperto. 23

24 = 1.22 / = 64.7 = Applicando la relazione (20) è possibile determinare il ritardo critico = =.. = (30) Nella Figura 19 sono riportati i diagrammi di modulo e fase della funzione di risposta armonica per tre diversi valori del ritardo: δ=0, δ=δ 1 =0.5 s, e δ=δ 2 =1s. Si può notare come in corrispondenza della pulsazione di attraversamento la curva nera (δ=0) e la curva rossa (δ=0.5) stiano sopra la retta a -180, mentre la curva blu (δ=1) sta al di sotto a indicare come il sistema a ciclo chiuso sia instabile. 20 Diagramma dei moduli Diagramma delle fasi con δ=0 (curva nera), δ=0.5 secondi (curva rossa), e δ=1 s (curva blu) Omega [rad/sec] Figura 19 Diagrammi di modulo e fase della FdT per diversi valori del ritardo La sequenza di istruzioni Matlab che genera la Figura 19 è riportata nel seguito: delta1=0.5; delta2=1; W=logspace(-2,1,200); [MAG,PHASE,W] = BODE(Fprimo,W); PHASE_rit1=PHASE(:,:)'-W.*((delta1*360)/(2*pi)); PHASE_rit2=PHASE(:,:)'-W.*((delta2*360)/(2*pi)); figure(2) 24

25 subplot(2,1,1) semilogx(w,20*log10(mag(:,:))),grid,title('diagramma dei moduli'), subplot(2,1,2) semilogx(w,phase(:,:),'k',w,phase_rit1,'r',w,phase_rit2,'b'), grid,title('diagramma delle fasi con \delta=0 (curva nera), \delta = 0.5 secondi (curva rossa) e \delta= 1 s(curva blu)'), xlabel('omega [rad/sec]') Il sistema a ciclo chiuso con kp = 5 è stabile per valori del ritardo inferiori al (30), ed instabile per valori di δ superiori. Nei test è stato impiegato il seguente set-point di riferimento, espresso in gradi centigradi, per la temperatura dell acqua miscelata. Figura 20. il seguente segnale di riferimento Nella Figura 21 sono riportati i grafici della temperatura T nel punto di misura e il grafico della pressione di comando della servovalvola nel caso di assenza di ritardo, δ=0. L uscita mostra un transitorio aperiodico, mentre la pressione di comando presenza un debole comportamento oscillatorio. Figura 21. Grafici della temperatura T nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando servovalvola (destra) quando δ=0. della 25

26 Si noti come sia presente un errore a regime (il sistema di controllo è di tipo 0). Si noti anche come la pressione di comando si porta a un primo valore di regime di poco superiore a 5 psi e successivamente, a fronte dell incremento della temperatura richiesta, si porta ad un nuovo valore di regime di poco inferiore a 8 psi per incrementare la portata di acqua calda. La Figura 22 mostra i medesimi grafici ma con un ritardo δ=0.5, che èun valore inferiore al ritardo critico. Figura 22. Grafici della temperatura T nel punto di misura (a sinistra) e della pressione di comando della servovalvola (destra) nel caso di ritardo δ=0.5 Ora anche l uscita ha un transitorio oscillatorio, e le oscillazioni della pressione di comando sono di ampiezza più elevata rispetto alla curva in Figura 21, chiaro sintomo del fatto che il margine di fase è diminuito (lo smorzamento del modo dominante diminuisce al decrescere del margine di fase). Come ultimo test il valore del ritardo è stato posto pari ad 1, un valore superiore al ritardo critico che infatti, come si evince dalla figura 23, destabilizza il sistema a ciclo chiuso. Figura 23. Grafico della temperatura T nel punto di misura nel caso di ritardo δ=1 26

27 Abbreviazioni FdT Funzione di trasferimento TdL Trasformata di Laplace I/O Ingresso-Uscita SISO Single-Input-Single-Output 27