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1 Controlli Automatici - Prima parte 18 Aprile Esercizi Si risolvano i seguenti esercizi. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t): x 1 (t) = [2t 3 +cos(3t)]e 5t, x 2 (t) = 5δ(t 3)+4t 4 a.2) Calcolare la risposta impulsiva g(t) delle seguenti funzioni di trasferimento G(s): G 1 (s) = s(s+1)(s+3), G 2(s) = 1e 3s s b) Relativamentealloschemaablocchidifigura,calcolarelafunzioneditrasferimentoG 1 (s) = Y(s) X(s) : G 1 (s) =... X(s) - - A - B C D G E Y(s) F c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G 1 (s) e G 2 (s). Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare: c.1) il margine di ampiezza M a del sistema; c.2) il margine di fase M ϕ del sistema; c.3) il guadagno K ϕ per cui il sistema K ϕ G(s) ha un margine di fase M ϕ = 45 ; c.4) il guadagno K α per cui il sistema K α G(s) ha un margine di ampiezza M α = 1; G 1 (jω) G 2 (jω) 2 Diagramma di Nichols 1 Diagramma di Nyquist Mag [db] Imag Phase [degrees] Real c.1) M a =... c.2) M ϕ =... c.3) K ϕ =... c.4) K α =... c.1) M a =... c.2) M ϕ =... c.3) K ϕ =... c.4) K α =... 1

2 d) Sia dato il seguente sistema retroazionato: G(s) r(t) e(t) (s+.1)(s+8) K (s+2)(s 2 2s+64) d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ i con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω i. d.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime e p =.5 per ingresso a gradino x(t) = 4. e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G e (s) (s+1) s(1 s) e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G e (s). e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G e (s). Calcolare esattamente la posizione σ a dell asintoto verticale e le eventuali intersezioni σ i con l asse reale. e.4) Calcolare il valore di K necessario per avere un errore a regime e v =.1 per ingresso a rampa x(t) = 2t. f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura. f.1) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l espressione analitica della funzione G(s). 2 1 Diagramma dei moduli G(s) =... Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ. f.2) Calcolare la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: =... x(t) = 5 cos(2t π 3 ). Mag (db) Phase (deg) Diagramma delle fasi

3 Controlli Automatici - Prima parte 18 Aprile Domande Si risponda alle seguenti domande. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. 1. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale:... +5ÿ(t)+3ẏ(t)+ = 4ẍ(t)+3x(t) G(s) = Y(s) X(s) = 2. La formula di Bode per il calcolo della fase di un sistema a partire dal diagramma delle ampiezze è valida per i sistemi lineari stabili è valida per i sistemi a fase minima è una formula approssimata è una formula esatta 3. Chiudere all infinito i seguenti diagrammi di Nyquist. Nota: tutti i diagrammi di Nyquist fanno riferimento a sistemi con tutti i poli a parte reale negativa eccezion fatta per un polo semplice o doppio nell origine. Im Im ω = + Im -1 Re -1 Re -1 Re ω = + ω = + 4. Calcolare la risposta a regime del sistema G(s) quando in ingresso è presente il seguente segnale sinusoidale x(t): G(s) x(t) = 4+5sin(3t π) 6 2 (s+4) Nella determinazione degli errori a regime, il principio del modello interno afferma che: affinché sia neutralizzato (con errore a regime nullo) un modo r(t) in ingresso corrispondente ad un polo nell origine di ordine h, occorre che Calcolare la posizione σ a dell asintoto verticale del diagramma di Nyquist della funzione G(s): G(s) = (s+3)(1 2s) s(s 3 +2s 2 5s+3) σ a = 7. Nella scomposizione in fratti semplici, quali sono i modi g 1 (t) e g 2 (t) corrispondenti ad una coppia di poli complessi coniugati p 1,2 = 2±5j con grado di molteplicità ν = 2: g 1 (t) = g 2 (t) = 3

4 8. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un sistema del secondo ordine caratterizzato da un guadagno statico G() = 3, da un coefficiente di smorzamento δ =.5 e da un tempo di assestamento T a = 3 s alla risposta al gradino: G(s) = 9. La posizione dei due poli di un sistema del 2 o ordine privo di zeri è univocamente determinata se sono note le seguenti informazioni: il coefficiente di smorzamento δ e il tempo di assestamento T a la massima sovraelongazione S e il picco di risonanza M R il picco di risonanza M R e pulsazione di risonanza ω R 1. Calcolare l evoluzione libera del sistema M ẏ(t) + B = partendo dalla condizione iniziale y() = 3. =, t >. 11. Sia = Y(ω)sin(ωt+ϕ(ω)+ϕ ) la risposta asintotica di un sistema lineare stabile all ingresso sinusoidalex(t) = Xsin(ωt+ϕ ). Fornirela definizione difunzionedirispostaarmonicaf(ω): F(ω) = Calcolare l errore a regime e( ) per i seguenti sistemi retroazionati: r(t) = 3 e(t) 4(s+1) (3+s) 2 r(t) = 4t e(t) 9 s(s+1) r(t) = 2t 2 e(t) s+3 s 2 (s+1) e( ) = e( ) = e( ) = 13. Disegnare l andamento qualitativo y 1 (t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema: G(s) = 3(2+.1s)(s2 +2s+16) (2s+1)(15s+3)(s 2 +1s+4) Calcolare inoltre: a) il valore a regime y della risposta al gradino per t ; b) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino y 1 (t); c) il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y 1 (t): y 1(t) y = T a T ω t 14. Scrivere il modulo M(ω) = G(jω) e la fase ϕ(ω) = argg(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s): G(s) = (s+2)2 s 2 (2s 1) e 2s { M(ω) = ϕ(ω) = 4

5 8 Diagramma dei moduli: G d (s) Mag (db) Diagramma delle fasi: G d (s) Phase (deg)

6 6 Diagramma dei moduli: G e (s) 4 2 Mag (db) Diagramma delle fasi: G e (s) Phase (deg)