Introduzione ai filtri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev

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1 Introduzione ai filtri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev Filtri passivi 1 Filtri passivi 2 1

2 Filtri passivi 3 Filtri passivi 4 2

3 Filtri passivi 5 Filtri passivi 6 3

4 Filtri passivi 7 Filtri passivi 8 4

5 1 1/2 N crescente ω 0 =1 ω Filtri passivi 9 Filtri passivi 10 5

6 Filtri passivi 11 prolungando analiticamente s 21 (s) e s 11 (s) essendo ( s ( s) = 1 s ( s) s ( )) s Filtri passivi 12 6

7 @ 2 2 Filtri Filtri passivi 14 7

8 (poli) j Filtri passivi 15 j j Hp. (R 0 =1) Filtri passivi 16 8

9 s 1 R 0 Filtri passivi 17 Filtri passivi 18 9

10 I filtri di Butterworth servono anche come base per i filtri digitali Filtri passivi 19 L 4 C 4 L 5 C 5 Filtri passivi 20 10

11 Filtri passivi 21 Filtri passivi 22 11

12 Filtri passivi 23 s 21 ( 1 s) = ± E ( s) N Dal filtro passa-basso normalizzato, di cui si sono viste le tabelle, passiamo ora agli altri filtri, tramite delle trasformazioni in ω Filtri passivi 24 12

13 ω n ω Filtri passivi 25 L induttanza diventa una capacità La capacità diventa una induttanza Filtri passivi 26 13

14 N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all infinito. Ora gli zeri sono nell origine. Filtri passivi 27 Filtri passivi 28 14

15 Filtri passivi 29 Filtri passivi 30 15

16 Filtri passivi 31 Filtri passivi 32 16

17 Filtri passivi 33 Filtri passivi 34 17

18 Filtri passivi 35 Progetto di un filtro di Butterworth In fase di progetto vengono fornite come specifiche L ATTENUAZIONE I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura. A partire dalle specifiche occorre determinare il grado del filtro N (il numero dei componenti) la frequenza di taglio f 0 presenti nelle formule di trasformazione. Filtri passivi 36 18

19 α > 0 Filtri passivi 37 piccola attenuazione grande attenuazione 2N f = f 0 α = 3 db rispetto al massimo Filtri passivi 38 19

20 Specifiche Filtri passivi 39 I valori riportati in ordinate si ricavano dall espressione di α α α 20log s 21 p 2 s ( jω) 10 α p /10 21 ( jω) α p α α 20log s 21 s 2 s ( jω) 10 α s /10 21 ( jω) α s Si definisce inoltre la selettività del filtro k = f f p s < 1 Filtri passivi 40 20

21 10 10 α p 10 α s Filtri passivi 41 Filtri passivi 42 21

22 Filtri passivi α p 10 α s In cui e tutto noto tranne N Filtri passivi 44 22

23 Caratteristica più ripida Filtri passivi 45 Filtri passivi 46 23

24 Filtri passivi 47 C L n n C C n n C = = ω 2πf 0 L L n n L = = ω 2πf = 216µ F = 108µ H Filtri passivi 48 24

25 Specifiche k = f f s p α p 10 α s Filtri passivi 49 α = α α = α p s per f = f per f = f p s Filtri passivi 50 25

26 Filtri passivi 51 Filtri passivi 52 26

27 In alternativa si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo 1 f' = e ω' = 1 f ω Le specifiche del passa-basso sono 1 1 ' α α per f f ' = f p p p f' f 1 1 α α s per f s f ' = f' f s Si calcolano N e f 0 per il passa-basso imponendo α = α p α = α s ' per f' = fp ' per f' = f s Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto ω 2πf 0 0 2π s = = = n ' s s f s 1 L C = n 2πf L C n 1 L = 2πf C 0 0 n n 0 1 = ω L 0 n 1 = ω C 0 n p f ' s Filtri passivi 53 Esempio Progettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche α 1dB α 50dB per f 10kHz per f 1kHz Le specifiche del passa-basso corrispondente α 1dB α 50dB f k = f ' p ' s = f f α p 10 k1 = αs 10 log K1 N log k s p /10 /10-4 per f' 10 Hz -3 per f 10 Hz 10 = = 0.1 log( = = / ) = 2.82 N = 3 Filtri passivi 54 27

28 Sovraspecificando in banda passante, si impone α = α s da cui ' 0 per f' = f ' s 6 ' f s 50 = 10log 1 + f f f = = Hz; 0 f 1 1 ' 0 = ω = Hz / / /8.56 Passa-basso normalizzato Passa-alto Filtri passivi 55 Specifiche Filtri passivi 56 28

29 ω ns ω np ω np ω ns Filtri passivi 57 Filtri passivi 58 29

30 Diminuire Aumentare Filtri passivi α /10 p α /10 s 1 1 Filtri passivi 60 30

31 Filtri passivi 61 Filtri passivi 62 31

32 Filtri passivi 63 α α Filtri passivi 64 32

33 Filtri passivi 65 Filtri passivi 66 33

34 Filtri passivi 67 Filtri passivi 68 34

35 Filtri passivi 69 (x) T N = cos[n arccos(x)] essendo cos(jx) = cosh(x) 1 Per x > 1, arccos(x) C, da cui Filtri passivi 70 T (x) = cos[narccos(x)] = cos(a + jb) = cosh(p) R, con a,b,p R N 35

36 Filtri passivi 71 Filtri passivi 72 36

37 Filtri passivi 73 ε Filtri passivi 74 37

38 Filtri passivi 75 il cui numero dipende da N. Il rapporto tra i 2 assi dipende da ε. Im(s) POLI Re(s) Filtri passivi 76 38

39 ε P N,ε è un polinomio con le radici nel semipiano sinistro Filtri passivi 77 [ Per N pari, s 21 (0)=1/(1+ε 2 ) ] Filtri passivi 78 39

40 Filtri passivi 79 Filtri passivi 80 40

41 Specifiche ε (ovvero da α p come vedremo). Filtri passivi 81 Passa-basso normalizzato Si nota che in tutta la banda passante s 2 2 ( ω) s (1) Filtri passivi 82 41

42 . Dim. α p n 2 2 = α( ω p = 1) = 10log(1 + ε TN 2 (1)) = 10log(1 + ε ) α p 1 = Filtri passivi ε Filtri passivi 84 42

43 Filtri passivi 85 α p Filtri passivi 86 43

44 0.83 H 1.68 F 1.68 F Filtri passivi 87 < 0 6( N 1) Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono ottenute con meno componenti (N minore) Filtri passivi 88 44

45 Specifiche Filtri passivi 89 p per il passa-basso era k=f p /f s Filtri passivi 90 45

46 α p α = α α p sono apici, non esponenti Filtri passivi 91 Filtri passivi 92 46

47 Specifiche Filtri passivi 93 Filtri passivi 94 47

48 Filtri passivi 95 Filtri passivi 96 48

49 Filtri passivi 97 Utilizzando un Chebyshev ed un Chebyshev inverso si hanno i FILTRI ELLITTICI. Essi permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande, col n. minore di componenti. Filtri passivi 98 49