( ) = E i. E i. = πr 2 db. = 1 2 r db

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1 II Variazione del campo magnetico vista da un circuito fisso: la presenza di corrente (movimento degli elettroni) richiede l esistenza di un campo elettrico indotto E i. ε i = E i ds = dφ B dt N.B. il campo elettrico indotto esiste anche in assenza di un circuito conduttore. È un campo non conservativo generato da un campo magnetico variabile. campo B uniforme crescente In questa forma la legge di Faraday mostra con evidenza il legame fra E e B

2 E i ds = dφ B = πr 2 db dt dt = E i 2πr ( ) Nel vuoto il campo E i deve essere tangente alla circonferenza e di modulo dipendente sono da r (per ragioni di simmetria) campo B uniforme crescente E i = 1 2 r db dt Una carica immessa tangenzialmente con opportuna velocità può descrivere una circonferenza di raggio r sotto l azione della forza centripeta F = qvxb In un giro la sua E k può aumentare grazie al lavoro compiuto dalla forza tangente F = qe i Principio di funzionamento del Betatrone

3 Principio di funzionamento del Betatrone Campo magnetico B variabile e non uniforme: F c = qvb orb = m v2 r = ( mv ) v r = p v r p = qrb orb E i = r 2 db m dt F = qe i = qr 2 db m dt = dp dt qrdb orb = qr 2 db m ΔB m = 2ΔB orb

4 Betatrone Applicazioni: ricerca di base, ricerca applicata, medicina: radioterapia Dispositivo per accelerare elettroni ad alte energie (fino a ~100 MeV) usando campi elettrici indotti da campi magnetici variabili: Il campo magnetico B non può essere spazialmente uniforme: per mantenere gli e - su un orbita di raggio r: ΔB m = 2ΔB orb B m = B medio interno all orbita B orb = B sull orbita tubo a vuoto a forma di ciambella nel quale circolano gli e - Il fascio di elettroni è generato a impulsi

5 esercizio Si consideri un betatrone in cui il raggio dell orbita degli elettroni è r = 32 cm e il campo magnetico sull orbita B orb = 0.28sen(120πt) T. Determinare il campo elettrico indotto che accelera gli elettroni all istante t = 0, e calcolarne l accelerazione nello stesso istante. Soluzione: E i (t=0) = 34 V/m a = ee i /m e = m/s 2

6 N.B.: da non confondersi col ciclotrone: Il campo magnetico B è uniforme e costante, e serve solo a curvare le traiettorie Le particelle cariche vengono accelerate dal campo elettrico oscillante quando attraversano l intercapedine B T = 2πm qb = 1 f

7 Esempio di calcolo del flusso di B nel caso di B non uniforme B = cx 2 k T Compare una f.e.m. indotta ε i nella spira? dφ = B( x)bdx B y b B dx a x Φ B = a 0 = bcx 2 a dφ B o dx = bc a3 3 Tm2

8 Esercizio Una bobina rettangolare, di lati a = 10 cm e b = 5 cm, composta di N = 100 spire di resistenza complessiva R = 2 Ω, giace nel piano xy. Su di essa agisce un campo magnetico B = 5x 2 ( t )k T. Calcolare: a) La forza elettromotrice indotta ε i (t) nella bobina e la corrente i(t); b) La carica q che circola nella stessa tra l istante t = 0 e t = 0.5 s. y b B dx a x Soluzione: a) ε i = t V i(t) = t A b) q = 10-3 C

9 Forza elettromotrice indotta in una sbarretta rotante ω + O x x x x v - x B x x x dr x x x x x x x x x x x x x x x x dε i = Bvdr v = ωr R ε i = Bvdr = 1 BωR 2 2 O

10 Esercizio Un sottile disco conduttore di raggio a = 10 cm è immerso in un campo magnetico ad esso ortogonale, uniforme, costante e uscente dal piano del foglio, di modulo B = 1 T. Tramite un contatto strisciante è possibile far passare una corrente radiale fra l asse e un punto della periferia del disco, mediante una d.d.p. costante V o = 5 V erogata da un generatore; la resistenza totale del circuito è R = 4 Ω. In seguito al passaggio della corrente il disco entra in rotazione. a) scrivere l equazione del circuito e ricavare la corrente i in funzione della velocità angolare ω; b) esprimere il momento delle forze agenti rispetto all asse di rotazione in funzione di ω e calcolare la velocità angolare di regime ω ; c) ricavare l andamento della velocità angolare in funzione del tempo (partendo dall equazione del moto del disco)..... Soluzione: a) i = V o R Ba2 2R ω. B..... df. b) " τ o = Ba2 2R V Ba2 ω % $ o 'k ω = 2V o # 2 & V o.... c) ω(t) = 2V " o 1 e Ba 2 % 4RI t Ba 2 $ ', I = 1 # & 2 Ma2 Ba 2 =103 rad/s