COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 2013

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1 COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 213 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = (s + 1)(s ) s 2 (s 2 + 2s + ). i) Si determini il diagramma di Bode (modulo e fase) della risposta in frequenza del sistema; ii) si determini il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R, e si studi, attraverso il criterio di Nyquist, la stabilità BIBO del sistema ottenuto per retroazione unitaria negativa da G(s) e si determini l eventuale numero di poli a parte reale positiva di W (s). Esercizio 2. [9 punti] i) Si tracci approssimativamente il luogo (positivo) delle radici della funzione W (s), ottenuta per retroazione unitaria negativa a partire dalla corrispondente K G(s), con K R, K >, e s + 1 G(s) = s 2 (s 2 + 6s + )(s + 4). ii) Dato il processo di funzione di trasferimento G(s) = (1 +.1s), si progetti un controllo in retroazione in modo tale che 1) il risultante sistema retroazionato sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare) non superiore a e rp =.1; 2) la funzione di trasferimento in catena aperta C(s)G(s) abbia di attraversamento all incirca ω A = 3/2 rad/sec e 3) abbia margine di fase pari almeno a 6 o. Esercizio 3. [6 punti] Si consideri il seguente amplificatore operazionale, in cui Z 1 (s), Z 2 (s) e Z 3 (s) sono generiche impedenze: 1

2 W (s) (Nota. Non è richiesto il calcolo esplicito di asintoti e/o intersezioni con gli assi) (punti 5.5). Esercizio 2. (punti 9) Si consideri il seguente schema, in cui Z 1 (s),z 2 (s),z 3 (s) sono generiche impedenze $ % "!" $ & " u(t) $ % " #" $ ' " y(t) 1. Nell ipotesi di operazionale ideale, si calcoli la FDT W id (s) (punti 2); i) Nell ipotesi di operazionale ideale, si calcoli la funzione di trasferimento W id (s) = 2. Nell ipotesi Y (s)/u(s); di operazionale reale caratterizzato da Y (s) =K[V + (s) V (s)] (K >), e nel caso particolare in cui Z 1 (s) sia una resistenza di valore R, mentrez 2 (s) ez 3 (s) ii) nell ipotesi di operazionale reale caratterizzato da Y (s) = K[V siano condensatori di capacità C e αc rispettivamente, con RC + (s) V = 1e (s)] (K > ), α >, si calcoli e nel caso particolare in cui Z 1 (s) = R (ovvero sia una resistenza di valore R), mentre la FDT W r (s) (punti 3.5); Z 2 (s) = 1/(sC) e Z 3 (s) = 2/(sC) (ovvero siano condensatori di capacità C e C/2 3. Si rispettivamente), studi la stabilità e di valga W r (s) la relazione perk molto RC = elevato 1, si calcoli (ma la comunque funzione di finito), trasferimento al variare W del parametro r (s) e se ne dimostri la BIBO stabilità. α >. Cosa cambierebbe in tale analisi se si scambiassero i morsetti +e? (punti 3.5). Teoria. [5 punti] Si consideri un modello lineare e tempo-invariante descritto da un equazione Esercizio differenziale 3. (punti del tipo7) Dato il processo di FDT n d i y(t) m d i u(t) a i 1 dt i = b G(s) = i dt i= i= (1 + i, t, s) 2 con a i, b i R, a n, b m e n m Si definisca la risposta in frequenza W (jω), ω R, del sistema e si dimostri che, nell ipotesi di stabilità BIBO del sistema, essa è finita per ogni valore di ω R. 2. Si dimostri, operando nel dominio delle trasformate, che, in corrispondenza ad un segnale fasoriale causale u(t) = e j ωt δ 1 (t), ω R, e in ipotesi di stabilità BIBO, la risposta forzata del sistema all ingresso assegnato ha una componente di regime permanente ed una componente transitoria, e se ne determinino esplicitamente le espressioni. 2

3 SOLUZIONI Esercizio 1. i) [5 punti] È immediato verificare che la funzione di trasferimento ha la seguente forma di Bode: (s + 1) ( 1 s ) G(s) = s ( s ). + s2 2 Pertanto K B = e la risposta in frequenza presenta un polo doppio nell origine (ν = 2), uno zero reale negativo semplice in 1 (1/T 1 = 1, µ 1 = 1), uno zero reale positivo semplice in (1/T 2 =, µ 2 = 1), ed una coppia di poli complessi coniugati con ω n = e ξ = 1/ (e ξ < 1/ 2). Sulla base di tali considerazioni e dei diagrammi di Bode, sia asintotici che effettivi, dei termini elementari, è immediato determinare i diagrammi di Bode della preassegnata risposta in frequenza, riportati nelle figure che seguono. 8 Diagramma di Bode Modulo Diagramma di Bode Fase db gradi ii) [6 punti] Il diagramma di Nyquist, per ω R, della risposta in frequenza di cui abbiamo tracciato il diagramma di Bode al punto i) è: 3

4 15 Nyquist Diagram 5 Imaginary Axis Real Axis Un suo dettaglio in prossimità dell origine (ovvero per valori di ω prossimi a ± ) è 4

5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Il diagramma di Nyquist (riportato al finito con una curva di 36, descritta in verso orario, che parte da G( jɛ) e arriva a G(jɛ)) compie un giro in verso orario attorno a 1 + j, ovvero N = 1. Poiché G(s) non ha poli a parte reale positiva, ovvero n G+ =, la condizione N = 1 implica n W + = 1. Pertanto il sistema retroazionato non è BIBO stabile ed ha un polo reale positivo. Esercizio 2. delle radici, i) [4 punti] Adottando le regole per il tracciamento del luogo (positivo) 1. verifichiamo subito che appartengono al luogo delle radici tutti i punti dell intervallo sull asse reale [ 4, 1]. 2. Poichè il numero dei poli è n = 5 mentre il numero degli zeri è m = 1, ne consegue che 4 rami vanno al punto improprio nelle direzioni angolari π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4. 3. Il baricentro da cui partono gli asintoti è C = ( j 3 j ) ( 1) 5 1 = 9 4. L unica soluzione possibile è che dai poli 3 ± j si dipartano due rami che vanno agli asintoti di pendenze 3π/4 e 5π/4, mentre dal polo doppio in si dipartono due rami che assecondano gli asintoti di pendenze π/4 e 7π/4. Possiamo dedurre ora l andamento qualitativo del luogo ottenendo in tal modo 5

6 15 Root Locus 5 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) ii) [5 punti] Notiamo preliminarmente che il guadagno di Bode del processo è negativo, pertanto sarà necessario prendere un precompensatore con guadagno negativo così che alla fine il guadagno di Bode in catena aperta sia positivo. Il requisito sul tipo richiede l introduzione di un polo nell origine. Il vincolo sull errore di regime permanente impone e rp = 1 K B (C).1 da cui segue K B (C). Prendiamo K B (C) = a cui corrisponde C (s) = s. I diagrammi di Bode di G(s) = C (s)g(s) sono i seguenti: 6

7 5 Diagramma di Bode Modulo Diagramma di Bode Fase db gradi Si trova 2 rad/s ω A > ω A = 3/2 rad/s e m ψ (ω A ) := 18 + arg(c (jω A )G(jω A )) soddisfa 9 m ψ (ω A ) > m ψ = 6. Possiamo quindi applicare un azione attenuatrice in modo da abbassare il diagramma delle ampiezze fino a far sì che la di attraversamento diventi ω A = 3/2 rad/s e di abbassare la fase di non più di 3. Una soluzione a occhio consiste nel posizionare un polo in 1/2 e cancellare il polo in della funzione di trasferimento in catena aperta attraverso l inserimento di uno zero in. La soluzione proposta corrisponde al controllore e quindi al controllore complessivo C (s) = 1/2 C(s) = ( s 1/2 ). I diagrammi di Bode di G(s) = C(s)G(s) sono i seguenti: 7

8 5 Diagramma di Bode Modulo Diagramma di Bode Fase db gradi Esercizio 3. trova che porta a Calcoliamo prima V + (s) e V (s). Dal bilancio delle correnti sul nodo + si U(s) V + (s) Z 1 (s) In modo assolutamente analogo si ottiene = V +(s) Y (s) Z 3 (s) V + (s) = Z 3(s)U(s) + Z 1 (s)y (s). Z 1 (s) + Z 3 (s) U(s) V (s) Z 1 (s) = V (s) Y (s) Z 2 (s) che porta a V (s) = Z 2(s)U(s) + Z 1 (s)y (s). Z 1 (s) + Z 2 (s) i) Nel caso ideale, ponendo V + (s) = V (s), si ottiene facilmente Y (s) = U(s), da cui W id (s) = 1. ii) Nel caso reale, sostituendo Z 1 (s) = R, Z 2 (s) = 1 sc, Z 3(s) = 1 sc/2, ponendo Y (s) = K[V + (s) V (s)] si ottiene, dopo alcuni conti e ricordando che RC = 1, W r (s) = Ks s 2 + (3 + K)s + 2. La BIBO stabilità segue banalmente dalla regola dei segni di Cartesio. Teoria. [5 punti] Si veda il Libro di testo, pp