Metodi di progetto per filtri IIR: soluzione dei problemi proposti

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1 7 Metodi di progetto per filtri IIR: soluzione dei problemi proposti P-7.: Usando il metodo dell invarianza all impulso, la funzione di trasferimento del filtro analogico viene trasformata in una funzione di trasferimento digitale sostituendo i fattori al denominatore della forma(s s i ) con fattori della forma( e sit z ). Poiché la funzioneh a (s) può essere riscritta come H a (s) la funzione di trasferimento digitale è data da H(z) Ω t s ( Ω t ), Ω t ( e ΩtT z ). I parametri T e Ω t permettono di definire la frequenza di taglio nel dominio analogico e digitale. La frequenza Ω Ω t coincide con la frequenza di taglio a -3 db nel dominio analogico. Ponendo T, le pulsazioni analogiche coincidono con quelle digitali per π ω π. Quindi, la frequenza di taglioω t può essere ricavata dalle specifiche per il filtro digitale, cioèω t 2πf t /f c 2π5/4 π/4. Alternativamente, seω t è assegnata, è necessario fare una scelta diversa per il parametro T. In Figura 7., sono mostrate le risposte in frequenza che si ottengono perω t π/4, scegliendot et.2. Si noti come la scelta di T influisce sulla frequenza di taglio del filtro digitale. Inoltre, l effetto di aliasing è inferiore per T piccolo: ciò influisce notevolmente sul comportamento del filtro, soprattutto sul guadagno alle frequenze vicine af c /2. Si noti, infine, che il guadagno del filtro varia con la scelta dei parametri. P-7.2: Sostituendos jω, abbiamo H a (Ω) (+jω) 2 H a(ω) +Ω 2. La trasformazione bilineare induce la mappatura Ω k tg πf. frequenza di taglio a - 3dB uguale af t /4, possiamo scrivere Quindi, essendo la 2 +k 2 tg 2, πf t Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

2 2 Capitolo H a (Ω) Ω (a) H(F) H(F) F F (b) (c) Figura 7. Risposte in frequenza relative al problema P-7.: (a) filtro analogico (Ω t π/4); filtro digitale scegliendo (b) T e (c) T.2. da cui si ricava k La funzione di trasferimento del filtro digitale è quindi data da (+z ) 2 H(z) H a (s) sk z +z ( z ) 2 P-7.3: Sostituendos jω, abbiamo H a (jω) +jω +Ω 2 Considerando la mappatura Ω k tg πf indotta dalla trasformazione bilineare, si ottiene H(F) 2 +k 2 tg 2 πf Usando la specificaf 3dB F t f t /f c., abbiamo +k 2 tg 2 πf t.5 F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2 Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

3 Soluzioni dei problemi proposti 3 da cui si ricavak La funzione di trasferimento del filtro digitale è data da H(z) +z +k z +k +( k)z +z z +z La frequenzaf 2 per la quale vale H(F 2 ) 2 2 db si ricava imponendo +k 2 tg 2 πf 2 2, da cui si ottiene F La banda del filtro numerico per la quale abbiamo un attenuazione maggiore di2 db è quindif 2 F <.5. P-7.4: Sostituendos k z z+, troviamo la funzione di trasferimento del filtro integratore digitale H(z) z+ k z ; la costante k influisce solo sul guadagno del filtro. La risposta in frequenza per k è riportata in Figura 7.2. Il filtro numerico ha un polo sul cerchio unitario e quindi non è stabile H(F) F Figura 7.2 Risposta in frequenza relativa al problema P-7.4. P-7.5: ottiene Dopo l applicazione della trasformazione bilineare nella prima funzione data si H(z) H(s) sk z +z k 2( z ) 2 (+z ) 2 + 2k z +z + (+z ) 2 (k 2 + 2k +)+2( k 2 )z +(k 2 2k +)z 2. Da quest ultima espressione notiamo che il filtro ha sempre, indipendentemente da k, uno zero doppio in z e un guadagno unitario in z. I poli sono complessi coniugati e la loro posizione, dipendente dak, è data da p,2 k2 ±j 2k k 2 + 2k +. Per valori di k da. a 4.9, con passo.3, si ottengono i poli mostrati in Figura 7.3-(a): per k i poli tendono a z, per k i poli tendono a z. Il filtro Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

4 4 Capitolo 7 ha prevedibilmente un comportamento passa-basso, con larghezza della banda passante dipendente dak (banda larga perk, banda stretta perk ). Prendendo in esame la seconda funzione di trasferimento proposta dal problema, applicando la trasformazione bilineare si ottiene k z +z +.5 H(z) H(s) sk z ( +z k z +z +.5 ) 2 +2 (+z )(k +.5+(.5 k)z ) (k 2 +k +9/4)+2(9/4 k 2 )z +(k 2 k +9/4)z 2. Da questa ultima espressione notiamo che il filtro ha sempre, indipendentemente da k, uno zero in z e un guadagno in z uguale a 2/9. Inoltre ha uno zero in z (k.5)/(k +.5), la cui posizione tende a z per k e a z per k, e due poli complessi coniugati in posizione p,2 k2 9/4±j2 2k k 2. +k +9/4 Per valori di k da. a 4.9, con passo 3, si ottengono i poli mostrati in Figura 7.3-(b): per k i poli tendono a z, per k i poli tendono a z. Il filtro ha prevedibilmente un comportamento passa-banda, con la posizione e la larghezza del picco di risonanza dipendente dak Imaginary Part.2.2 Imaginary Part Real Part Real Part (a) (b) Figura 7.3 Posizione dei poli relativi ai filtri proposti nel problema P-7.5. P-7.6: Conoscendo l ordine (N 2) del prototipo di Butterworth, per il progetto del filtro numerico è sufficiente una unica condizione, data dal valore della frequenza di taglio a -3 db. Sapendo chef t ft f c 4 2 /5, usando un prototipo di Butterworth con frequenza di taglio normalizzata e la mappatura della trasformazione bilineare, cioè Ω t ktgπf t, abbiamo H a (Ω t ) 2 +Ω 2 t +(ktgπf t ) 2 2, dalla quale si ricava k.38. La funzione di trasferimento di Butterworth per N 2 è data da H a (s) ( se j 3 4 π )( se j 5 4 π ), F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2 Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

5 Soluzioni dei problemi proposti 5 da cui si ricava H(z) ( k z +z e j 3 4 π )( k z +z e j 5 4 π ) (+z ) z z 2 P-7.7: Usando la mappatura della trasformazione bilineare e la risposta in frequenza di un filtro di Butterworth è possibile impostare le seguenti equazioni {./ +(ktgπf ) 2N +(ktgπf 2) 2N 4/, dove F f p /f c 4/4 e F 2 f s /f c 8/4. L ordine del filtro si ottiene dall equazione ( ) 2N tgπf. tgπf 2 4 N 9. Il parametrok si ricava invece dall espressione k 2N. tgπf Nel dominio analogico, i poli sono posizionati ins i e j(π 2 +π+2πi 2N ), i,,...,n. La funzione di trasferimento nel dominio digitale è data da H(z) ( ). N i k z +z e j(π 2 +π+2πi 2N ) La posizione dei poli è riportata in Figura 7.4-(a). Gli zeri sono tutti posizionati inz Imaginary Part.2.2 Imaginary Part Real Part.5.5 Real Part (a) (b) Figura 7.4 Posizione dei poli dei filtri di Butterworth (a) e di Chebyshev di tipo I (b) progettati nel problema Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

6 6 Capitolo 7 Utilizzando un prototipo di Chebyshev di tipo I e applicando la formula (7.) del testo si ottiene N 5. Usando la procedura illustrata nell esercizio 7. del testo si ottiene la funzione di trasferimento H(z) (+z ) z z z z 4.336z 5. La posizione dei poli è riportata in Figura 7.4-(b). P-7.8: Un filtro di Chebyshev di tipo II è caratterizzato da H(Ω) 2 ǫ2 T 2 N (/Ω) +ǫ 2 T 2 N (/Ω) Il parametroǫviene calcola utilizzando la relazione ǫ Gs/ Gs/, dove G s 3 db, mentren lo si ricava dalla relazione N cosh ( ǫ ) Gp/ Gp/ cosh (/Ω p ) N 5 dove G p.5 db, Ω p ktgπ 75 5, con k /tgπ25 5. La funzione di trasferimento si ricava usando la fattorizzazione Sostituendos k z +z, infine, si ricava H a (s)h a ( s) ǫ2 T 2 5(j/s) +ǫ 2 T 2 5 (j/s). H(z) z +.345z z z z z z 2.266z z z 5. La risposta in frequenza del filtro progettato è mostrata in Figura 7.5. P-7.9: Si consideri il progetto basato su filtri di Chebyshev di tipo I. Operando come illustrato nell esercizio 7.6 del testo, è possibile progettare un filtro passa-alto associando il progetto di un filtro passa-basso con una trasformazione da passa-basso a passa-alto. Il parametroǫèdato da ǫ ( δ ) 2.35, dove δ.5/2.56, mentre l ordine del filtron è dato da ( ) cosh δ 2 2 N ( δ ) 2 cosh (Ω s ) N 5, F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2 Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

7 Soluzioni dei problemi proposti H(F) Frequenza normalizzata Figura 7.5 Risposta in frequenza relativa al filtro progettato nel problema 7.8. doveδ 2 5/2.32,Ω s ktgπ 5 4 dalla fattorizzazione H a (s)h a ( s),k /tgπ 8 4. Dopo aver ricavatoh a(s) +ǫ 2 T 2 5 (s/j), e dopo aver applicato la trasformaziones (+z )/[k( z )], si ottiene la funzione di trasferimento del filtro digitale, data da H(z)..56z +.3z 2.3z z 4.z z z z z z 5. La risposta in frequenza del filtro progettato è mostrata in Figura H(F) Frequenza normalizzata Figura 7.6 Risposta in frequenza relativa al filtro progettato nel problema 7.9. P-7.: Dai dati del problema e dalle formule per il calcolo dell ordine dei filtri riportate in sezione 7.3 del testo, si ricavano i seguenti risultati: usando un prototipo di Butterworth l ordine èn 5; con prototipo di Chebyshev di tipo I l ordine èn 4; con Chebyshev di tipo II l ordine èn 4; usando un filtro ellittico l ordine èn 3. P-7.: Utilizzando la routine proposta nell esercizio 7.6 del testo, si ottiene il risultato mostrato in Figura 7.7. P-7.2: La funzione di trasferimento di un filtro caratterizzata da due zeri e due poli ha polinomi in z di grado due al numeratore e al denominatore. L equazione alle Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl

8 8 Capitolo H(F) F Figura 7.7 Risposta in frequenza relativa al problema P-7.. differenze finite che governa il sistema è data da y[n] a y[n ]+a 2 y[n 2]+b x[n]+b x[n ]+b 2 x[n 2]. Se si assume che l ingresso sia un impulso unitario, allora l uscita coincide con la risposta impulsiva h[n]. Quindi, vale la sequente equazione alle differenze finite: h[n] a h[n ]+a 2 h[n 2]+b δ[n]+b δ[n ]+b 2 δ[n 2]. Se da questa relazione calcoliamo i primi cinque campioni dih[n], ipotizzando il sistema in quiete e la risposta impulsiva di tipo causale, abbiamo h[] b h[] a h[]+b h[2] a h[]+a 2 h[]+b 2 h[3] a h[2]+a 2 h[] h[4] a h[3]+a 2 h[2]. Sostituendo i dati del problema, si ottiene il seguente sistema lineare nei coefficienti dell equazione alle differenze finite (e quindi della funzione di trasferimento del filtro): 3 b 3a +b a +3a 2 +b 2 2 a a 2 2a +a 2, la cui soluzione è b 3, b 3, b 2 7/3, a 2/3, a 2 4/3. Il denominatore della funzione di trasferimento risulta essered(z) a z a 2 z 2 2/3z + 4/3z 2, da cui si ricava che i poli del sistema sono esterni al cerchio unitario. Il sistema, quindi, se implementato in modo causale, non è stabile. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2 Copyright 2 - The McGraw-Hill Companies srl