Macchine ricorsive lineari: alcune applicazioni

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Graziana Antonelli
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1 Macchine ricorsive lineari: alcune applicazioni Marcello Colozzo Le macchine ricorsive lineari hanno un costo computazionale molto basso, giacchè il corrispondente sistema dinamico a tempo continuo è immediatamente integrabile. Vale comunue la pena esaminare alcuni comportamenti tipici. Consideriamo un condensatore di capacità C collegato in serie a una resistenza di carico e a un generatore di segnale di ingresso V in (t), come mostrato nello schema di fig. 1. Assumiamo un segnale di ingresso costante: V in (t) = V 0 U (t t 0 ), (1) dove V 0 è una costante, mentre U (t) è la funzione gradino unitario: { 1, se t t0 U (t t 0 ) = 0, altrimenti Figura 1: Serie C. La differenza di potenziale ai capi del condensatore [1] è: V C (t) = (t) C, dove (t) è la carica elettrica al tempo t sulle armature del condensatore. La legge di Ohm ci fornisce la caduta di tensione ai capi della resistenza, ovvero il segnale di uscita: dove i (t) = d dt V out (t) = i (t), è l intensità di corrente. Applicando l euazione alla maglia (legge di Kirchoff): V C (t) + V out (t) = V in (t), t [t 0, + ) Cioè: C + = V 0, t [t 0, + ) La (1) implica (t 0 ) = 0 onde la carica elettrica al tempo t sulle armature del condensatore è la soluzione del problema di Cauchy: { = 1 P : C + V 0 (t 0 ) = 0, (2) Il circuito in esame è, uindi, un sistema autonomo lineare = α 0 + β 0, essendo α 0 = 1 0, β 0 = V 0 > 0. L unica soluzione del problema (2) è: [ ] (t) = M 1 e 1 τc (t t 0), (3) 1 C <

2 def def dove τ c = C > 0 e M = V 0 C > 0. La soluzione del problema di Cauchy (2) è, dunue, una salita esponenziale; la grandezza τ c ha le dimensioni di un tempo e si chiama costante di tempo del circuito. La grandezza M è la carica elettrica a regime. Infatti: lim t + (t) = M Ad esempio, per = 5 Ω, C = 1µF abbiamo una costante di tempo τ c = s. Se tale circuito è alimentato da una f.e.m. V 0 = 10 V, otteniamo l andamento riportato in fig t Figura 2: Andamento della carica elettrica (t) sulle armature del condensatore. Il circuito viene chiuso all istante iniziale t 0 = 0. Il tempo è espresso in secondi, mentre la carica elettrica in Coulomb. L orbita di uesto sistema è il seguente luogo geometrico: { (, ) 2 0 M, = 1 C + V } 0, cioè il segmento della retta di euazione = 1 τ c + V 0, come illustrato in fig 3, utilizzando i precedenti dati numerici. Da tale diagramma vediamo che il sistema evolve deterministicamente dallo stato iniziale ( V 0, 0 ) allo stato finale (0, M ). Si noti che uest ultimo viene raggiunto a t = +. In simboli: ( V0, 0 ) (0, M) evoluzione determnistica A uesto punto appare chiaro il significato fisico della costante di tempo τ c : tale grandezza fissa la scala dei tempi del transitorio. Infatti: (t τ c ) M L intensità di corrente è: i (t) = d dt (t) = i Me t/τc, (4) def dove i M = V 0. Cioè, i (t) è un esponenziale smorzato con costante di tempo τ c. In fig. 4 riportiamo l andamento dell intensità di corrente in funzione del tempo per la serie C vista in precedenza. La tensione in uscita è: V out (t) = i (t) 2

3 V 0 M Figura 3: Traiettoria nello spazio delle configurazioni per un circuito C. La derivata si annulla per = M, che è il valore di regime della carica elettrica: raggiunto tale valore (a t + ) la carica elettrica non varia, per cui la derivata si annulla. i i M t Τ c Figura 4: Andamento dell intensità di corrente i (t) = V 0 e t/τc. 3

4 Tenendo conto della (4): dove V M = i M. Infine, la tensione ai capi del consentore è: ( V C (t) = V 0 1 e t/τ c ) A regime troviamo: V out (t) = V M e t/τc, (5) V out (t τ c ) = 0, V C (t τ c ) = V 0 Per discutere il comportamento della corrispondente macchina ricorsiva lineare M, è conveniente adimensionalizzare il problema passando dalle variabili (t, ) alle variabili (x, ξ) ovvero tempo adimensionale e carica adimensionale: { x = t τ c ξ = M, cosicchè il problema (2) si scrive: P : { ξ = ξ + 1 ξ (0) = 0 (6), (7) dove l apice rappresenta la derivazione rispetto a x. Se F (ξ) = ξ +1, la corrispondente funzione di trasferimento di M è f (x) = x + F (x) = (1 )ξ + ξ, ed è uesta che va iterata, ottenendo l orbita riportata in fig. 5, da cui vediamo che M parte dallo stato di carica iniziale nulla (ξ = 0) per convergere asintoticamente verso lo stato ξ = 1, i.e. = M. 1.0 Ξ n Ξ n Figura 5: Diagramma di König-Lemaray della macchina ricorsiva che simula il processo di carica di un condensatore in serie ad una resistenza. La grandezza ξ è la carica elettrica adimensionalizzata M. 4

5 IFEIMENTI BIBLIOGAFICI iferimenti bibliografici [1] Edmininster J.A, Circuiti elettrici. Etas 5

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