Lez.23 Accoppiamento mutuo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 23 Pagina 1

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Leonzia Antonini
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1 Lez.3 Accoppiamento mutuo Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina

2 Doppio bipolo Trasformatore deale È un doppio bipolo caratterizzato da un solo parametro a, detto rapporto di trasformazione a: i (t) i (t) v (t) v (t) v v i i a a Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina

3 Proprietà del Trasformatore ideale: ) Elevatore di tensione e abbassatore di corrente se a ; ) Abbassatore di tensione ed elevatore di corrente se a ; 3) Trasparente alle potenze; 4) Trasporto :R eq = a R. 5) Trasporto nel dominio simbolico: z eq = a z Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 3

4 nduttori accoppiati - Doppio bipolo accoppiamento mutuo Una bobina di N spire, realizzata con conduttore ideale percorso da corrente i t è posta in vicinanza di una bobina analoga realizzata con N spire percorsa dalla corrente i t n v (t) v (t) i (t) n i (t) Se le bobine sono a distanza sufficiente, il campo magnetico generato dalla corrente in una spira non interagisce con l altra e viceversa. l campo magnetico prodotto dalla corrente concatenato con le N spire che dà luogo al flusso totale i t genererà un flusso t. Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 4

5 Analoga considerazione potrà essere fatta per la seconda bobina. Se i campi non interagiscono, usando la convenzione dell utilizzatore: v v d dt d dt n linearità ( Li, Li) e tempo invarianza, v v L L di dt di dt Otteniamo le caratteristiche di due induttori. Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 5

6 Avvicinando le bobine, i campi interagiscono: Ad esempio, il flusso totale concatenato con il primo circuito è dato dalla somma di due contributi: quello di i t. i t e quello di Analogamente per il flusso totale φ concatenato con il circuito. { φ = φ (i 0;i =0) φ = φ (i =0;i 0) { φ = φ (i 0;i =0) φ = φ (i =0;i 0) n linearità e tempo invarianza: { v = d dt (L i ) + d dt (M i ) v = d dt (M i ) + d dt (L i ) di dt + M { v = L di v = M + L dt di dt di dt Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 6

7 l doppio bipolo accoppiamento mutuo è definito dal parametro L coefficiente di autoinduzione del primo avvolgimento, L coefficiente di autoinduzione del secondo avvolgimento, M coefficiente di mutua induzione del secondo avvolgimento sul primo e M coefficiente di mutua induzione del primo avvolgimento sul secondo l simbolo grafico è: i (t) i (t) v (t) v (t) Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 7

8 Proprietà del doppio bipolo accoppiamento mutuo ) L 0 e L 0, il coefficiente di autoinduzione è positivo; ) M M M per la proprietà di reciprocità (e per motivi energetici); 3) M può assumere segno qualsiasi perché dipende dalle convenzioni M L L per questioni energetiche. 4) M 0 M 0 Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 8

9 Potenza ed energia del doppio bipolo accoppiamento mutuo La potenza assorbita risulta: p a di dt t vi vi L M i M L i l differenziale dw(t) dell energia è: dw = (L di + M di ) + (M di + L di ) l differenziale dell energia deve essere un differenziale esatto perché l energia è una funzione di stato e la variazione di energia tra due stati diversi (ad esempio lo stato e lo stato ) non può dipendere dal cammino fatto per raggiungerli, ma solo dallo stato iniziale e finale. di dt di dt di dt Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 9

10 Affinché il differenziale dell energia sia esatto deve accadere che M M M. Solo in questo caso, infatti, può definirsi una funzione energia interna W(t) tale che dw = W (t)dt e: dw = W() W() Per cui: dw(t) = L di i + Mdi i + Mdi i + L di i dw(t) = d ( L i + Mi i + L i ) E l energia interna del doppio bipolo è: W(t) = L i + Mi i + L i Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 0

11 L energia interna all istante t del doppio bipolo accoppiamento mutuo dipende solo dal valore delle correnti i e i in quell istante. L accoppiamento mutuo è un componente passivo. Esso può fornire tutta l energia che ha precedentemente immagazzinato, ma non ne può fornire una quantità maggiore. Per dimostrarlo, basta considerare una qualsiasi evoluzione delle correnti. W(t) W(t ) t t Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina

12 Ad esempio: ) si parte da uno stato iniziale in cui le correnti sono nulle e l energia interna è pertanto nulla (i (t 0 ) = 0; i (t 0 ) = 0); ) si fa assorbire energia, passando ad un nuovo stato in cui i (t ) = 0 e i (t 0 ) = 0 e l energia è W(t ) = L 0 + M L 0 ; 3) si fa evolvere liberamente il circuito e si verifica che, da questo momento, la massima energia erogabile si ha quando i (t ) = i (t ) = 0. Tale energia è non superiore a quella posseduta in t, pari a W(t ). L accoppiamento mutuo è un doppio bipolo conservativo perché l energia assorbita dal componente viene immagazzinata nel campo magnetico sotto forma di energia interna per poi essere restituita al circuito. Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina

13 L energia immagazzinata (nel campo magnetico) è per definizione una B quantità positiva ( W d ) e dipende da i e i : W(i, i ) = L i + Mi i + L i 0 Può essere riscritta come W i i L, i i i M L i i 0 Posto x = ( i i ), l espressione nel piano (W/i, x) è una parabola di equazione: W i = L x + Mx + L Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 3

14 W i Questa parabola non deve mai intersecare l asse delle x perché non deve esistere una coppia di valori (i,i ) della corrente in corrispondenza della quale l energia immagazzinata è negativa. Ciò può accadere solo se l equazione L x Mx L 0 ha radici complesse. Considerando il discriminante dell equazione (Δ = M L L ), si ricava la condizione di fisica realizzabilità: M L L Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 4 x

15 Tale condizione può essere espressa anche tramite il coefficiente di accoppiamento k definito come: e si esprime con k + k M L L La condizione k ( M LL) individua l accoppiamento perfetto. n tal caso esiste una coppia di valori ( i, i ) per i quali l energia immagazzinata W è nulla e ciò significa che è nullo in ogni punto dello spazio il campo magnetico associato al doppio bipolo. Esiste una coppia di correnti tali che è possibile annullare il campo prodotto dalla corrente in un avvolgimento, facendo circolare un opportuna corrente nel secondo avvolgimento. Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 5

16 Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 6 Accoppiamento mutuo in regime sinusoidale L j M j V M j L j V M L M j V L M L j V Con accoppiamento perfetto ( L L M ), i secondi membri sono uguali: M j V L j V a L M M L V V

17 V V V jl a a: a i (t) i (t) v (t) L v (t) Un mutuo induttore ad accoppiamento magnetico perfetto è equivalente a un trasformatore ideale avente in parallelo alla prima porta un induttore di induttanza L Nell ipotesi in cui sia, si ottiene un trasformatore ideale. L Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 7

18 Se l accoppiamento non è perfetto ( M LL), è possibile imporre le seguenti condizioni L L M L' L' L'' L'' L'' n modo da ricavare una coppia di valori L '' L' ' tali che M L' ' L'' L'' Potremo scrivere: V V jl' jl' jl'' jm jm jl'' Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 8

19 termini in parentesi descrivono un accoppiamento perfetto con M L' ' L'' e a L'' M M L'' { E = jωl + jωm E = jωm + jωl l circuito equivalente si ottiene poi aggiungendo j L', jl' L i i L v L e e v a Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 9

20 Come si realizza, fisicamente, un accoppiamento perfetto? Gli avvolgimenti devono essere realizzati in modo tale che siano trascurabili i termini L ' e L ', ossia in modo che sia nullo il flusso disperso, cioè non esistano linee di campo che si concatenano con un avvolgimento e non con l altro. Se poi gli avvolgimenti sono realizzati su materiale con permeabilità magnetica estremamente elevata (μ ), per cui sia ha che L, allora si riesce ad ottenere un trasformatore ideale. Università di Napoli Federico, CdL ng. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 3 Pagina 0

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