Esperienza n. 6 Carica e scarica di un condensatore. Misura della capacità di un condensatore

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1 Il metodo dell elettrometro può essere utilizzato per misure di resistenze o in alternativa di capacità (a seconda che si usi R nota o nota). In particolare l utilizzo dell elettrometro consente di misurare valori di resistenze molto elevati (> 3 MΩ). Nel caso di resistenze così elevate l uso dell elettrometro (in luogo del voltmetro) è inevitabile affinché il condensatore non si scarichi attraverso lo strumento di misura anziché attraverso la resistenza. Nell esperienza applicheremo lo stesso principio di misura, ma non potendo utilizzare elettrometri, utilizzeremo il voltmetro e quindi resistenze nel circuito molto minori di R = MΩ in ingresso al tester. onsidereremo valori noti di resistenze al fine di misurare la capacità di un condensatore Misureremo la capacità studiando le fasi transitorie di carica e scarica del condensatore e misurando la costante di tempo che caratterizza questi processi. Applicheremo inoltre il metodo del confronto utilizzando un condensatore di capacità nota e misurando gli intervalli di tempo impiegati dal condensatore incognito e da quello di capacità nota per scaricarsi da un valore di tensione iniziale ad uno finale prefissati.

2 Strumentazione Generatore di fem in continua Bread board Resistenza da 68 KΩ ± % condensatori elettrolitici (attenzione al verso in cui li montate nel circuito): il condensatore di cui si deve misurare la capacità ha valore nominale =. mf ±% e l altro da usare per il metodo del confronto vale = mf ±% cronometro digitale con precisione / s commutatore: interruttore con 3 posizioni possibili per inserire (A), disinserire il generatore (B) nel circuito. Nella posizione il circuito è aperto multimetro digitale tesso potenziale Stesso potenziale orto circuito La bread board contiene molte strisce metalliche nel supporto di plastica che connettono i buchi (sockets) in cui possono essere inseriti i componenti. Le connessioni tra componenti si ottengono connettendo I piedini alla stessa striscia metallica (stessa riga o colonna di buchi nella matrice). strisce (in genere quella superiore ed inferiore) si possono connettere all alimentatore

3 Il circuito rappresentato può funzionare in modalità: ) quando il deviatore è in posizione A il condensatore viene caricato dal generatore L equazione del circuito è ε = R + = R i + q/ con i = dq/dt dq/(q-ε) = -dt/r q t dq ln [(q-ε)/(-ε)] = -t/r q(t) = ε (-e -t/r ) = dt q cε R La tensione che si misura ai capi del condensatore al variare del tempo è = q(t)/ = ε (-e -t/r ) dove τ = R è la costante di tempo del circuito (in teoria si dovrebbe attendere un tempo infinito poiché per t q = ε, ma dopo circa 5τ il condensatore è quasi del tutto carico,) In fase di carica conviene misurare la tensione ai capi del condensatore e poi A R calcolare quella ai capi della resistenza B R = R i = ε e -t/r infatti è possibile cambiando variabili linearizzare R i la curva rappresentando in scala ε semilogaritmica (t, R ), infatti ln R = ln ε (t/τ) 3

4 ) quando il deviatore è in posizione B il generatore viene escluso e il condensatore si scarica attraverso la stessa resistenza: l energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore si dissipa attraverso la resistenza L equazione del circuito è q t dq R i = q/ con i = -dq/dt dq/q = -dt/r = dt q R con q = ε ln [q/(ε)] = -t/r q(t) = ε e -t/r La tensione che si misura hai capi del condensatore al variare del tempo è = q(t)/ = ε e -t/r (dopo circa 3τ il condensatore è quasi del tutto scarico, sebbene in teoria per t q ) In fase di scarica conviene misurare la tensione ai capi del condensatore A R = q(t)/ = ε e -t/r infatti è possibile cambiando variabili linearizzare B la curva rappresentando in scala R i semilogaritmica (t, ), infatti ln = ln ε (t/τ) ε q 4

5 arica e scarica di un condensatore e linearizzazione in scala semilogaritmica Rappresentazione delle dipendenze funzionali 5

6 Il metodo del confronto consente di misurare facendolo scaricare attraverso la resistenza R e confrontando questo processo con quello di scarica di un condensatore noto. Nel processo di scarica di tra valori di tensione e : t τ = ( t ) = e = ( t ) = e t Facendo i logaritmi: ln ( / ) = Δt /(R ) = Δt /[R ln( / )] τ t / τ = e dove Δt = t t è l intervallo Δ di tempo in cui la tensione ai capi di passi da a E analogamente per il condensatore : = Δt /[R ln( / )]. Si deve fare in modo che i valori di tensione tra cui si lascia scaricare i condensatori siano gli stessi (es., = e, = ), ma purtroppo ciò è possibile entro gli errori di misura. Assumendo che / = /, poichè è noto, misurando gli intervalli temporali = Δt / Δt * (si noti che l errore dominante è quello su ) 6

7 B A arica e scarica del condensatore in pratica =aperto A=carica B=scarica + R ε Segno - - 7

8 arica e scarica del condensatore in pratica: dopo aver montato il circuito sulla bread board si regola il commutatore in modo che il generatore, che fornisce la tensione ε = (verificarne il valore col tester), sia connesso al circuito (posizione A) Si misura ai capi del condensatore per 8 min ad intervalli regolari di s utilizzando il cronometro e si calcola R = ε Successivamente si sposta il deviatore in posizione B (isolando il generatore) per misurare per 8 min ad intervalli regolari di s durante la scarica di. Per studiare la scarica si deve misurare il tempo a partire da ε = (prima di commutare su B, si aumenta l alimentazione ε a valori > quando il deviatore è in posizione A. Si commuta su B e si comincia la misura col cronometro quando = ) Si trascuri la corrente assorbita dal voltmetro grazie alla sua elevata R ingresso = MΩ i A B R R Se R >> R i ~i R i ε i i poiché i ètrascurabile 8

9 arica Scarica t (s) (olt) R =ε- (olt) ln R (olt) ln Dalla misura di τ = R si calcola (nota R) il valore di Metodo del confronto in pratica: Si misura l intervallo di tempo in cui la tensione ai capi di e di decresce da a Nelle misure di tempo conviene considerare come errore non solo la precisione del cronometro ma anche il tempo di reazione dello sperimentatore (es..5 s) Si faccia la media pesata dei 3 risultati 3 i i i = Δ = ± 3 3 i = Δ i i = Δ i 9

10 Esempio: scarica del condensatore Dal fit lineare: y=ax+b con A = logε e B = -/τ e σ(ε) = εσ(a) e σ(τ) = σ(b)/b ε= e A = e(.3±.66 e-3) = 9.99±.6 B = -/τ = ± s - τ= 74.5 ±.7 s = 566.5± 5.7 μf (domina errore su R solo %!!) (olt) Dati urve attese per τ exp Da confrontarsi con i valori nominali su τ exp = R = 68 3 * -6 =49.6±3s (domina l incertezza su di %) e quindi exp = ± 44 μf In conclusione: mentre il metodo del confronto è limitato dalla tolleranza del condensatore noto, il metodo della carica e scarica è limitato dal tempo di risposta dello sperimentatore e dalla tolleranza della resistenza ln (olt)