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1 Controlli Automatici - A.A. / Ingegneria Gestionale Luglio - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t): x (t) = 3δ(t)+4e (3t ) cos(5t), x (t) = t 3 e 3t +5 sin(3t) X (s) = 3+ 4e (s 3) (s 3) +5, X (s) = (s+3) s +3 b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G (s) = 9 6s s(s+3), G (s) = s+4 s +3 g (t) = 3 9e 3t, g (t) = cos(3t)+ 4 3 sin(3t) c) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K 4( s)(s+7) s(s +s+9) c.) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è la seguente: Riscritta in forma polinomiale diventa: La corrispondente tabella di Routh è: + 4K( s)(s+7) s(s +s+9) = s 3 +( 4K)s +(9 76K)s+8K = 3 (9 76K) ( 4K) 8K ( 4K)(9 76K) 8K 7K Dalla riga e dalla riga si ricavano i seguenti vincoli: Dalla riga si ottiene la seguente disequazione: K < 4, K > ( 4K)(9 76K) 8K > da cui si ricava: 76K 9697K +5 >. ()

2 Le soluzioni di questa equazione sono: Il sistema è stabile per: K + =.3638 K =.4979 < K < K = K. La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω 8K = ( 4K ) = 8.83 c.) Tracciare i diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione sono mostrati in Fig. 35 ampiezza db fase gradi Figura : Diagrammi di Bode della funzione. Le funzioni approssimanti G (s) e G (s) per ω e ω sono le seguenti: Le corrispondenti fasi ϕ e ϕ sono: G (s) = 4 45s, G (s) = 4 s ϕ = π, ϕ = 3 π Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω =. è β = 3. = 9.85dB d) Si faccia riferimento ad un sistema i cui diagrammi di Bode sono mostrati in figura. Nei limiti della precisione consentita dal grafico si risponda alle seguenti domande:

3 d.) calcolare la risposta oscillatoria a regime y (t) del sistema quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 5 cos(.3t π 4 ); d.) ricavare l espressione analitica della funzione di trasferimento. Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ. 8(s.5)(s+) s(s+.5)(s +8s+9) 4( s)(+.5 s) s(+s)(+.s+.s ) Mag (db) Phase (deg) Diagramma dei moduli Diagramma delle fasi Frequency [rad/s] d.) La risposta a regime y (t) del sistema quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 5 cos(.3t π ) è la seguente: 4 y (t) = 5 G(.3j) cos (.3t π ) 4 +ArgG(.3j) = cos (.3t π ) 4 5.o e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) C(s) (s+3) s(s+) Posto C(s) = K, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K >. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Determinare la posizione dei punti di diramazione solo in modo qualitativo. Sol. Posto C(s) = K, l equazione caratteristica del sistema retroazionato diventa: +K (s+3) s(s+) = L andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema al variare del parametro K > è mostrato in Fig.. E presente un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo. L intersezione con l asse immaginario si calcola utilizzando il criterio di Routh: +K = s(s+) +K(s+3) = s 3 +(+K)s +(+6K)s+9K = 3 (+6K) > (+K) 9K K > (+K)(+6K) 9K 6K 779K + > 9K K > Le soluzioni dell equazione del secondo ordine sono le seguenti: {.568 K, =.98 Il sistema risulta essere stabile per: ( < K < K ) (K > K ) ( < K <.568) (K >.98) 3

4 6 luogo delle radici luogo delle radici Figura : Luogo delle radici del sistema al variare del parametro K >. La seconda figura rappresenta uno zoom nell intorno dell origine. Le intersezioni con l asse immaginario si hanno in corrispondenza delle pulsazioni: +6K {.748 ω = ω = +6K f) Sia dato il seguente sistema in retroazione: d(t) r(t) e(t) b m(t) a a (s+a)(s+b) f.) Posto d(t) =, calcolare il valore a regime e( ) della variabile e(t) quando r(t) =. Soluzione e( ) = = a +K p a+ f.) Posto r(t) =, calcolare il valore a regime y( ) dell uscita in presenza di un disturbo costante d(t) = 4. Soluzione La funzione di trasferimento G d (s) tra il disturbo d(t) e l uscita è G d (s) = + b a = a (s+a)(s+b)+b Il valore a regime dell uscita y è dato dal prodotto dell ampiezza 4 del disturbo per il guadagno statico della G d (s): g) Si consideri il seguente schema a blocchi: y = 4G d () = 4a b(a+) x(t) e(t) R(s) dove = (+s/)(+5s/) e R(s) = +τ s +τ s. g.) Considerando i diagrammi di Bode di riportati di seguito: 4

5 ampiezza db 3 4 fase gradi 5 5 indicare i valori della pulsazione di incrocio ω c, del margine di fase M ϕ e del margine di ampiezza M α di. Pulsazione di incrocio ω c =. rad/s, margine di fase M ϕ =.5 e margine di ampiezza M α = 3.7dB. g.) Utilizzando le formule di inversione determinare i valori dei parametri τ e τ della rete correttrice R(s) che garantisca al sistema compensato un margine di fase M ϕ = 35 e una larghezza di banda ω f = 3rad/s per il sistema retroazionato. ω a = 3, M a =.3/ =.97, ϕ a = M b =, ϕ b = 8 +M ϕ = 45 da cui si ricavano M = M b =.3, ϕ = ϕ b ϕ a = 76. M a I parametri τ e τ si ricavano utilizzando le formule di inversione τ = M cosϕ ω a sinϕ = 3.464, τ = cosϕ M ω a sinϕ =.49 5

6 Controlli Automatici Compito Completo Luglio - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che si ritengono giuste.. Scrivere la funzione di trasferimento corrispondente alla seguente equazione differenziale:... y+ÿ+5y = ẍ+3x = Y(s) X(s) = s +3 s 3 +s +5. Calcolare l evoluzione libera del sistema L ẏ(t) + R = partendo dalla condizione iniziale y() = a. Y(s) = al = ae R L t. Ls+R 3. Calcolare l errore a regime e( ) per i seguenti sistemi retroazionati: r(t) = 4 e(t) 9 (+s) r(t) = 3t e(t) s+3 s(s+) r(t) = t e(t) s+ s(s +) e( ) = 6 3 e( ) = e( ) = 4. Disegnare l andamento qualitativo y (t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema: = 5(4+.s)(s +8s+4) (+.s)(9+.5s)(s +s+)(s +s+) Calcolare inoltre: ) il valore a regime y della risposta al gradino per t ; ) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino y (t); 3) il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y (t): T ω Risposta al gradino y y = 4.44, T a 6s, T ω.s. T a Time [s] 5. Scrivere la funzione di trasferimento di un sistema del secondo ordine caratterizzato da un guadagno statico pari ad b, un coefficiente di smorzamento δ =.4 e una pulsazione naturale ω n pari a a : = b = +.8 s s+ a a ba a +.8as+s 6. I due poli di un sistema del ordine sono univocamente determinati se vengono assegnate le seguenti specifiche coefficiente di smorzamento δ e picco di risonanza M R coefficiente di smorzamento δ e pulsazione di risonanza ωr picco di risonanza MR e tempo di assestamento T a 6

7 7. Calcolare il valore iniziale y = lim t + e il valore finale y = lim del segnale t corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y(s): Y(s) = (a bs)(s+3) s(4s )(5s+) y = b y = 8. Per ω = /τ il diagramma reale di Bode delle ampiezze della funzione G(jω) = +jτω ha guadagno unitario vale 3 db vale / vale / 9. Un sistema di tipo con guadagno statico K p > posto in retroazione negativa ha sempre un guadagno statico minore di ha sempre un guadagno statico maggiore di ha sempre un guadagno statico diverso da. Se i coefficienti dell equazione caratteristica di un sistema retroazionato sono tutti positivi, allora è possibile affermare che l equazione caratteristica ha tutte le radici a parte reale positiva l equazione caratteristica ha tutte le radici a parte reale negativa l equazione caratteristica può avere radici a parte reale positiva l equazione caratteristica può avere radici a parte reale negativa. Il margine di fase del sistema = s è π è π è nullo non è definibile. Una rete ritardatrice = +ατs +τs sfasa a tutte le pulsazioni ω ], [ amplifica alle basse frequenze è utile per stabilizzare sistemi fortemente instabili rende più pronto il sistema retroazionato 3. Il margine di ampiezza M α del sistema = (+τ s)(+τ s)(+τ 3 s) (τ >, τ > e τ 3 > ) è sempre maggiore di è sempre minore di può essere nullo può essere unitario 4. Sia D(s) il regolatore che si utilizza per controllare in retroazione il sistema = s(+s). Per avere errore a regime nullo per ingresso a rampa il regolatore D(s) può essere un PI può essere un PD deve essere un sistema di tipo 7