Richiami sulla progettazione dei filtri a microonde a banda stretta

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1 Richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta.. Definizione delle specifiche di proetto e approssimazioni polinomiali della caratteristica a proettazione di una struttura filtrante a microonde a banda relativa stretta può essere opportunamente ricondotta alla ricerca di un insieme di risonatori ed accoppiamenti a microonde il cui circuito euivalente approssimi, in corrispondenza della freuenza centrale, uello di una struttura filtrante a parametri concentrati dimensionata per soddisfare le specifiche di proetto. Una struttura filtrante a due bocche a costanti concentrate può essere proettata in modo da presentare un coefficiente di trasmissione S ( j ) esprimibile come ω rapporto di due polinomi N ( jω) e D ( jω). Definendo la perdita di trasduzione A come il rapporto tra la potenza disponibile al eneratore e la potenza ceduta al carico, possiamo scrivere che D( jω) A (.) S ( jω) N( jω) Nel caso di un coefficiente di trasmissione in cui sono presenti solo n poli, N ( jω) si riduce ad una costante ed A diventa una funzione polinomiale di rado n. Nel caso di andamento passa-basso ed elementi a parametri concentrati, uesto tipo di funzione di trasferimento è uella che si ottiene con una classica struttura a scala di capacità e induttanze come uella in fiura. 7

2 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta (Fi..) Rete a scala Filtro passabasso Nel caso di andamento passabanda la struttura si trasforma nella struttura (Fi..) Rete a scala Filtro passabanda Un filtro ideale dovrebbe realizzare una perdita di trasduzione A nulla in banda passante ed infinita in banda attenuata. Questa caratteristica non è fisicamente realizzabile, anche con circuiti ideali privi di perdite, perciò si definiscono una banda passante entro cui A Amax ed una banda arrestata per cui AC A, dove A max e A C sono la massima perdita di trasduzione in banda e la minima attenutazione fuori banda, normalmente espressi in decibel. Solitamente nella pratica, invece della perdita di trasduzione massima si assena il valore minimo delle perdite di ritorno A R accettabili in banda. Questo euivale ad assenare il modulo massimo del coefficiente di riflessione Γ in banda passante, dato che A R (.) Γ S max 8

3 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta Dato che si assume sempre di operare con circuiti ideali senza perdite, rimandando ad una successiva fase di analisi la valutazione dell entità delle perdite dovute a effetti dissipativi, Γ max è univocamente leato alle perdite di trasduzione massime Amax dalla relazione eneretica Γ + A (.3) A può uindi essere un ualunue polinomio che rispetti i vincoli imposti in banda passante ed in banda attenuata. Nel caso più semplice in cui A sia una funzione polinomiale, esistono espressioni analitiche in forma chiusa che consentono di approssimare tanto melio le caratteristiche di un filtro ideale uanto più elevato è l ordine della funzione polinomiale scelta. In particolare sono note due espressioni: una con andamento sempre monotono e massima piattezza in banda passante o tipo Butterworth ; l altra con oscillazioni tutte uuali e limitate in banda passante e andamento monotono fuori banda o tipo Chebyshev. Per la caratteristica tipo Butterworth, la perdita di trasduzione A è definita come A n + x (.4) ε dove ε A e x, per un filtro passabasso con massima freuenza della banda max passante Ω, è pari a x ω (.5) Ω 9

4 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta mentre per un filtro passabanda di pulsazione centrale ω e banda passante Ω, è pari a ω ω ω x (.6) Ω ω ω ordine minimo n del filtro, pari in un passabanda al numero minimo di risonatori necessari perché la caratteristica scelta possa soddisfare alle condizioni in banda passante ed in banda attenuata, è definito dalla diseuazione n A C db R db (.7) o + A ( x ) C dove il valore x C rappresenta uel valore di x ( ω ) per cui ( x C ) AC pulsazione alla uale inizia la banda attenuata. A, cioè la Per la caratteristica tipo Chebyshev, la perdita di trasduzione A è definita come ( ) A (.8) + ε Tn x dove T n ( x) sono i polinomi di Chebyshev di ordine n definiti come T n T n ( x) cos[ n arccos( x) ], per x (.9) ( x) cosh[ n arccos( x) ], per x (.) ordine minimo n del filtro in uesto caso è definito dalla diseuazione

5 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta n A + A C db R db (.) o ( x ) C + 6 Rispetto alla caratteristica di Butterwoth, uella di Chebyshev consente di soddisfare le specifiche con un numero minore di elementi, a prezzo di una oscillazione residua in banda... Definizione del filtro passabasso prototipo uso di ueste due funzioni per approssimare la caratteristica ideale del filtro ha il vantaio che per esse è ià stato risolto il proetto del filtro nel caso di alcune strutture circuitali, tra le uali le strutture a scala ià richiamate. Per ueste strutture sono disponibili formule o addirittura tabelle precalcolate che consentono, una volta assenati i parametri di proetto, di calcolare tutte le induttanze e le capacità per un filtro passabasso o passabanda. Queste formule si riferiscono al caso particolare di un filtro a scala passabasso normalizzato con resistenza di eneratore unitaria, n elementi a scala, larhezza di banda Ω unitaria e resistenza di carico r, definito filtro passabasso prototipo. Da uesto filtro è poi facile passare ad un filtro di resistenza e larhezza di banda ualsiasi. I valori dei parametri del filtro prototipo passabasso, cioè rispettivamente il valore della capacità dei condensatori se è dispari o il valore delle induttanze se è pari, ed il valore della resistenza normalizzata di carico r, nel caso di caratteristica di tipo Butterwoth sono dati da ε (.) n a mentre nel caso di caratteristica di tipo Chebyshev valono

6 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta a, (.3) γ 4a a (.4) b dove γ, a e b valono γ sinh ln n + ε + ε + (.5) ( ) π a sin n (.6) b γ π + sin (.7) n Mentre le caratteristiche di un filtro di tipo Butterworth imponono sempre che sia simmetrico, nel caso di un filtro di tipo Chebyshev uesto avviene solo per n dispari, mentre per n pari il filtro non è più simmetrico e le resistenze di carico normalizzate in inresso ed in uscita della rete a scala sono diverse..3. Filtro enerico a scala Noti i valori del filtro passabasso prototipo, i valori per un filtro passabasso enerico avente la stessa struttura ma larhezza di banda Ω rad/s e resistenza R del eneratore sono ricavati semplicemente dalle relazioni R n rr, (.8)

7 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta C ( dispari), (.9) Ω R R ( pari) (.) Ω Una volta ricavato il proetto del filtro passabasso sono facilmente ricavabili anche i valori della struttura a scala di fiura., avente la stessa caratteristica e freuenza centrale ω ωω, dove ω e ω sono li estremi della banda passante Ω ω ω nella uale la perdita di trasduzione A si mantiene inferiore al valore massimo di proetto A max. Il filtro passabanda si ottiene assenando alle capacità C dei risonatori parallelo ed alle induttanze dei risonatori serie rispettivamente le capacità e le induttanze del filtro passabasso. I valori deli altri elementi dei risonatori si ricavano ricordando che tutti i risonatori devono avere la stessa freuenza di risonanza, coincidente con la freuenza centrale ω del filtro. C A differenza del filtro passabasso, il filtro passabanda ha un andamento della caratteristica della perdita di trasduzione con una simmetria eometrica rispetto alla freuenza centrale, che può essere considerata approssimativamente aritmetica solo per bande relative piccole, dell ordine di ualche punto percentuale..4. Trasformazione della struttura passabanda a scala in una struttura ad invertitori di impedenza a risonatori tutti dello stesso tipo a struttura a scala può essere ulteriormente trasformata in altre confiurazioni che si prestino maiormente ad essere utilizzate come circuito euivalente di strutture filtranti a parametri distribuiti. Utilizzando le proprietà deli invertitori di impedenza, si può trasformare il circuito a scala di un filtro passabanda con risonatori sia parallelo che serie in uno con 3

8 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta risonatori tutti dello stesso tipo, in particolare tutti risonatori serie. Questa trasformazione è particolarmente utile per la realizzazione di filtri in uida, dove iridi e tratti di uida sotto il talio sono modellizzabili, almeno alla freuenza centrale, oltre che come invertitori di impedenza anche come induttanze tra due tratti neativi di uida, i uali andranno ad accorciare il tratto di uida che realizza il risonatore. inserimento di invertitori di impedenza introduce un ulteriore parametro arbitrario, il parametro di inversione, che consente una certa libertà nella scelta del livello di impedenza dei vari risonatori e della resistenza del eneratore di carico. Perché i due circuiti siano euivalenti è necessario che tutti i risonatori, sia serie che parallelo, abbiano la stessa pulsazione ω di centro banda. Il parametro di inversione, + dell invertitore di impedenza tra il -esimo ed il +-esimo risonatore, inclusi li invertitori verso li inressi, sono funzione delle capacità e delle induttanze dei risonatori, dell impedenza di eneratore R, dell ampiezza di banda Ω e dei parametri e r del filtro prototipo passabasso. Nel caso più semplice di risonatori tutti serie e rete simmetrica per cui R R n, (.) s, + s, n+, (.) C p, + C p, n+, (.3) ω (.4) p, C p, s, Cs, (Fi..3) Struttura con Invertitori e Risonatori del medesimo tipo 4

9 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta I valori dei parametri di inversione deli invertitori di impedenza sono pari a Ω, (.5) s,, R Ω s, s, +, +, per.. n (.6) +, + n, n+, con.. n (.7) I radi di libertà introdotti dali invertitori consentono di fissare, nel modo più comodo per il proetto, i parametri R, R n e, ricavando conseuentemente i s parametri di inversione, +, oppure in alternativa fissare i, + e ricavare le induttanze dei risonatori. Questi radi di libertà consentono inoltre di ottenere una struttura simmetrica con R Rn anche nel caso di filtri con caratteristica di Chebyshev e numero n pari di elementi. Nel caso di risonatori tutti uuali, il primo approccio consente ad esempio di misurare l induttanza del circuito euivalente del risonatore che si sta utilizzando e concentrare suli invertitori i reuisiti di proetto..5. Trasformazione della struttura passabanda a scala in una struttura con risonatori tutti dello stesso tipo: proettazione tramite coefficiente di accoppiamento e fattore di merito esterno Una ulteriore trasformazione è rappresentata dall utilizzo dei coefficienti di accoppiamento k, + invece dei parametri di inversione, + per descrivere li invertitori di impedenza e dell uso del fattore di merito esterno Q ext per rappresentare li effetti delle resistenze di eneratore e di carico sui risonatori terminali. 5

10 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta (Fi..4) Struttura con invertitori descritti tramite coefficienti di accoppiamento e fattore di merito esterno Il coefficiente di accoppiamento k è definito come il rapporto tra l impedenza mutua tra due circuiti normalizzata alla media eometrica delle impedenze proprie dei due circuiti. Dato che sia un invertitore di impedenza che una mutua induttanza possono essere rappresentati con un circuito euivalente di induttanze a T, ne conseue che le due descrizioni sono indifferenti. 6

11 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta (Fi..5) Corrispondenza tra coefficiente di accoppiamento e parametro d inversione Dall euivalenza circuitale mostrata in fiura.5 è possibile derivare le espressioni per i coefficienti di accoppiamento k dalle espressioni dei parametri di inversione, normalizzando rispetto alle impedenze dei risonatori accoppiati dall invertitore di impedenza, che nel caso specifico di strutture simmetriche diventano 7

12 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta k, +, + s, ω s, + ω s,, + ω s, +, con.. n (.8) k s, s, +, + + Ω, + ωs, ωs, + ωs, ωs, + ω Ω +, con.. n (.9) Il fattore di merito esterno è definito come il fattore di merito del risonatore terminale dovuto alla sola perdita imposta dalla resistenza vista in inresso. Il valore del Q ext può essere ricavato ancora una volta dalla struttura ad invertitori di impedenza. a resistenza del eneratore R viene trasformata dall invertitore di inresso nell impedenza R R Ωs,. Dalla definizione di fattore di merito si ricava ω s, ω Qext (.3) R Ω Si può notare come, in uesto caso, dalle formule siano scomparsi i riferimenti espliciti alle induttanze dei risonatori e alle impedenze del eneratore e di carico, rendendo non necessario il loro calcolo esplicito, ma sia comparsa la freuenza di risonanza, ad esse leata. Nella pratica comunue la struttura che realizza l invertitore di impedenza è luni dall essere ideale ed il valore del coefficiente di accoppiamento realizzato è spesso influenzato dal tipo di risonatore che accoppia e varia al variare della freuenza, come il dall impedenza di eneratore o carico. Q ext è influenzato dal risonatore e 8

13 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta Questa ulteriore trasformazione è vantaiosa uando è aevole ricavare direttamente il coefficiente di accoppiamento k e il fattore di merito esterno Q ext..6. Calcolo del coefficiente di accoppiamento Per definizione il coefficiente di accoppiamento è definito come il rapporto tra l impedenza mutua tra due circuiti normalizzata alla media eometrica delle impedenze proprie dei due circuiti, che, nel nostro caso vale ω k ω ω X () X () e e (.3) Nel caso di due circuiti risonanti accoppiati, anche non identici, è possibile ricavare il valore del coefficiente di accoppiamento direttamente sulla struttura in analisi calcolando le freuenze di risonanza della struttura accoppiata che presenti prima un piano manetico e poi uno elettrico luno il piano che separa i due risonatori. (Fi..6) Circuito euivalente dell invertitore di impedenza Se consideriamo il circuito in fiura.6, composto da due circuiti risonanti diversi accoppiati maneticamente, possiamo riscrivere l invertitore di impedenza in una rete a T di induttanze. 9

14 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta (Fi..7) Spostamento della freuenza di risonanza ad opera deli accoppiamenti Inserendo prima un piano manetico perfetto (circuito aperto) e poi un piano elettrico perfetto (corto circuito) si ottenono uattro circuiti risonanti, ciascuno con una propria freuenza di risonanza pari a: f e π C ω (.3) f h π + C ω (.33)

15 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta f e π C ω (.34) f h π + C ω (.35) Riscrivendo la definizione di coefficiente di accoppiamento come k X C C ω ω ( ) () X C e e ( C ) ( ) (.36) risolvendo le precedenti rispetto a C, C, C, ω C ω nell espressione del coefficiente di accoppiamento si ottiene che [] e sostituendo k ( f e f h ) ( f e f h ) ( f + f ) ( f + f ) (.37) e h e h Con un percorso analoo si può calcolare il coefficiente di accoppiamento di due circuiti risonanti accoppiati elettricamente, dalla definizione k Cm C C, ottenendo la stessa espressione per k, seppur con ( ) neativi. f che assume valori e f h Se i due risonatori sono identici l espressione si riduce a []

16 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta k f f (.38) f + f e e h h valida sia per accoppiamenti manetici che elettrici che misti [3]. Per accoppiamenti di tipo elettrico k assume valori neativi. Dato che, nel caso di accoppiamenti misti, chiamando m e circuiti risonanti uuali, risulta C m rispettivamente l induttanza mutua e la capacità mutua tra due k mix m Cm (.39) C accoppiamenti misti tendono a ridurre in valore assoluto l accoppiamento complessivo. Utilizzando un simulatore elettromanetico, nel caso di due risonatori identici che presentino una simmetria rispetto all elemento di accoppiamento è relativamente facile calcolare li autovalori della struttura prima con un piano elettroconduttore perfetto e poi con un piano manetoconduttore perfetto, ad un costo, in termini computazionali, pari a uello di calcolare due volte li autovalori del sinolo risonatore non accoppiato..7. Calcolo della freuenza centrale di due risonatori accoppiati In un circuito ideale, l elemento che accoppia due risonatori sposta le freuenze di risonanza f e e f h in direzioni opposte rispetto dalla freuenza di risonanza del sinolo risonatore f, senza modificarla. In una struttura reale, l elemento di accoppiamento potrebbe modificare la cavità in modo tale che lo scostamento delle freuenze f e e spostamento della f. f h sia frutto sia dell accoppiamento che di un contemporaneo

17 capitolo richiami sulla proettazione dei filtri a microonde a banda stretta (Fi..8) Spostamento delle freuenze manetica e elettrica Se diseniamo due circuiti risonanti serie accoppiati uuali, uando la mutua induttanza M è nulla, onuno dei due circuiti risonanti identici, risuona alla freuenza f π C. Ripetendo uanto ià svolto per il calcolo del coefficiente di risonanza in uesto caso particolare, otteniamo che le freuenze di risonanza dei due circuiti che si ottenono inserendo prima un piano elettrico perfetto e poi uno manetico sono f e (.4) π C MC f h (.4) π C + MC riscrivendo l espressione della risonanza a vuoto come ( ) C πf, sostituendola nelle due espressioni precedenti, risolvendo le due euazioni rispetto ad MC, uualiando le due espressioni e risolvendo rispetto a f, si ottiene f f f (.4) e h ( f + f ) e h 3