(s 2 + αs+1) s 2 (s +1)(s + 10)

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1 Controlli Automatici B 5 Aprile 6 - Esercizi Si risponda alle seguenti domande. a) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K Nome: Nr. Mat. Firma: G(s) (s + αs+) s (s +)(s + ) y(t) a.) Posto α =, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K. Tracciare il luogo delle radici sia per K > cheperk <. Determinare esattamente la posizione degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Determinare la posizione dei punti di diramazione solo in modo qualitativo. Sol. Posto α =, l andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G(s) alvariaredel parametro K>èmostrato in Fig.. Il centro degli asintoti σ a è il seguente: 5 luogo delle radici luogo delle radici Figura : Luogo delle radici del sistema G(s) al variare del parametro K>. Dettaglio del luogo delle radici. σ a = ( + ) = 5 L intersezione con l asse immaginario si calcola utilizzando il criterio di Routh: +KG(s) = s (s +)(s + ) + K(s + s +)= s 4 +s 3 +(+K)s + Ks+ K = 4 +K K 3 K ( + K) K K [( + K) K ]K K Il sistema risulta essere stabile per: + K > K>K =. L intersezione con l asse immaginario si ha alla pulsazione: K ω = =. =.36

2 a.) Posto K =, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α>. Determinare la posizione dei punti di diramazione solo in modo qualitativo Nota: la posizione dei poli del sistema retroazionato quando K =eα = è la seguente: p, =. ±.785 j e p 3,4 = 5.6 ±.63 j. Sol. L equazione caratteristica del sistema retroazionato èlaseguente s (s +)(s + ) + (s +)+αs= + da cui si ricava L equazione caratteristica + αg (s) =: αs s (s +)(s + ) + (s +) = αs + [(s.) ][(s +5.6) +.63 ] = Il contorno delle radici al variare del parametro α>èmostrato in Fig.. Il centro degli luogo delle radici Figura : Contorno delle radici del sistema G (s) al variare del parametro α>. asintoti σ a è il seguente: σ a = 3 (. 5.6) = 3 =.66 b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi G a (s) eg b (s): 5 Sistema G a (s): diagramma di Nyquist db 4 3 Sistema G b (s): diagrammi di Nichols gradi b.) Per il sistema G a (s), progettare una rete correttrice in grado di garantire al sistema compensato un margine di fase M ϕ =6 o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno;

3 Sol. La specifica sul margine di fase definisce completamente la posizione del punto B: M B =, ϕ B = 4 o Un punto A ammissibile è quello corrispondente alla pulsazione ω =.7: M A =4.96, ϕ A = 46.5 o M = M B M A =.383, ϕ = 6.5 o La rete correttrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione è la seguente: τ = M cos ϕ ω sin ϕ =.47, τ = cos ϕ M ω sin ϕ =.48 C(s) =+.47 s +.48 s b.) Per il sistema G b (s), progettare una rete correttrice in modo da garantire che il sistema compensato passi per il punto B =( 5 o, 5 db). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno; Sol. La richiesta di passare per il punto B =( 5 o, 5 db) definisce completamente la posizione del punto B: M B = 5 db =.778, ϕ B = o Un punto A ammissibile è quello corrispondente alla pulsazione ω =.: M A =7.9 db = 7.87, ϕ A = 3.4 o M = M B M A =.6, La rete correttrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione è la seguente: τ = M cos ϕ ω sin ϕ =.75, τ = cos ϕ M ω sin ϕ ϕ =.4 o =98.93 C(s) =+.75 s s c) Dato il sistema retroazionato riportato a fianco, progettare il regolatore C(s) inmodo r x che il sistema retroazionato abbia un errore a y C(s) c e s regime nullo per ingresso a gradino e un margine di ampiezza M a = 4. Calcolare inoltre la pulsazione ω. Sol. Per potere avere errore a regime nullo il regolatore C(s) deve essere ti tipo integrale: C(s) = K s Per K =, il margine di stabilità e la pulsazione critica del sistema sono: K = ω = π = π t 6 =.536 Il valore di K necessario per imporre un margine di ampiezza M a = 4 al sistema compensato si ottiene nel modo seguente: K K = M a K = K M a =.34 d) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato: G (s) G (s) r 4 K e x s(s +) y N.L. (s +) 8 y x 5 3

4 d.) Posto K =, determinare il punto di lavoro (x,y ) del sistema retroazionato corrispondente al valore d ingresso r =4. Sol. Il guadagno statico del sistema G (s) è infinito per cui la retta di carico è orizzontale: y = r = 4 essendo K =, K 3 = K K 3 Il punto di lavoro è quindi il punto (4, 4). d.) Posto K =,r = 4 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato è stabile nell intorno del punto di lavoro. Sol. Le pendenze delle rette che racchiudono a settore tutta la non linearità nell intorno del punto di lavoro (4, 4) sono: α = 4 =, 5, β = In questo caso il cerchio critico inrerseca l asse relae negativo nei punti α =, β =.5 Per K =, il guadagno d anello del sistema è G(s) =G (s) G (s) = 8 s(s +)(s +) Il margine di ampiezza e la pulsazione critica del sistema G(s) sono K = 3 4, ω = L intersezione con il semiasse reale negativo si ha nel punto /K =.333 per cui la funzione di risposta armonica del sistema G(s) interseca il cerchio critico e quindi non si può dire niente sulla stabilità o meno del sistema retroazionato perchè il criterio del cerchio è solo un criterio sufficiente. d.3) Disegnare in modo qualitativo l andamento della funzione descrittiva F (X) della non linearità N.L. assegnata, prendendo l origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m,m,...) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X). Sol. L andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X)è mostrato in Fig. 3. Il valore funzione descrittiva diagrammi polari di gs e di /F(X) Figura 3: Andamento della funzione descrittiva F (X). massimo m e il valore limite m della funzione descrittiva F (X) valgono m =.9434, m =.5. 4

5 d.4) Discutere qualitativamente (in funzione anche dei parametri m ed m ) l esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K>. Sol. Per K =, il margine di ampiezza K del sistema G(s) è K =.75. Al variare di K si hanno quindi queste 3 possibili soluzioni: ) <K< K m =.795: la funzione /F (X)è tutta esterna al diagramma completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e l origine è un punto di lavoro globalmente asintoticamente stabile. ).795 = K <K< K = 3: il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione m m /F (X) in punti a cui corrispondono cicli limite, uno stabile (quello uscente) e uno instabile (quello entrante). 3) K> K m = 3: il diagramma di Nyquist della G(s) interseca la funzione /F (X) inun solo punto a cui corrisponde un ciclo limite instabile. d.5) Posto K =, determinare la pulsazione ω degli eventuali cicli limite stabili presenti nel sistema retroazionato. Sol. La pulsazione ω degli eventuali cicli limite stabili coincide con la pulsazione del punto di intersezione con il semiasse reale negativo: ω = =.4 e) Sia dato il sistema retroazionato riportato a fianco, e il diagramma di Nyquist della funzione G(s) riportato sotto. r e C(s) x y G(s) 3 e.) Posto C(s) =, determinare l ampiezza X e la pulsazione ω dell oscillazione autosostenuta che è presente all interno del sistema quando r =. diagramma di Nyquist e.) Progettare una erte correttrice C(s), in modo che l oscillazione autosostenuta che è presente all interno del sistema quando r =siacaratterizzata da un ampiezza X = e da una pulsazione ω = Sol. e.) La funzione descrittiva del relè ideale è: 6 5 F (X) = πx L intersezione della funzione di risposta armonica G(jω) con il semiasse reale negativo avviene nel punto in corrispondenza della pulsazione ω =. Il margine di ampiezza del sistema è quindi K =.5. L ampiezza X dell oscillazione autosostenuta si ricava imponendo F (X )= K : πx =.5 X = 4 π =

6 e.) Per poter avere un oscillazione autosostenuta con ampiezza X =, il margine di ampiezza K del sistema compensato dovrà essere uguale a F (X ): K = πx = 6 π =.9 B = K =.536 Modulo e fase del punto B: M B =.536, ϕ B = 8 o Il punto A è quello corrispondente alla pulsazione ω =: M A =3.8, ϕ A = 99. o M = M B M A =.37, ϕ = 9. o La rete correttrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione è la seguente: τ = M cos ϕ ω sin ϕ =.748, τ = cos ϕ M ω sin ϕ = C(s) =+.748 s s f) Utilizzando il metodo della trasformazione bilineare, discretizzare la seguente rete correttrice D(s) = M(s) E(s) =3s + s giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T =.. Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all indietro si ottiene: D(z) =D(s) s= ( z ) T (+z ) =3 ( z )+(+z ) ( z ) = z ( z ) = M(z) E(z) dacuisiricava: m(k) =m(k ) e(k).85 e(k ) g) Calcolare la risposta all impulso unitario x(n) =(,,,...) del seguente sistema dinamico discreto, partendo da condizioni iniziali nulle: Sol. Utilizzando le Z-trasformate si ottiene: y(n +).4 y(n +).6 y(n) =x(n +) Y (z) = Scomponendo in fratti semplici si ottiene: z z.4 z.6 X(z) = Y (z) =z [ z ] z +.6 z (z )(z +.6) Antitrasformando si ottiene: y(n) = [ (.6) n ] 6

7 Controlli Automatici B 5 Aprile 6 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono giuste. La risposta al test è considera corretta solo se tutte le affermazioni corrette sono state contrassegnate.. Il metodo di Ziegler-Nichols per determinare i valori di primo tentativo dei parametri di un regolatore standard PID richiede la conoscenza della risposta al gradino del sistema da controllare richiede la conoscenza della risposta impulsiva del sistema da controllare richiede la conoscenza esatta del modello del sistema da controllare è applicabile in modo approssimato anche al controllo di sistemi non lineari. Sia Y (X)sin(ωt + ϕ(x)) la fondamentale del segnale periodico y(t) presente all uscita della nonlinearità algebrica y(t) = f[x(t)] in risposta all ingresso x(t) = X sin(ωt). La funzione descrittiva F (X) è definita nel modo seguente: F (X) = Y (X) X ejϕ(x) 3. Calcolare la funzione di trasferimento G(z) = Y (z) X(z) differenze: corrispondente alla seguente equazione alle 4 y(k)+y(k ) + y(k ) = 5 x(k ) + 3 x(k ) G(z) = 5 z +3 4 z +z + 4. Sia G(z) la trasformata Z della successione numerica g(k). Scrivere gli enunciati dei teoremi del valore iniziale e del valore finale: g() = g(k) k= = lim z G(z) lim g(k) = lim( z )G(z) k z 5. Tipicamente, quali delle seguenti reti correttrici è bene utilizzare se si vuole stabilizzare in retroazione un sistema caratterizzato da un margine di fase fortemente negativo? un regolatore PD; un regolatore PI; una rete anticipatrice; una rete ritardatrice; 6. Sia (, ) il punto di lavoro. Disegnare il cerchio critico corrispondente alle seguente non linearità: y x 7

8 7. Quella riportata a fianco è la funzione descrittiva F (X) di una non linarità postain retroazione su di un sistema lineare G(s) caratterizzato da un margine di ampiezza M α =.6. Fornire una stima dell ampiezza X di ciascun ciclo limite (stabile e instabile) eventualmente presente all interno del sistema retroazionato: X = 9 Stabile? si funzione descrittiva Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y() = y : y(n +)=.3 y(n) y(n) =y (.3) n 9. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) ha la risposta impulsiva g(k) che tende a zero più rapidamente: G(z) = (z.3) G(z) = (z.8) G(z) = z (z+.) G(z) = z(z+.3). Tracciare qualitativamente sul piano z: A) i luoghi a coefficiente di smorzamento δ costante; B) i luoghi a decadimento esponenziale costante Im A) δ = cost Piano z Im B) T a = cost Piano z - Re - Re. Tracciare qualitativamente i diagrammi di bode dei moduli e delle fasi di una rete anticipatrice C(s) = (+τ s) (+τ s) con τ >τ : ϕ ω ω 8