Risonatori a microonde

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1 Risonatori a microonde Corso di Componenti e Circuiti a Microonde Ing. Francesco Catalfamo 11 Ottobre 6

2 Indice Circuiti risonanti serie e parallelo Fattore di qualità esterno: Q e Risonatori realizzati con linee di trasmissione

3 Introduzione I risonatori a microonde sono largamente utilizzati in una vasta gamma di applicazioni, che comprendono filtri, oscillatori, misuratori di frequenza e amplificatori regolabili. In conseguenza del fatto che la modalità di funzionamento dei risonatori a microonde è molto simile a quella dei risonatori ad elementi concentrati della teoria dei circuiti, si ripresentano le caratteristiche di base dei circuiti risonanti RLC serie e parallelo (*). Di seguito, si illustra la realizzazione di risonatori a microonde mediante elementi distribuiti (come linee di trasmissione). (*) In prossimità della frequenza di risonanza, un risonatore a microonde viene usualmente schematizzato sia con circuito equivalente a parametri concentrati RLC serie che parallelo.

4 Circuiti risonanti serie Un circuito risonante RLC serie ha un impedenza d ingresso pari a: 1 = R+ jωl j ωc e la potenza complessa rilasciata al Z in risonatore è: Circuito RLC serie 1 * 1 1 V 1 1 Pin = VI = I = = I R+ jωl j Z ωc La potenza dissipata dal resistore R è: L energia magnetica media immagazzinata nell induttore L è: in 1 Wm = I L 4 + V - R 1 Ploss = I R I L C

5 Circuiti risonanti serie L energia elettrica media immagazzinata nel capacitore C è: We = Vc C = I 4 4 ω C dove V c è la tensione ai capi del capacitore. La potenza complessa può pertanto essere riscritta come: P = P + jω W W ( ) in loss m e e l impedenza d ingresso riproposta nel seguente modo: ( ) P Ploss + jω Wm W in e = = I I La risonanza si ha quando le energie magnetica ed elettrica medie sono uguali (W m = W e ). L impedenza d ingresso alla risonanza è così: Ploss = = R puramente reale I

6 Circuiti risonanti serie La frequenza di risonanza ω deve (W m = W e ) essere così definita: 1 ω = LC Un altro parametro importante di un circuito risonante è il fattore di qualità Q che è definito come: Q è una misura delle perdite di un circuito risonante: basse perdite = alto Q Alla risonanza si ha: ( energia media immagazzinata) ( energia persa/secondi) W Q = ω = ω Q W ω L 1 P R ω RC m = ω = = loss che mostra come Q cresca al diminuire di R. m + W P l e

7 Circuiti risonanti serie L impedenza d ingresso in prossimità della frequenza di risonanza può essere riscritta, assumendo ω = ω + ω con ω piccolo, come: 1 ω ω = R+ jωl 1 = R+ jωl ω LC ω essendo ω ω = (ω ω )(ω+ω ) = ω(ω ω) = ω ω per ω piccolo, si ha: RQ ω R+ jl ω R+ j ω Questa forma può essere utile per l identificazione di circuiti equivalenti con elementi risonanti distribuiti. Alternativamente, un risonatore con perdite può essere trattato come un risonatore senza perdite la cui frequenza di risonanza ω sia stata sostituita da una frequenza di risonanza effettiva complessa: j ω ω 1+ Q

8 Circuiti risonanti serie ( ) Con R = si ha: Z = jl ω ω, e sostituendo la frequenza complessa: in ω ωl = jl ω ω j = + jl( ω ω) = R+ jl ω Q Q Si consideri la banda del risonatore (BW) a metà potenza. Quando la frequenza è tale che: Z = R in allora la potenza media (reale) al circuito è metà di quella rilasciata alla risonanza. Essendo ω ω = BW, si ha: ( ) R+ jrq BW = R BW 1 = Q ( ω)

9 Circuiti risonanti parallelo Un circuito risonante RLC parallelo ha un impedenza d ingresso pari a: 1 1 V C L R = + + jωc R jωl - e la potenza complessa rilasciata al Z in risonatore è: Circuito RLC parallelo 1 * j Pin = VI = I = V = V j C * + ω Z R ωl La potenza dissipata dal resistore R è: L energia elettrica media immagazzinata nel capacitore C è: 1 We = V C 4 1 in P + loss = I 1 V R

10 Circuiti risonanti parallelo L energia magnetica media immagazzinata nell induttore L è: Wm = IL L= V 4 4 ω L dove I L è la corrente che attraversa l induttore. La potenza complessa può pertanto essere riscritta come: P = P + jω W W ( ) in loss m e e l impedenza d ingresso riproposta nel seguente modo: ( ) P Ploss + jω Wm W in e = = I I La risonanza si ha quando le energie magnetica ed elettrica medie sono uguali (W m = W e ). L impedenza d ingresso alla risonanza è reale: Ploss = = R 1 ω = Frequenza di I LC risonanza

11 Circuiti risonanti parallelo Il Q di un circuito risonante parallelo è dato, alla risonanza, da: W m R Q = ω = = ωrc P ω L loss Questo risultato mostra che il Q di un circuito risonante parallelo aumenta quando R aumenta. In prossimità della risonanza, l impedenza d ingresso può essere resa più semplice considerando che: 1 1 x 1+ x +L ωω 1 ω jωc j ωc j j ωc R jωl R ωl 1 1 R R + j ωc = R 1+ j ωrc 1+ jq ω ω jc( ω ω ) R Z in = 1

12 Circuiti risonanti parallelo Come nel caso del risonatore serie, l effetto delle perdite può essere tenuto in conto sostituendo ω con l espressione della frequenza di risonanza effettiva complessa: j ω ω 1+ Q Gli estremi della banda a metà potenza si hanno alle frequenze ωω = BW, tali che: ( ) in e questo implica: Z = R come nel caso del circuito risonatore serie 1 BW = Q ( ω)

13 Fattore di qualità esterno: Q e Il Q definito in precedenza è una caratteristica del circuito risonante stesso, in assenza di effetti di carico causati dalla circuiteria esterna, ed è pertanto indicato come unloaded Q. In pratica, comunque, un circuito risonante è accoppiato ad altri circuiti, i quali produrranno sempre effetti di carico: loaded Q (Q L ). Se si definisce un fattore di qualità esterno (Q e ), si può distinguere: ωl per circuiti serie RL Qe = RL per circuiti parallelo ωl Il loaded Q può essere così espresso: Circuito risonante Q = + Un circuito risonante connesso ad Q Q Q L e un carico esterno, R L. R L

14 Tabella riassuntiva

15 Risonatori con linee di trasmissione E stato in precedenza sottolineato come elementi concentrati ideali siano di solito non ottenibili alle frequenze delle microonde, così che elementi distribuiti vengano più comunemente adottati per le applicazioni che ricadono in questo intervallo di frequenze. Verrà trattato pertanto l impiego di sezioni di linee di trasmissione con varie lunghezze e terminazioni (solitamente cortocircuito e circuito aperto) per realizzare risonatori a microonde. Si darà particolare importanza alla determinazione del fattore di qualità Q di questi risonatori, realizzati mediante linee di trasmissione con perdite (*). (*) Si osservi che in questo caso: ZL + Z tanh γ = Z Z + Z L tanh γ l l con γ = α+jβ

16 Linea a λ/ in cortocircuito Si consideri una linea di trasmissione con perdite, chiusa in cortocircuito. Alla frequenza ω = ω, la lunghezza della linea è l = λ/ con λ = π/β. L impedenza d ingresso sarà: Z tanh in = Z ( α + jβ ) l che può essere anche posta nella seguente forma: tanhαl+ j tan βl = Z 1+ j tanβltanhαl Si osservi che Z in = jz tanβl se α = (nessuna perdita). Nella pratica, la gran parte delle linee di trasmissione presentano perdite piuttosto basse, così si può assumere che αl << 1 e tanhαl αl.

17 Linea a λ/ in cortocircuito Ponendo ω = ω + ω, dove ω è piccolo, e assumendo un modo TEM lungo la linea si ha: ωl ωl ωl βl = = + v v v p p p dove v p è la velocità di fase della linea. ωπ Con l = λ/ = πv p /ω per ω = ω, si ottiene: βl = π + ω e quindi: ωπ ωπ ωπ tan βl = tan π + = tan ω ω ω Sfruttando questi risultati si ricava che: αl + j ( ωπ ω ) ωπ Z Z αl + j 1+ j ( ωπ ω) αl ω essendo ωαl/ω <<1 Questa equazione è nella forma = R+ jl ω che è l impedenza d ingresso di un circuito risonante RLC serie.

18 Linea a λ/ in cortocircuito Si possono allora ricavare la resistenza, l induttanza e la capacità del circuito equivalente utilizzando le seguenti relazioni: Zπ 1 R= Zαl L = C = ω ω L Questa linea risuona a ω = (l = λ/), e la sua impedenza d ingresso a questa frequenza è Z in = R = Z α l. La risonanza si ha anche per l = nλ/ con n = 1,,3, Il Q del risonatore è dato da: ωl π β Q = = = R α l α Questo risultato mostra che il Q diminuisce al crescere dell attenuazione della linea, in accordo a quanto ci si aspetta.

19 Linea a λ/4 in cortocircuito Un tipo di risonanza parallelo (antirisonanza) può essere ottenuta usando una linea di trasmissione lunga λ/4 e chiusa in cortocircuito. L impedenza d ingresso di una linea lunga l e chiusa in cortocircuito è: tanhαl+ jtan βl 1 jtanhαlcot βl = Z tanh ( α + jβ) l = Z = Z 1+ jtan βltanhαl tanhαl jcot βl Si assume che l = λ/4 a ω = ω, e ω = ω + ω, allora per un modo TEM si ha: ωl ωl π π ω βl = + = + vp vp ω e quindi: π π ω π ω π ω cot βl = cot + = tan ω ω ω In caso di piccole perdite tanhαl αl, pertanto: Z in Z 1+ jα lπ ω ω Z αl+ jπ ω ω αl+ jπ ω ω essendo αlπ ω/ω <<1

20 Linea a λ/4 in cortocircuito L equazione appena ricavata è della stessa forma dell impedenza di un circuito RLC parallelo: 1 Z in = 1 R + j ωc ( ) Si possono allora ricavare la resistenza, la capacità e l induttanza del circuito equivalente utilizzando le seguenti relazioni: Z π 1 R = C = L = αl 4ωZ ω C Questa linea presenta una risonanza di tipo parallelo per l = λ/4, con una impedenza d ingresso alla risonanza pari a Z in = R = Z /α l. Il fattore di qualità Q di questo risonatore è: π β Q = ωrc = = 4α l α con l = π/β alla risonanza.

21 Linea a λ/ in circuito aperto Un risonatore di utilità pratica e che è spesso impiegato nei circuiti in microstriscia consiste di una linea di trasmissione aperta. Un tale risonatore si comporta come un circuito risonante parallelo quando la lunghezza è λ/, o multipli interi di λ/. L impedenza d ingresso di una linea di lunghezza l e in circuito aperto è: ( α β) Z = Z coth + j l = Z in 1+ j tanβltanhαl tanhαl+ j tan βl Come nei casi precedenti, si assume che l = λ/ a ω = ω, e ω = ω + ω, allora: π ω ωπ ωπ βl = π + tan βl = tan e tanhal al ω ω ω

22 Linea a λ/ in circuito aperto Dai precedenti risultati si ricava: Z in Z = αl + j ( ωπ ω ) Si possono allora ricavare la resistenza, la capacità e l induttanza del circuito equivalente risonante parallelo utilizzando le seguenti relazioni: Z π 1 R = C = L = αl ωz ωc Considerando che alla risonanza l = π/β, il Q è dato da: π β Q = ωrc = = α l α Esercizio: Si consideri un risonatore in microstriscia realizzato mediante una linea in microstriscia a 5 Ω, di lunghezza λ/ e chiusa in circuito aperto. Il substrato è spesso.159 cm, con ε r =. e tanδ =.1. Il conduttore è rame. Si calcoli la lunghezza della linea per risonanza a 5 GHz e il Q del risonatore.