Soluzione degli esercizi del Capitolo 9

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1 Soluzione degli esercizi del Capitolo 9 Soluzione dell Esercizio 9.1 Il diagramma polare associato alla funzione L(s) = µ/s, µ > comprende l intero semiasse reale negativo. È quindi immediato concludere che il numero di giri N che il diagramma di Nyquist compie intorno a 1 non è ben definito, qualunque sia il valore (positivo) di µ. In base al criterio di Nyquist, il sistema retroazionato non può pertanto essere asintoticamente stabile. Come verifica, si osservi che i poli del sistema retroazionato sono le soluzioni dell equazione s + µ =, ovvero s 1, = ±j µ. Avendo poli puramente immaginari distinti, il sistema retroazionato è stabile, ma non asintoticamente. Soluzione dell Esercizio 9. Si utilizzi il Corollario 9.1 ponendo L(s) = 1 + s 1 + s e osservando che il numero di poli di L(s) con parte reale maggiore di zero è P =. Il diagramma di Nyquist di L(s) è mostrato nella Figura S9.1. Si consideri ora il numero di giri che tale diagramma compie intorno al punto 1/µ, al variare del parametro µ. Quando µ è positivo, il punto 1/µ giace sul semiasse reale negativo. Pertanto risulta N = = P, e il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Quando 1 < µ <, risulta N = ; perciò il sistema è instabile e possiede due poli con parte reale positiva. Quando µ = 1, N non è ben definito, e il sistema non è asintoticamente stabile (in effetti si può verificare che in tal caso i poli in anello chiuso sono in s = e s = 1 e pertanto il sistema è instabile). Infine quando µ < 1, risulta N = 1, e il sistema è ancora instabile, anche se solo uno dei poli in anello chiuso ha parte reale positiva. In definitiva, il sistema retroazionato è asintoticamente stabile solo per valori positivi di µ. Soluzione dell Esercizio 9.3 Si osservi che, per tutti i valori indicati dei parametri, il diagramma polare associato a L(s) parte dal punto µ sull asse reale e arriva nell origine svolgendosi completamente nel semipiano immaginario negativo. In altre parole, risulta 18 < arg L(jω) per ogni ω >. Perciò si può concludere che il diagramma di Nyquist non compie alcun giro intorno al punto 1. Poiché L(s) non possiede poli con parte reale maggiore di zero, in base al criterio di Nyquist il sistema è asintoticamente stabile. Nelle Figure S9. e S9.3 sono riportati i diagrammi di Bode e quelli di Nyquist per µ = 1, ω n = 1, e diversi valori di ξ. Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 1

2 4 Nyquist Diagram 3 Imaginary Axis Real Axis Figura S9.1: Diagramma di Nyquist di L(s) nell Esercizio 9.. Bode Diagram Magnitude (db) 4 6 Phase (deg) ξ=. ξ=.7 ξ= Frequency (rad/sec) Figura S9.: Diagrammi di Bode di L(s) nell Esercizio 9.3. Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.

3 3 Nyquist Diagram 1 Imaginary Axis Real Axis Figura S9.3: Diagrammi di Nyquist di L(s) nell Esercizio 9.3. Soluzione dell Esercizio 9.4 Si osservi dapprima che, in ogni caso, è P =. Quindi per avere asintotica stabilità occorre e basta che il diagramma di Nyquist di L(s) non compia giri intorno al punto 1. Se µ < 1, il diagramma di Nyquist di L(s) si svolge interamente all interno della circonferenza unitaria, per qualunque valore di τ, dato che il modulo è decrescente all aumentare di ω. Esso quindi non può compiere giri intorno a 1 e l asintotica stabilità è garantita. Alla stessa conclusione si perviene nel caso µ = 1. Se invece µ = 1, il numero di giri N non è ben definito e il sistema non è asintoticamente stabile. Resta da considerare il caso µ > 1, in cui si può applicare il criterio di Bode perché il diagramma del modulo ha un unica intersezione con l asse a db. Poiché una condizione necessaria di tale criterio è che il guadagno d anello µ sia positivo, per µ < 1 il sistema è instabile. Si consideri allora µ > 1 e si imposti l equazione µ ( ) 3 = ω per determinare la pulsazione critica ω c. Si ottiene ω c = µ 3 1 e, in corrispondenza, la fase critica (in gradi) vale ϕ c = 3 arctan ω c ω c τ 18 π dove la funzione arctan è valutata in gradi. Il margine di fase è allora ( ) ϕ m = 18 3 arctan µ3 1 µ 3 1τ 18 π Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 3

4 τ m µ Figura S9.4: Regione di stabilità nel piano dei parametri (µ, τ) nell Esercizio 9.4. e il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per tutti i valori di µ > 1 e τ > che rendono positivo ϕ m. Risolvendo rispetto a τ, si trova che deve essere π π ( ) τ < 6 arctan µ3 1 (1) µ3 1 Nella Figura S9.4 è mostrata la regione nel piano dei parametri (µ, τ) in cui è verificata la condizione ϕ m > (la regione è quella sotto la curva e sopra l asse τ > ). Come si vede, il sistema tende a destabilizzarsi sia all aumentare del ritardo τ, sia all aumentare del guadagno d anello µ. In particolare, esiste un valore limite µ max = (4) per cui il secondo membro della precedente disuguaglianza si annulla e oltre il quale il sistema non può più essere asintoticamente stabile, qualunque sia il ritardo. Soluzione dell Esercizio 9.5 Il margine di stabilità vettoriale rappresenta la minima distanza del diagramma di Nyquist di L(s) dal punto 1 (Paragrafo 9.6.1), e può essere quindi calcolato come m = min ω = min ω 1 + L (jω) = min ω (11 ω ) + 4ω 1 + ω (1 + jω) = min ω 11 ω + jω (1 + jω) = Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 4

5 L(jω) ω Figura S9.5: Diagramma di grafico di 1 + L (jω) nell Esercizio 9.5. Ponendo per comodità x = ω, si può procedere alla minimizzazione rispetto a x di tale espressione per via analitica. Si ricava che il minimo viene raggiunto in x = ω = 13 e vale m = / Ciò è confermato dal grafico di 1 + L (jω) riportato nella Figura S9.5. Per quanto riguarda il margine di guadagno risulta k m =, dato che arg L(jω) non scende mai sotto i 18. Infine, per il calcolo del margine di fase, si osservi che, almeno ragionando sul diagramma asintotico, il punto di attraversamento del diagramma di Bode di L (jω) con l asse a db coincide con il punto medio della decade [1, 1], ovvero ω c = 1. In corrispondenza la fase critica vale ϕ c = arctan (ω c ) 145. Pertanto, il margine di fase è ϕ m 35. Dalla Figura S9.6 si vede come tale valutazione sia molto vicina a quella ottenuta dal diagramma esatto. Soluzione dell Esercizio 9.6 Si ponga inizialmente α = 1. I corrispondenti diagrammi di Bode del modulo e della fase sono mostrati nella Figura S9.7. Da essi è immediato ricavare che ω c 1, ϕ m 78.6, ω π 4.5, e k m 1.1 db Per il criterio di Bode il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Se invece si pone α = 1, il diagramma della fase si modifica come indicato nella Figura S9.8, e risulta ω c 1, ϕ m 9, ω π., e k m 6.5 db.47. Il fatto che il margine di fase sia negativo e che il margine di guadagno sia inferiore a 1 dimostra che in questo caso il sistema retroazionato è instabile. Si invita il lettore a ripetere l esercizio basandosi sul tracciamento dei diagrammi asintotici del modulo e della fase. Procedendo in questo modo, la Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 5

6 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 36.9 deg (at 3 rad/sec) Magnitude (db) 4 6 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura S9.6: Diagrammi di Bode di L(s) nell Esercizio Bode Diagram Gm = 1.1 db (at 4.46 rad/sec), Pm = 78.6 deg (at 1 rad/sec) 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura S9.7: Diagrammi di Bode di L(s), con α = 1, nell Esercizio 9.6. Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 6

7 1 Bode Diagram Gm = 6.5 db (at.1 rad/sec), Pm = 9 deg (at 1 rad/sec) 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura S9.8: Diagrammi di Bode di L(s), con α = 1, nell Esercizio 9.6. valutazione della pulsazione critica (e quindi quella del margine di fase, pur di usare la formula analitica di arg L (jω c )) rimane molto accurata; è invece più difficoltosa la valutazione di ω π e del margine di guadagno. Soluzione dell Esercizio 9.7 Innanzitutto, per poter applicare il criterio di Bode è necessario che sia T >, altrimenti L(s) possiede poli con parte reale maggiore di zero. Inoltre deve essere µ > 1, in modo che il diagramma di Bode di L (jω) abbia un punto di attraversamento con l asse a db. Sotto tali ipotesi, il criterio di Bode afferma che condizione necessaria e sufficiente per l asintotica stabilità del sistema retroazionato è che il guadagno d anello e il margine di fase siano entrambi positivi. Quindi, nel caso µ < 1, il sistema non è asintoticamente stabile. Se invece è µ > 1, si osservi che, qualunque sia il valore di ω c, risulta ϕ m = 18 arctan(ω c T ) = 18 arctan(ω c T ) >, e quindi si conclude per l asintotica stabilità. I risultati trovati sono in perfetto accordo con quelli discussi nel Caso 1 e nel Caso 3 dell Esempio 9.4. Soluzione dell Esercizio 9.8 Per poter applicare il criterio di Bode è necessario ipotizzare che sia T >. È poi facile osservare che in ogni caso il diagramma di Bode del modulo di L(s) attraversa una sola volta l asse a db. Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 7

8 Quando µ <, si conclude che il sistema è instabile, essendo violata una delle condizioni necessarie del criterio di Bode. Si consideri ora il caso µ >, e si discutano le varie situazioni che si ottengono al variare della costante di tempo positiva T. Quando T > 1, il polo interviene a pulsazione più bassa rispetto allo zero, e quindi la fase di L(jω) è compresa tra 18 e 7. Qualunque sia il valore di ω c il margine di fase è negativo e il sistema è instabile. Quando T = 1, polo e zero si cancellano e la funzione d anello assume la forma di un doppio integratore, con fase costante pari a 18. Il margine di fase è uguale a zero e, qualunque sia il valore di µ, il sistema non può essere asintoticamente stabile (si veda anche l Esercizio 9.1). Infine, quando T < 1, lo zero precede il polo e fa sì che la fase rimanga sempre sopra i 18. Il margine di fase, qualunque sia il valore di µ, risulta positivo e il sistema è asintoticamente stabile. A verifica dei precedenti risultati, si applichi il criterio di Routh al polinomio caratteristico in anello chiuso ϕ(s) = s (1 + st ) + µ(1 + s) = T s 3 + s + µs + µ La relativa tabella di Routh è T µ 1 µ µ(1 T ) µ Si conclude che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile se e solo se µ > e < T < 1, in accordo con i risultati precedenti. Si noti che il criterio di Routh consente altresì di affermare che il sistema non è asintoticamente stabile quando T <, cioè nel caso in cui il criterio di Bode non è applicabile. Copyright c 8 - The McGraw-Hill Companies s.r.l. 8