INDUTTANZA ENERGIA MAGNETICA

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1 INDUTTANZA E ENEGIA MAGNETICA Una corrente variabile in una bobina induce una f.e.m. in un altra bobina: è possibile avere lo stesso fenomeno in una sola bobina quando la corrente i varia nel tempo?

2 Fenomenologia Quando si chiude l interruttore, la corrente non passa istantaneamente da 0 al suo valore massimo V o / B i Vo

3 Autoinduzione Un circuito di forma qualunque percorso da corrente produce un campo magnetico proporzionale alla corrente i (legge di Biot- Savart): il flusso di questo campo attraverso una qualunque superficie che abbia come contorno il circuito stesso sarà i: Φ B = Li L è detto coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito. Unità di misura: Tm 2 /A = Vs/A = henry (H)

4 Se la corrente nel circuito non è costante nel tempo, compare una forza elettromotrice indotta: ε L = dφ dt B = L L induttanza dà una misura della capacità di opporsi alla variazione della corrente Quando l induttanza si può pensare concentrata in un tratto particolare del circuito (ad esempio in un solenoide), si chiama quell elemento del circuito induttore e si indica con il simbolo Significato: l induttanza del resto del circuito è trascurabile rispetto a quella dell induttore (anche un circuito senza bobine ha sempre una qualche induttanza che può influire sul comportamento) di dt (assumendo L costante)

5 Calcolo dell induttanza: solenoide Tratto di lunghezza l di un solenoide indefinito di sezione A: B = µ o ni Φ B = nlba = µ o n 2 ial è L = µ o n 2 Al Induttanza per unità di lunghezza: L / l = µ o n 2 A N.B. Dipende solo da fattori geometrici (non dalla corrente, né dal campo magnetico) Analogamente, la capacità di un condensatore dipende solo dalla geometria

6 Calcolo dell induttanza: toroide B = µ oni 2πr Flusso attraverso una spira: a sezione rettangolare Φ 1 (B) = b B d b µ A = Bhdr = o Nih 2π a a b a dr r = µ o Nih 2π ln b a Flusso attraverso N spire: Induttanza: 2 µ on ih Φ( B) = NΦ1 = ln 2π b a 2 Φ( B) µ on h L = = ln i 2π dipende solo da fattori geometrici b a

7 Induttori con materiali magnetici La presenza di un materiale modifica il campo magnetico all interno dell induttore: B = µ r B o, e di conseguenza anche Φ B µ r = permeabilità magnetica relativa del materiale è L = µ r L o La presenza di materiali ferromagnetici permette di aumentare l induttanza anche di un fattore , così come i materiali dielettrici nei condensatori permettono di ottenere capacità elevate.

8 Circuiti L La presenza di un induttore in un circuito impedisce alla corrente di aumentare o diminuire istantaneamente. ε L Chiusura del circuito in a: ε +ε L i = 0 ε L di dt i = 0 di ε i = dt L ln(ε i) = L t + cost ε i = Ae L t

9 Chiusura del circuito Per t =0 i = 0: i( t) = ε (1 e t L ) ΔV # = i = ε 1 e L % t $ & ( ' τ L = ΔV L L = L di dt = εe L t costante di tempo (induttiva): rappresenta il tempo necessario affinchè la corrente nel circuito raggiunga un valore (1 1/e) i ~ 63% i Es.: per = 100 Ω, L=10-3 H è τ L = 10-5 s (normale circuito resistivo)

10 stesse equazioni, stesse soluzioni Feynman, Maxwell Circuiti C: carica di un condensatore equazione del circuito: ε i Q C = 0 " $ # q(t) = Cε 1 e t C % ' &

11 Commutando l interruttore in b: ε L i = 0 L di dt + i = 0 di i = L dt ln(i) = L t + cost. Per t =0 i o = ε / : i( t) = ε e t L i (A) /

12 stesse equazioni, stesse soluzioni Circuiti C: scarica di un condensatore equazione del circuito: i Q C = 0 i(t) = dq dt = ε e t C

13 Mutua induttanza Molto spesso il flusso magnetico che attraversa un area chiusa da un circuito varia nel tempo a causa delle variazioni delle correnti che scorrono in altri circuiti posti nelle vicinanze: ciò dà origine a una f.e.m. indotta. Il processo si chiama mutua induzione perché dipende dall interazione fra i due circuiti. Φ 12 = B 1 da 2 = M 12 i 1 A 2 analogamente Φ 21 = M 21 i 2 Si può dimostrare che M 12 = M 21 = M coefficiente di mutua induzione Dipende dalla forma dei due circuiti e dalla loro posizione relativa

14 Energia magnetica ε = i + L di dt ε 2 i = i + Li di dt potenza fornita dal generatore potenza dissipata dalla resistenza potenza immagazzinata nell induttore du dt B = Li di dt U B i = Lidi = Li 2 rappresenta l energia totale immagazzinata in una induttanza L percorsa dalla corrente i

15 Densità di energia e campo magnetico Tratto l di solenoide rettilineo indefinito: U B = 1 2 Li2 = 1 2 (µ on 2 A)li 2 = B2 ( Al) 2µ o Densità di energia magnetica: u B = 2 B 2µ 0 Densità di energia immagazzinata in ogni punto in cui sia presente un campo magnetico. L espressione (ricavata in un caso particolare) è generalizzabile a tutte le configurazioni. Analogamente si era ricavata la densità di energia in presenza di campo elettrico: u E = 1 2 ε o E 2