Teoria dei filtri. Corso di Componenti e Circuiti a Microonde. Ing. Francesco Catalfamo Ottobre 2006

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1 Teoria dei filtri Corso di Componenti e Circuiti a Microonde Ing. Francesco Catalfamo Ottobre 6

2 Indice Funzioni di trasferimento: definizioni generali Risposta di Butterworth (massimamente piatta) Risposta di Chebyshev Funzione di risposta ellittica Elementi del prototipo di filtri passa basso Trasformazioni in frequenza Convertitore di ammettenza o convertitore J Fattore di qualità per elementi reattivi con perdite

3 Introduzione L applicazione più comune di un filtro è sicuramente la reiezione delle frequenze non volute del segnale e di converso la buona trasmissione di quelle desiderate. Esistono diverse tipologie di filtri, che sono progettati con caratteristiche di attenuazione passa basso, passa alto, passa banda o stop banda. Quattro comuni tipologie di filtro

4 Funzioni di trasferimento La funzione di trasferimento di una rete a due porte che opera come filtro è da intendersi come una descrizione matematica delle caratteristiche di risposta della rete stessa, che si traduce nella espressione matematica del parametro della matrice di scattering S 1. Nella maggior parte dei casi, il modulo quadro della funzione di trasferimento per una rete filtrante passiva prive di perdite è definito come: S 1 ( j ) 1 = 1+ ε Ω F n ( Ω) dove ε è una costante di ripple (ondulazione), F n (Ω) rappresenta una funzione caratteristica o di filtraggio e Ω è la frequenza. Ai fini della trattazione che segue, è conveniente porre che Ω rappresenti la frequenza espressa in radianti; e per il prototipo di filtro passa basso si considera una frequenza di taglio (cutoff) pari a Ω = Ω C per Ω C = 1 (rad/s).

5 Funzioni di trasferimento Per reti lineari e tempo invarianti, la funzione di trasferimento può essere definita come una funzione razionale fratta della forma: N ( ) ( p) S 1 p = D p dove N(p) e D(p) sono funzioni polinomiali con variabile la frequenza complessa p = σ+jω. Per una rete passiva priva di perdite, la frequenza è σ= e p = jω. Riuscire a progettare una funzione di trasferimento razionale fratta, tramite un circuito reale, che produca caratteristiche di risposta quanto possibile simili a quelle richieste è un aspetto di notevole importanza. Per una data funzione di trasferimento, le perdite di inserzione del filtro (IL: Insertion Loss), possono essere calcolate come: 1 L A ( Ω) = 1log db con S 11 + S 1 = 1 S j ( ) 1 Ω ( )

6 Funzioni di trasferimento Per una rete passiva a due porte e priva di perdite, le perdite di riflessione (RL: Return Loss) di un filtro possono essere trovate usando l espressione: L R [ ] db ( Ω) = 1log 1 S ( j ) 1 Ω Una volta ricavata la funzione di trasferimento razionale fratta, la risposta in termini di fase del filtro può essere ottenuta da: φ 1 = ArgS 1 ( jω) Il ritardo di gruppo di questa rete può essere calcolato dalla precedente espressione come segue: dφ ( ) 1( Ω) τ d Ω = [sec] dω dove f 1 (Ω) è la fase espressa in [rad] e Ω è la frequenza in [rad/s].

7 Poli e zeri nel piano complesso Il piano (σ,ω), luogo di definizione di una funzione di trasferimento razionale fratta, è chiamato il piano complesso o il piano-p. L asse orizzontale di questo piano è noto come asse reale o asse-σ, e l asse verticale è noto come asse immaginario o asse-jω. I valori di p per i quali la funzione di trasferimento si annulla sono detti zeri, e i valori di p per i quali la funzione diventa infinita sono dette singolarità (o più comunemente poli) della funzione stessa. Questi poli saranno le frequenze naturali del filtro la cui risposta è descritta da S 1 (p). Affinché un filtro sia stabile queste frequenze naturali devono trovarsi nel semipiano sinistro del piano complesso o sull asse immaginario. Se ciò non si verifica, le oscillazioni potrebbero, nel tempo, incrementarsi esponenzialmente in ampiezza, una condizione questa che è impossibile in una rete passiva.

8 Risposta di Butterworth Il modulo quadro della funzione di trasferimento per i filtri di Butterworth che presentano perdite di inserzione L Ar = 3.1 db alla frequenza di taglio Ω C = 1 (rad/s) è data da: 1 S 1( jω) = n 1+ Ω dove n è il grado o l ordine del filtro, che corrisponde al numero di elementi reattivi richiesti nel prototipo passa basso del filtro. Funzione di risposta di tipo Butterworth (massimamente piatta)

9 Risposta di Butterworth Una funzione razionale fratta per la realizzazione di una risposta di tipo Butterworth è: 1 S ( p) = 1 n ( i 1) π con p i = j exp p n ( p i ) i= 1 Da queste formule, si evince che non sono presenti zeri di trasmissione a frequenza finita [tutti gli zeri di S 1 (p) sono all infinito], ed i poli p i si dispongono sul cerchio di raggio unitario nel semipiano sinistro a distanze angolare uguali, quindi p i = 1 e Arg(p i )= (i-1)p/n. Distribuzione dei poli per una risposta di tipo Butterworth (massimamente piatta)

10 Risposta di Chebyshev La risposta in frequenza di un filtro di tipo Chebyshev è caratterizzata da una banda passante con ondulazione costante (equal-ripple) e da una banda di reiezione (stopband) massimamente piatta. Il modulo quadro della funzione di trasferimento che descrive questo tipo di risposta è: S 1 ( j ) 1 = 1+ ε Ω T n ( Ω) dove la costante di ondulazione e è relativa ad un dato valore di ondulazione in banda passante L Ar, in db da: ε = L Ar Funzione di risposta di tipo Chebyshev

11 Risposta di Chebyshev T n (Ω) è una funzione di Chebyshev del primo tipo di ordine n, che è definita come: 1 cos( n cos Ω) Ω 1 T n ( Ω) = 1 cosh( n cosh Ω) Ω 1 Una formula della funzione di trasferimento razionale fratta per il filtro di Chebyshev è: n 1 [ η + sen ( iπ / n) ] i= 1 S 1( p) = n p + p con ( i ) i= 1 ( i 1) p i = j cos sen jη + n 1 π e 1 1 η = senh senh n 1 ε

12 Risposta di Chebyshev Simile al caso della risposta massimamente piatta, tutti gli zeri di trasmissione di S 1 (p) sono posti all infinito. A causa di ciò, i filtri di Butterworth e di Chebyshev sono anche detti filtri a tutti poli (all-poles). Tuttavia, la dislocazione dei poli per il caso Chebyshev è differente, poiché essi sono situati su di una ellisse nel semipiano sinistro. L asse maggiore dell ellisse è sul l asse-jω e la sua misura è 1+ η ; l asse minore è sull asse-s e ha misura η. Distribuzione dei poli di risposta di Chebyshev

13 Funzione di risposta ellittica F n ( Ω) Esistono dei filtri la cui risposta presenta ondulazione costante (equalripple) sia in banda passante che in banda di reiezione del segnale (stopband). Per questi filtri la funzione di risposta è detta ellittica. La funzione di trasferimento per questo tipo di risposta è: S con M = N 1 ( j ) 1 = 1+ ε Ω F n n ( Ωi Ω ) n ( Ω S Ωi Ω ) i= 1 Ω ( ) n 1 ( Ωi Ω ) n 1 ( Ω S Ωi Ω ) ( Ω) i= 1 ( ) per n( 3) i= 1 i= 1 per n pari dispari Funzione di risposta ellittica dove Ω S e Ω i sono frequenze critiche.

14 Funzione di risposta ellittica Un analisi di F n (Ω) evidenzia che gli zeri ed i poli sono inversamente proporzionali tra loro, secondo la costante di proporzionalità Ω S. Un importante proprietà scaturisce dall osservazione appena fatta: se si è in grado di ricavare Ω i in modo da avere una F n (Ω) che presenta ondulazione costante nella banda passante, si avrà automaticamente uguale ondulazione nella banda di reiezione. Il parametro Ω S è la frequenza dalla quale parte la banda di reiezione con ondulazione costante. ( ) M Per n pari è richiesto che sia Fn Ω S =, questa relazione può essere usata per definire il minimo nella banda di reiezione per una data costante di ondulazione ε in banda passante. Questi filtri possono essere identificati anche come filtri Cauer, dal nome del ricercatore che per primo introdusse questo tipo di funzione.

15 Elementi del prototipo di filtri passa-basso La sintesi di filtri per la realizzazione di funzioni di trasferimento, della natura di quelle discusse in precedente, di solito si esplica nel cosiddetto prototipo di filtri passa basso. Un prototipo di filtro passa basso è, in generale, definito come il filtro passa basso i cui componenti hanno valori normalizzati in modo da rendere la resistenza o la conduttanza di sorgente pari ad 1 (g = 1), e la frequenza angolare di taglio anch essa pari ad 1 (Ω C = 1 rad/s). L obiettivo primario di questa lezione è presentare equazioni e tabelle per ottenere il valore degli elementi di alcuni prototipi di filtri passa basso comunemente usati, senza tuttavia entrare nel dettaglio delle procedure di sintesi del filtro. In aggiunta, verrà anche discussa la determinazione dell ordine del prototipo del filtro.

16 Elementi del prototipo di filtri passa-basso Prototipi passa basso di filtri di tipo all poles con (a) una struttura circuitale a più maglie e (b) la propria rete duale.

17 Prototipo passa-basso di filtri Butterworth Per il prototipo passa basso di filtri Butterworth si ha una funzione di trasferimento con L Ar = 3.1 db alla frequenza di taglio Ω C = 1. I valori dei componenti del prototipo possono essere calcolati da: g = g n + 1 = 1. g i ( i 1) π = sen per i = 1...n n Valori degli elementi per il prototipo di filtro passa basso di Butterworth

18 Prototipo passa-basso di filtri Butterworth Per determinare l ordine di un prototipo passa basso di Butterworth, è fornita di solito la specifica sulla minima attenuazione nella banda di reiezione L AS a Ω = Ω S per Ω S > 1. Pertanto si ha: n (.1L AS 1) log 1 log Ω S Per esempio, se L AS = 4 db e Ω S = : n e verrebbe selezionato un prototipo passo basso con risposta di tipo Butterworth a 7-poli (n = 7).

19 Prototipo passa-basso di filtri Chebyshev Per il prototipo di filtri Chebyshev, aventi una funzione di trasferimento con L Ar in banda passante e frequenza di taglio Ω C = 1, i valori dei componenti circuitali possono essere così calcolati: g = 1. g i = 1 g i 1 g 1 π = sen γ n ( i 1) π ( i 3) π 4sen sen n n ( i 1) π γ + sen n g n = β coth 4 per i =, 3,...n per per n n pari dispari dove β = L ln coth Ar e γ = β senh n

20 Prototipo passa-basso di filtri Chebyshev Valori degli elementi del prototipo passa basso di Chebyshev Per soddisfare le specifiche sull ondulazione in banda passante L Ar e sulla minima attenuazione in banda di reiezione L AS a Ω = Ω S, si calcola l ordine del filtro prototipo passa basso di Chebyshev dalla seguente formula: n 1 1 cosh 1 1 cosh Ω.1L.1L S AS Ar 1 1

21 Prototipo passa-basso di filtri Chebyshev Con lo stesso esempio del prototipo di Butterworth, L As dbe Ω S =, e con un oscillazione in banda passante L Ar =.1 db per la risposta di tipo Chebyshev, si ricava agevolmente n 5.45; ovvero si ha n = 6 per il prototipo di Chebyshev che soddisfa queste specifiche. Dal calcolo appena effettuato appare evidente, a parità di specifiche richieste, la superiorità del modello progettuale di Chebyshev rispetto a quello di Butterworth. Talvolta, la minima perdita di riflessione L R o il massimo rapporto di onda stazionaria in tensione VSWR nella banda passante sono specificati in termini di ondulazione in banda passante L Ar : LAr = 1log 1 (.1L 1 ) R db L Ar VSWR 1 = 1log 1 VSWR + 1 db

22 Prototipo passa-basso di filtri ellittici Prototipi passa basso di filtri a funzione di risposta ellittica con (a) serie di rami di circuiti risonanti parallelo, (b) implementazione duale.

23 Prototipo passa-basso di filtri ellittici Al contrario dei prototipi passa basso dei filtri di tipo Butterworth e Chebyshev, non esiste una formula semplice per determinare il numero di elementi circuitali per il prototipo passa basso di filtri ellittici. La tabella elenca alcuni utili parametri progettuali per il prototipo passa basso di filtri ellittici a due porte, dove g = g n+1 = 1. Valori degli elementi per il prototipo passa basso di filtri a risposta ellittica (g = g n+1 = 1., Ω C = 1, L Ar =.1 db)

24 Prototipo passa-basso di filtri ellittici Il grado di un prototipo passa basso di filtro ellittico, necessario per soddisfare le specifiche assegnate può essere ricavato dalla funzione di trasferimento o dalle tabelle di progetto. In particolare, considerando lo stesso esempio usato precedentemente per i prototipi di Butterworth e di Chebyshev, L As db a Ω S = ed ondulazione in banda passante L Ar =.1 db, si può determinare immediatamente n = 5 da un analisi dei dati di progetto, Ω S e L AS riportati nella tabella. Quanto detto mostra inoltre che il progetto di un filtro ellittico è superiore al progetto sia di tipo Butterworth che di tipo Chebyshev, considerando questo tipo di specifiche.

25 Trasformazioni in frequenza Fino ad ora si sono presi in esame i prototipi di filtri passa basso che presentano una resistenza (e/o conduttanza) di sorgente g = 1 ed una frequenza di taglio Ω C = 1. Per ottenere le caratteristiche in frequenza ed i valori dei componenti dei filtri reali basati sul prototipo passa basso, si applicano delle opportune trasformazioni in frequenza. La trasformazione in frequenza, anche nota come mappatura in frequenza, è necessaria per riportare una risposta come quella di Chebyshev dal dominio della frequenza Ω del prototipo passa basso al dominio della frequenza ω nel quale è espressa la risposta di un filtro reale come un passa basso, passa alto, passa banda e stop banda. La trasformazione in frequenza avrà di conseguenza effetto su tutti gli elementi reattivi presenti, ma nessun effetto su quelli resistivi.

26 Trasformazioni in frequenza In aggiunta alla mappatura in frequenza, è anche necessaria la variazione dell impedenza per la realizzazione della trasformazione dei componenti. La variazione dell impedenza rimuoverà la normalizzazione g = 1 ed adatterà il filtro a lavorare a qualsivoglia valore dell impedenza di sorgente, indicata da Z. Per la formulazione fin qui seguita risulta conveniente definire un fattore di scala dell impedenza γ come: γ Z g g con g resistenza = Y con g conduttanza con Y = 1 Z

27 Trasformazioni in frequenza In linea di principio, applicare il fattore di scala all impedenza di una rete filtrante in modo che: L γ L non produce nessun effetto sulla forma della risposta. Sia g il generico parametro per i componenti di un prototipo passa basso nella trasformazione dei componenti qui trattata. Poiché è indipendente dalla trasformazione in frequenza, la seguente trasformazione di un elemento resistivo vale per ogni tipo di filtro: C C γ G G γ R γ R R = γ g g G = γ con g resistenza con g conduttanza

28 Trasformazione passa basso La trasformazione in frequenza dal prototipo passa basso al filtro reale passa basso con frequenza di taglio ω C lungo l asse delle frequenze angolari ω è data da: ΩC Ω = ω ω C Applicando la relazione precedente unitamente al fattore di scala dell impedenza previamente descritto porta alla seguente trasformazione delle componenti: L C Ω C = ωc Ω γ g C = ωc g γ con g induttanza con g capacità Elementi base della trasformazione dal prototipo passa basso al filtro reale passa basso

29 Trasformazione passa alto Per i filtri passa alto con una frequenza di taglio ω C lungo l asse ω, la trasformazione in frequenza è espressa da: ωc C Ω = Ω ω Applicando questa trasformazione in frequenza agli elementi reattivi g nel prototipo passa basso si ottiene la seguente relazione: ω g jωg CΩ C Un elemento induttivo/capacitivo nel jω prototipo passa basso sarà inversamente trasformato nell elemento capacitivo/induttivo del filtro passa alto. La trasformazione dell elemento circuitale è: 1 1 C = con g induttanza ωcωc γg 1 γ L = ωcωc g con g capacità Elementi base nella trasformazione dal prototipo passa basso al filtro passa alto

30 Trasformazione passa banda Si assume che la risposta in frequenza del prototipo passa basso può essere trasformata in quella passa banda con banda passante data da ω ω 1, dove ω 1 e ω indicano le frequenze di taglio inferiore e superiore, rispettivamente. La trasformazione in frequenza, in questo caso, è: Ω ω ω ω C ω1 Ω = con FBW = FBW ω ω ω dove ω indica la frequenza di centro banda e FBW è la banda relativa. Per la frequenza di centro banda possono essere adottate le due seguenti espressioni: ω1 + ω ω = (media aritmetica) ω = ω1ω (media geometrica)

31 Trasformazione passa banda Se si applica la precedente trasformazione agli elementi reattivi g del prototipo passa basso, si ricava: ΩC g 1 ΩCω g jωg jω + FBWω jω FBW che implica la trasformazione di un elemento induttivo/capacitivo g del prototipo passa basso in un circuito LC risonante serie/parallelo nel filtro passa banda. Gli elementi circuitali per la serie di risonatori LC nel filtro passa banda sono espressi da: ΩC LS = γ g FBWω con g induttanza FBW 1 CS = ω ΩC γ g dove il fattore di scala dell impedenza è stato tenuto nella dovuta considerazione.

32 Trasformazione passa banda Analogamente, gli elementi circuitali per i risonatori parallelo nel filtro passa banda sono dati da: ΩC g CP = FBWω γ con g capacità L P FBW = ω ΩC γ g Si osservi che le precedenti espressioni portano a dire che: e ω = 1 ω ( ) LS C S ω = 1 ω ( ) LP C P Elementi base nella trasformazione dal prototipo passa basso al filtro passa banda

33 Trasformazione stop banda La trasformazione in frequenza dal prototipo passa basso al filtro stop banda è realizzata dalla seguente posizione sulla frequenza: ΩC FBW Ω = ω ω ω ( ) ω dove ω ω 1 è la banda passante, mentre ω e FBW sono la frequenza di centro banda e la banda relativa, rispettivamente. Questa forma della trasformazione è opposta a quella della trasformazione passa banda. Gli elementi circuitali per i risonatori LC trasformati nel filtro stop banda sono così: 1 1 CP = FBWω ΩC γ g con g induttanza ΩC FBW LP = γ g ω

34 e Trasformazione stop banda L S C 1 = FBWω Ω S Ω = C FBW C γ g g con g capacità ω γ Si può agevolmente verificare che ω ( ) e. LP = 1 ω C P ω LS = 1 ( ω C S ) Elementi base nella trasformazione dal prototipo passa basso al filtro stop banda

35 Convertitore di ammettenza Un convertitore ideale di ammettenza è una rete a due porte che presenta la caratteristica, valida per ogni frequenza, che se un ammettenza Y è connessa ad una porta, l ammettenza Y 1 vista nell altra porta è data da: Y = 1 J Y dove J è una quantità reale (ammettenza caratteristica del convertitore). Il convertitore di ammettenza da uno sfasamento di ±9 o multipli dispari di esso. I convertitori di ammettenza sono anche noti come convertitori J. In generale, un convertitore ideale di ammettenza ammette la seguente descrizione matriciale: 1 A B ± = jj C D m jj Una trattazione analoga può essere svolta per definire i convertitori di impedenza, anche noti come convertitori K. e

36 Convertitore di ammettenza Si può osservare come un induttore serie con un convertitore di impedenza da entrambi i lati si comporti da condensatore in parallelo, e come un condensatore parallelo con convertitori di ammettenza da entrambi i lati si comporti da induttore serie. Convertitori di impedenza usati per trasformare un induttanza serie in un circuito equivalente con una capacità parallelo. Convertitori di ammettenza usati per trasformare una capacità parallelo in un circuito equivalente con un induttanza serie.

37 Convertitore di ammettenza I convertitori hanno la capacità di controllare i livelli dell impedenza e dell ammettenza variando opportunamente i valori dei parametri K e J. Sfruttare queste proprietà consente di convertire un circuito filtrante in una forma equivalente che meglio si presta per l implementazione a microonde. Prototipo passa basso di filtro modificato con convertitori ammettenza. Filtro passa banda con convertitore ammettenza.

38 Q per elementi reattivi con perdite Fin qui si sono presi in esame solo filtri con componenti prive di perdita, eccetto che per le terminazioni resistive. Nella realtà qualsiasi filtro a microonde presenta elementi dissipativi con fattori di qualità finiti legati alla potenza dissipata in questi elementi. Tale dissipazione parassita può frequentemente portare a sostanziali differenze tra la risposta dei filtri realmente implementate e quella del filtro ideale, progettato con elementi privi di perdite. È quindi opportuno stimare gli effetti della dissipazione sulle perdite di inserzione (S 1 ). In generale, le perdite in un induttore sono rappresentate per convenzione da una resistenza R connessa in serie con una pura induttanza L. Il fattore di qualità in assenza di carico Q u di un induttore è definito dalla relazione: ωl Q u = R

39 Q per elementi reattivi con perdite In modo analogo, un condensatore con perdite può avere un circuito equivalente dove G è una conduttanza connessa in parallelo con una pura capacità C. Il Q u di un condensatore con perdite è definito da: ωc Q u = G Si noti che nelle precedenti definizioni w indica la particolare frequenza alla quale il Q u è misurato. Per un filtro passa basso o passa alto, ω è solitamente la frequenza di taglio; mentre per un filtro passa banda o stop banda, ω è la frequenza centrale. Per risonatori con perdite, è più conveniente utilizzare la rappresentazione tramite circuito equivalente qui riportata, e in questo caso ω è la frequenza di risonanza, ovvero: Come può essere visto per elementi reattivi privi di perdite: Q u.