Fig.1 Schema circuitale del metodo VA: (a) inserzione a valle; (b) inserzione a monte

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1 MISURE II ESERCITAZIONE DI LABORATORIO A: METODO VOLTAMPEROMETRICO PER LA MISURA INDIRETTA DI RESISTENZA RILIEVO DELLA CARATTERISTICA V-I (LEGGE DI OHM) PREMESSA: Note sul Metodo Voltamperometrico Il Metodo Voltamperometrico prevede la misura contemporanea della corrente e della tensione ai capi di un resistore in esame, per misurarne indirettamente il valore di resistenza. Per questo si possono impiegare due schemi di inserzione degli strumenti, mostrati nelle Figg.a-b. Fig. Schema circuitale del metodo VA: (a) inserzione a valle; (b) inserzione a monte In pratica, però, la resistenza interna di un amperometro è diversa da zero e quella di un voltmetro diversa da infinito. Non è possibile quindi leggere contemporaneamente la tensione ai capi della resistenza e la corrente in essa inviata. Infatti nello schema di Fig.a o del voltmetro a valle: - il voltmetro misura effettivamente la tensione ai morsetti di R x ; - l'amperometro misura non la corrente che attraversa la R x, ma la somma di questa più la corrente assorbita al voltmetro; nello schema di Fig.b o del voltmetro a monte: - l'amperometro misura la corrente che effettivamente fluisce nella R x ; - il voltmetro misura non la CdT (caduta di tensione) ai capi di R x, ma la somma di questa più la caduta di tensione ai capi dell'amperometro. In entrambi i casi si commette perciò un errore sistematico (infatti si può calcolare, in modulo e segno) nel ritenere la resistenza incognita di valore pari al rapporto tra le indicazioni dei due strumenti. Precisamente, con lo schema del voltmetro a valle si ottiene per R x un valore più piccolo di quello effettivo, mentre con lo schema del voltmetro a monte un valore più grande. Naturalmente oltre all'errore sistematico vi è da considerare quello casuale dovuto agli errori di indicazione dei due strumenti, la maggiorazione del cui valore assoluto, come è noto, caratterizza l incertezza. Il metodo è bene impiegato quando l'errore sistematico è trascurabile rispetto all incertezza dovuta agli strumenti. Se questo non accade, poiché l errore sistematico è noto, si può correggere opportunamente la misura. In definitiva, il metodo porta ad una misura di resistenza caratterizzata dalla sola incertezza dovuta agli strumenti utilizzati (voltmetro ed amperometro). - Limiti di impiego del metodo VA: Il limite inferiore, all'incirca di qualche ohm, è determinato dal peso delle resistenze di contatto (circa 0, 0,3 Ω) sulla resistenza da misurare; il limite superiore,

2 senza dover ricorrere ad accorgimenti particolari, è dell'ordine di 0 5 Ω, ed è imposto dai problemi dovuti alla influenza delle correnti di dispersione. - Limiti di precisione del metodo VA: Una volta minimizzati (o corretti gli errori sistematici di consumo), tali limiti sono legati all incertezza relativa, somma delle incertezze relative degli strumenti che si adoperano. Pertanto sono raccomandabili strumenti con incertezza adeguatamente bassa, altrimenti di deve ricorrere a metodi che assicurano una precisione più spinta. Prova di Laboratorio da effettuare (Esercitazione ) La prova, da effettuare e completare in più momenti, ha un duplice scopo: misurare indirettamente il valore di una resistenza, adoperando due strumenti comuni di laboratorio, come il voltmetro e l amperometro; verificare la linearità della caratteristica V-I del resistore in prova (verifica della legge di Ohm), adoperando la regressione lineare (metodo dei minimi quadrati). Il metodo, utilizzato quando non si può disporre dello strumento specifico (ohmmetro) per la misura diretta di resistenza, è ben impiegato, come specificato nella nota introduttiva, se non è inficiato da errori di consumo confrontabili con l incertezza di misura finale, ossia se l errore di consumo (sistematico) è trascurabile (ossia minore di un decimo) rispetto all incertezza U R. Nel corso della prova sarà effettuata una serie di N= misure contemporanee di tensione e corrente (rispettivamente V m e I m ) ai capi del resistore, effettuandone, per ogni punto di misura, il rapporto R m =V m /I m (valore della resistenza misurato indirettamente), caratterizzato nel caso peggiore come noto dalle incertezze relativa ed assoluta, rispettivamente: u R = u V + u I e U = R ( u + u ) R m V I I risultati della prova saranno riportati, unitamente allo schema circuitale ed alle caratteristiche d incertezza, in opportune tabelle e rappresentazioni grafiche, che evidenzieranno la migliore stima del valore della resistenza, ottenuta come media dei rapporti R =V /I (con =,,,N) sopra citati: Rm = N N R = V N N = = I scritta con un numero di cifre significative congruente, in base all incertezza combinata conseguente. Tale incertezza sarà derivata nel caso più probabile (siamo nel caso di 4 variabili sicuramente indipendenti, in quanto usiamo strumenti diversi voltmetro e amperometro su punti diversi delle rispettive scale), pertanto scriviamo la formula di calcolo dell incertezza combinata standard (che seguirà una gaussiana, secondo il Teorema del Limite Centrale), a partire dalle incertezze standard delle singole misure di tensione e corrente (supponendo che gli errori complessivi di voltmetro e amperometro seguano una distribuzione uniforme) nel caso N=: U V U Rm Rm I V Rstd, V I = V I = I I U = + = U + U =

3 U V U I R = V I = + 3 Nella formula precedente si può anche considerare (più correttamente) che se si usano due strumenti digitali, in realtà le incertezze complessive hanno le due componenti di lettura e di portata e quindi in generale la distribuzione d errore assume la forma trapezoidale. Pertanto le incertezze standard nelle misure di tensione e corrente si possono scrivere come: U = U + U ; U = U + U V, std LV, 3 PV I std LI 3 PI e quindi la formula di cui sopra si può scrivere, senza approssimazioni semplificative, come: U + U U + U LV PV LI PI U = R + R, std 3 = V I Se si vuole esprimere l incertezza nella misura della resistenza media con un fattore di copertura, (incertezza estesa) bisognerà ovviamente moltiplicare per lo stesso l incertezza combinata standard calcolata. Se infine si vuole calcolare l incertezza di caso peggiore, visto che gli errori appartengono tutti a distribuzioni uniformi, bisognerà naturalmente usare la formula seguente, sempre nel caso N=: R m Rm V UV U I UR = UV + U I = U V + U I = R + = V I = I I = V I dove, ovviamente, se si usano strumenti digitali: U = U + U e V LV PV U = U + U. I LI PI Procedura da seguire nel corso della prova e nella stesura della relazione di laboratorio: ) Verificare che il resistore in prova (del tipo commerciale, per circuiti elettronici) non dissipi più della potenza massima assorbibile (P = 0,5 W). Per far questo, innanzitutto si misura il valore approssimativo di R x (desumibile peraltro dalle fasce colorate sul resistore), ad esempio con un multimetro nella funzione ohmmetro: chiamiamo questo valore R n resistenza nominale. Tale valore deve essere tale che: P P = 0,5 V V W, ovvero 0, 5 R x R n V V = 0, 5 R n Ad esempio, per Rn 80 Ω, si ha che V <V = 6, 7 V. Per cui tale valore di tensione (in corrente continua) sarà il massimo a cui si potrà alimentare il circuito: variando la tensione da

4 zero a V la corrente potrà quindi variare da zero (per tensione di alimentazione nulla) al valore I = V R V R. x n ) Montare il circuito, nella configurazione voltmetro a valle (schema di Fig.), in quanto il multimetro digitale usato come voltmetro ha una resistenza d ingresso (dell ordine dei MΩ) molto maggiore della resistenza in parallelo, quindi assorbe una corrente sicuramente trascurabile rispetto a quella di misura che scorre nella resistenza R x, di conseguenza l errore di consumo è trascurabile. Scegliere opportunamente, in base alla tensione V, l uscita (6 o 5 V) del generatore di tensione continua. 3) Eseguire N= test con tensione d alimentazione variabile da zero alla massima consentita, riportando per ogni misurazione (ad esempio la -esima), le misure I e V, e le corrispondenti incertezze assolute (supposte di caso peggiore) U I e U V, relative rispettivamente al multimetro usato come amperometro ed a quello usato come voltmetro; determinare per ogni coppia di misure il rapporto R = V I (misura indiretta di resistenza), nonché la corrispondente incertezza assoluta U R, ottenuta dalla formula di propagazione delle incertezze nel caso del rapporto (caso peggiore): U U U = R ; R V I ( u + ) = + V ui R V I riportare in tabella i valori misurati, arrotondati in modo congruente in base all incertezza, per tensione, corrente e resistenza; riportare infine in un sistema di assi cartesiano V-I i valori misurati delle coppie (I, V ), con i corrispondenti intervalli d incertezza assoluta [ I UI, I + U I ] e [ V UV, V + UV ], altrimenti detti domini d incertezza, come esemplificato nelle figure 3 e 4. Primo obiettivo: migliore stima per la misura di resistenza: 4) Determinare la migliore stima per la resistenza, calcolando la media Rm dei valori di resistenza misurati (non arrotondati) e successivamente l incertezza di tale media con un livello di confidenza del 99,73%, adoperando le formule viste in precedenza; riportare infine alla base della tabella (come nella struttura indicata di Tabella I) il risultato finale (resistenza media ± incertezza assoluta della media al 99,73%), scritto con un numero congruo di cifre significative. In una nota precisare se il calcolo dell incertezza standard sulla media è stato condotto considerando le distribuzioni d errore complessivo degli strumenti approssimativamente uniformi o trapezoidali. Infine, facoltativamente, si può riportare la valutazione dell incertezza di caso peggiore e scrivere correttamente il valore di resistenza media in base ad essa. Secondo obiettivo: verifica di linearità della caratteristica V-I rilevata: 5) Disegnare sul grafico i domini d incertezza corrispondenti ai punti misurati (come in Fig.4) e verificare che li possa attraversare una retta, infine disegnare la retta teorica V = Rm I, ottenuta imponendo che il coefficiente angolare sia proprio pari alla misura indiretta di resistenza media effettuata in precedenza.

5 6) Esprimere, se possibile, un giudizio critico sulla prova e su eventuali suoi miglioramenti. 7) Stendere in Word una relazione personale scritta firmata sulla prova, da portare e discutere in sede di verifica orale del laboratorio. Schema circuitale: Bread-board (basetta) E V m Fig. Schema circuitale da utilizzare nella prova (con alimentatore in c.c. e due Tabella multimetri I Dati rilevati Flue digitali ed elaborati in funzione nella misura rispettivamente di resistenza voltmetro ed amperometro. Il resistore in prova ha resistenza nominale ricavata dalla tabella colori allegata. Tensione (V) Incertezza (worst c.) (V) Corrente (ma) Incertezza (worst c.) (ma) Resistenza (Ω) Resistenza media: ± Ω (fattore di copertura = ) Incertezza (worst c.) (Ω) Tensione Corrente Fig.3 Rappresentazione dei punti misurati e degli intervalli d incertezza

6 6 5 Tension Corrente Fig.4 Domini d incertezza e retta V = R I (Legge di Ohm) m Specifiche Tecniche Multimetro Flue: