ESERCITAZIONE DI LABORATORIO SULLA DETERMINAZIONE DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN FILTRO PASSIVO PASSA-BASSO COSTITUITO DA UNO STADIO RC

Transcript

1 ESERCITZIONE DI LBORTORIO SULL DETERMINZIONE DELL RISPOST IN FREQUENZ DI UN FILTRO PSSIVO PSS-BSSO COSTITUITO D UNO STDIO RC Premessa Un filtro è un quadripolo capace di operare una selezione, tra i segnali applicati in ingresso, in funzione della frequenza; per un filtro possiamo definire ttenuazione & ( f ) il rapporto tra il fasore rappresentativo della tensione in uscita ed il fasore rappresentativo della tensione in ingresso. V& ( f ) & o ( f ) = V& ( f ) i FILTRO fig. 1 Le misure principali che si eseguono su di un filtro sono: rilievo del modulo della attenuazione = ( & f ) del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, in funzione della frequenza, il modulo viene espresso in db: & f ) = 20 log( V V ) ; ( db o i rilievo dello sfasamento & ( f ) del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, in funzione della frequenza. I filtri passivi si distinguono, in funzione della loro risposta in frequenza in: Filtri passa-basso; Filtri passa-banda; Filtri passa-alto; Filtri escludi banda. Filtri passa-basso Un filtro passa-basso ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali a frequenza inferiore a quella per cui è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza superiore. Nei filtri reali il passaggio dalla frequenza di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso ideale e in alcuni casi reali ed un esempio di filtro passa-basso RC. pag. 1

2 Filtri passa-alto Un filtro passa-alto ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali a frequenza superiore a quella per cui è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza inferiore. Nei filtri reali il passaggio dalla frequenza di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso ideale e in alcuni casi reali ed un esempio di filtro passa-alto RC. Filtri passa-banda Un filtro passa-basso ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali compresi in un intervallo di frequenze delimitato da una frequenza di taglio inferiore ed una frequenza di taglio superiore a quella per cui è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza superiore. Nei filtri reali il passaggio dalle frequenze di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso ideale e in un caso reale. Filtri escludi-banda Un filtro escludi-banda ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali non compresi in un intervallo di frequenze delimitato da una frequenza di taglio inferiore ed una frequenza di taglio superiore per cui è stato calcolato ed attenua tutti i segnali compresi nell intervallo di frequenza. Nei filtri reali il passaggio dalle frequenze di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso ideale e in un caso reale. pag. 2

3 nalisi del filtro passivo passa-basso costituito da uno stadio RC Il circuito oggetto della prova è di seguito riportato, dall analisi del circuito risulta: fig. 2 1 V& V& i o = jωc1 1 ( R1 + ) jωc1 V 1 & & o = = V & 1+ jωr C da cui i = & = ϕ = ( f ) = arctg ( ωr ) 1 C ( ωr1 C1) & La frequenza di taglio f t del filtro è quella in corrispondenza della quale la potenza trasmessa si dimezza e quindi il modulo della attenuazione assume valore: V 1 = o & = = 0,707 Vi 2 f 1 = t 2 πr C 1 1 nel caso in esame, essendo R 1 = 10 kω e C 1 = 47 nf f t 340 Hz Il modulo della attenuazione = ( & f ), espresso in db & f ) = 20 log( V V ), è di seguito ( db o i rappresentato in funzione della frequenza; si osserva che in corrispondenza della frequenza di taglio (f t 340 Hz) l attenuazione assume il valore 3 db. Lo sfasamento ϕ = & ( f ) = arctg( ωr 1 C1) del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, è di seguito rappresentato in funzione della frequenza; si osserva che in corrispondenza della frequenza di taglio (f t 340 Hz) lo sfasamento assume il valore ϕ = 45 (π/4). fig. 3 fig. 4 Progetto del circuito di misura e scelta degli strumenti Il circuito oggetto della prova è realizzato con: un resistore in pasta di valore nominale R 1 = 10 kω, potenza massima 0,25 W, tolleranza: ± 5%: è quindi applicabile al massimo una d.d.p. pari a: V P R = 0, = 50V = ; pag. 3

4 un condensatore in poliestere di capacità C 1 = 47 nf, tolleranza: ± 5%, tensione massima 200 V. Il circuito di misura prevede un generatore di forme d onda per produrre la tensione sinusoidale in ingresso V i, un frequenzimetro per la misura della frequenza ed un oscilloscopio digitale per la misura dei livelli di tensione in ingresso ed in uscita e per la misura del ritardo t del segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso; quest ultima misura, nota la frequenza f, consente la determinazione dello sfasamento ϕ = ω t = 2 πf t, dove t è il ritardo temporale tra tensione in ingresso e tensione in uscita (come indicato in fig. 6). llo scopo di facilitare la misura di t e contemporaneamente ridurre le incertezze di misura, è opportuno dilatare la scala dei tempi solo per la misura di t. Lo schema del circuito di misura è di seguito riportato: Generatore di funzioni Hz Frequenzimetro Oscilloscopio Hz fig. 5 Dall analisi del circuito di fig. 5 risulta che per bassi valori di frequenza del segnale di stimolo V i il condensatore presenta una elevata reattanza, di conseguenza la tensione in ingresso V i la ritroviamo in uscita ai capi del condensatore; per elevati valori di frequenza il condensatore tende a presentare una bassa reattanza e quindi la tensione V i si ripartisce in percentuale maggiore sulla resistenza, quindi, supponendo di non variare la tensione in ingresso durante la prova, la massima tensione applicabile al circuito non deve superare 50 V. Per quanto riguarda la frequenza del segnale in ingresso, dall analisi dei diagrammi teorici di fig. 3 e di fig.4, ci si accorge che è senz altro opportuno eseguire le misure sia all interno della decade che contiene la frequenza di taglio (100 Hz, 1 khz) sia nelle decadi attigue (10 Hz, 100 Hz) e (1 khz, 10 khz); tale scelta garantisce la possibilità di tracciare una caratteristica sperimentale sufficientemente ampia ed indicativa delle proprietà del filtro. Le frequenze di misura vanno poi opportunamente determinate considerando che, se la scala delle frequenze è logaritmica, per poter costruire correttamente le curve di risposta, le frequenze di misura devono essere scelte in modo tale da essere geometricamente equispaziate sulla scala delle ascisse. Così, ad esempio, se nella decade (1 Hz, 10 Hz) si vogliono 5 punti di misura geometricamente equispaziati, considerato che log(1) = 0 e log(10) = 1, è necessario scegliere le frequenze in modo che: log(f 1 ) = 0 f 1 = 1,000 Hz ; log(f 2 ) = 0,25 f 2 = 1,778 Hz ; log(f 3 ) = 0,50 f 3 = 3,162 Hz ; log(f 4 ) = 0,75 f 4 = 5,623 Hz ; log(f 5 ) = 1 f 5 = 10,000 Hz ; nalogamente per le altre decadi. fig. 6 pag. 4

5 Si sceglie quindi, per il segnale sinusoidale in ingresso, un generatore di funzioni che renda disponibile una tensione inferiore a 50 V nonché sia in grado di regolare la frequenza almeno nell intervallo (0 Hz 10 khz). La scelta cade, anche per disponibilità del laboratorio, sul generatore di forme d onda arbitrarie gilent Detto generatore svolge anche la funzione di frequenzimetro, in appendice sono riportate le specifiche tecniche del generatore, in particolare alla seconda pagina della appendice sono evidenziate le caratteristiche di precisione del frequenzimetro. Per la misura dei valori efficaci della tensione in ingresso e della tensione in uscita nonché del ritardo t del segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso si sceglie un oscilloscopio digitale. La scelta cade, anche per disponibilità del laboratorio, sull oscilloscopio digitale gilent B (o sul modello gilent B) completi di sonde di tensione 10:1 gilent In appendice B sono riportate alcune specifiche tecniche, in particolare sono evidenziate le caratteristiche di precisione sia del sistema verticale (misura della tensione) sia del sistema orizzontale (misura del tempo). Sono da scegliere le indicazioni di incertezza relative alle misure con doppio cursore perché la tensione efficace, anche se misurata in modo automatico, prevede l uso di due cursori. Si osservi che effettuando misure con il doppio cursore sia di tempo che di tensione, al fine di determinare l incertezza di misura è necessario conoscere il full scale dello strumento dato dal prodotto tra il guadagno verticale (espresso in V/div o in s/div, è indispensabile annotarlo durante la prova!) ed il numero massimo di divisioni (10 orizzontali ed 8 verticali). I dati rilevati sperimentalmente vanno riportati in tabella (si prenda come riferimento la tabella riportata in appendice C) e successivamente in diagramma opportunamente interpolati. Incertezza di misura Per quanto riguarda l incertezza di misura, resta da determinare quella relativa alle grandezze determinate in modo indiretto ovvero lo sfasamento ϕ e l attenuazione espressa sia in valore assoluto che in db. Per quanto riguarda lo sfasamento, essendo determinabile tramite l espressione: ϕ = ω t = 2 πf t, calcoliamo subito l incertezza relativa di caso peggiore: u = u f + u t ϕ, da cui si ottiene l incertezza assoluta di caso peggiore: U = ϕ ( u f u ) ϕ + t. Dalle caratteristiche tecniche allegate risulta che u f è data direttamente (20 ppm), mentre per quanto riguarda l incertezza sulla misura del t, questa è data (in valore assoluto) mediante la relazione (Horizontal System Cursor ccuracy): U t = 0,01% t + 0,2% FSO ps, pertanto possiamo scrivere (con il full scale FSO ed il t espressi in secondi): u t = 0,0001 FSO ,002 + t t 12 Va però precisato che, essendo f e t non correlate (le misure sono eseguite con strumenti distinti), gli errori sulla frequenza e sul t sono chiaramente indipendenti, pertanto è possibile applicare la formula del caso più pag. 5

6 probabile (con una significativa riduzione dell incertezza), determinando quindi l incertezza standard: 2 2 ( ϕ) 2 ( ϕ) 2 U ϕ, std = U f, std + U t, std = f std 2π f ( t) ( 2π t ) U, + ( f ) U, t std 2 2 dividendo ambi i membri per ϕ si avrà: u ϕ, std = u f, std + u t, std Per quanto detto prima, la distribuzione degli errori sulla misura dello sfasamento sarà approssimativamente gaussiana, per il Teorema del Limite Centrale, essendo relativa ad una variabile aleatoria funzione di più variabili aleatorie (almeno quattro), ciascuna con una propria distribuzione (che qui assumeremo uniforme, in mancanza di informazioni precise del costruttore degli strumenti). Pertanto l incertezza assoluta standard prima calcolata definisce con buona approssimazione un intervallo di confidenza con grado di fiducia 68 %, mentre altri intervalli di confidenza possono essere determinati con le consuete regole. Per quanto riguarda l attenuazione, sia in valore assoluto che in db, considerando che le grandezze da cui dipende sono misurate dallo stesso strumento e quindi correlate e di conseguenza i corrispondenti errori sono non indipendenti, si deve in ogni caso determinare l incertezza di caso peggiore: V o U = u uvo + uvi = + = V Vo U U + Vi uvo uvi i Vo Vi db = ( ) Vo = 20 log( ) = 20 log( Vo ) 20 log( Vi ) db V i Pertanto l incertezza assoluta su (espresso in db) vale: 20 UVo 20 UVi 20 UVo UVi 20 U = UVo + UVi = + = = ( uvo + uvi ) Vo Vi ln(10) Vo ln(10) Vi ln(10) + Vo V i ln(10) Considerato che l attenuazione (espressa in db) assume valori prossimi allo 0 non è opportuno esprimere la sua incertezza in termini relativi. In appendice C è riportata la tabella su cui riportare le incertezze di misura. ( db) pprofondimenti Ritorniamo all incertezza di caso peggiore sull attenuazione, calcolata nel caso particolare in cui, oltre ad usare lo stesso strumento (oscilloscopio) per misurare le due tensioni V o e V i, lo adoperiamo anche sulla stessa portata. In questo caso, con buona approssimazione, possiamo ritenere identici gli errori di guadagno nella misura delle due tensioni, conseguendo quindi una riduzione sensibile dell incertezza di caso peggiore nella misura del rapporto. tal fine, riportiamo la dichiarazione d incertezza per le misure d ampiezza dell oscilloscopio (Vertical System Dual cursor ccuracy): U V = 1,9% V + 0,4% FSO = ugv % V + U PV in cui possiamo ritenere l 1,9% come un incertezza di guadagno, maggiorante del modulo dell errore di guadagno sulla retta di riferimento, per ipotesi indipendente dalla lettura effettuata. Pertanto, come già visto dalla teoria, se effettuiamo una misura di rapporto, il contributo dell errore di guadagno si elimina e rimane solo il contributo degli altri tipi d errore: U 1 1 = UPV + Vo V i Ovviamente, quanto detto si estende anche al caso dell espressione di in db: U = ( u + u ) = U db ln(10) Vo Vi ln(10) PV + Vo V i ( ) pag. 6

7 ppendice pag. 7

8 pag. 8

9 ppendice B pag. 9

10 pag. 10

11 pag. 11

12 ppendice C Dati rilevati n. f (Hz) Vi (V) K Vi (V/div.) t (s) K t (s/div.) V O (V) K Vo (V/div.) (p.u.) (db) ϕ (rad) Incertezze di misura n. u f (%) u Vi (%) u Vo (%) u t (%) u (%) U (p.u.) U (db) U ϕ (rad) U ϕ,std (rad) pag. 12