Ingegneria dei Sistemi Elettrici_5d

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1 ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d Energia magnetica Autoinduttanza e mutua induttanza sono stati esaminati in termini statici, considerando la corrente permanente. Sebbene gli induttori privi di resistenza si comportano come un corto circuito in regime permanete (in c.c) diventa necessario studiare il campo magnetico dovuto a correnti variabili quando si vogliono studiare gli effetti delle induttanze nei circuiti e nei campi magnetici. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d

2 Assumiamo quindi condizioni quasi statiche, che implicano che: le correnti varino molto lentamente ( basse frequenze) e che le dimensioni dei circuiti siano molto piccole rispetto alla lunghezza d onda. Queste condizioni ci permettono di trascurare gli effetti dei ritardi e delle radiazioni. n elettrostatica, il lavoro richiesto per assemblare un gruppo di cariche, viene immagazzinato sotto forma di energia elettrica. Analogamente in magnetostatica, il lavoro necessario per inviare correnti nelle spire conduttrici, viene immagazzinato sotto forma di energia magnetica. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d

3 Energia in una singola spira Per valutare l energia magnetica si consideri una spira di induttanza L inizialmente non attraversata da corrente 0. Si colleghi un generatore alla spira, che aumenti la corrente da 0 a. Dalla fisica si sa che sarà indotta nella spira una forza elettromotrice fem, tale da opporsi alla corrente che la ha generata. C M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 3

4 di Se v L è la tensione applicata ai capi l induttanza, il dt lavoro richiesto per far fronte a questa fem e poter incrementare la corrente da 0 a nella spira sarà: W vidt L idi L 0 e poiché per i mezzi lineari il flusso concatenato è Φ L --> L Φ /, l energia immagazzinata come energia magnetica, può essere espressa anche in funzione del flusso concatenato come: W Φ M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 4

5 Energia in due spire accoppiate Analogamente, se si considerino due spire percorse dalle correnti i e i rispettivamente con correnti inizialmente nulle, che siano incrementate rispettivamente sino ai valori e. C C M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 5

6 Per determinare il lavoro richiesto, inizialmente si mantenga i 0 e si incrementi i da 0 a. Ciò richiede un lavoro W nella spira C e nessun lavoro nella spira C,perchéi 0: W vidt L idi L 0 Successivamente manteniamo i costante e incrementiamo i da 0 a. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 6

7 A causa del mutuo accoppiamento, una parte del flusso magnetico dovuto a i si concatena con la spira C, inducendo una fem che deve opporsi alla tensione: di v L dt per mantenere i costante al suo valore. l lavoro W richiesto per far fronte la tensione indotta v sarà: W vdt L 0 Contemporaneamente un lavoro W deve essere fatto sulla spira C per contrastare la fem e aumentare corrente sino al valore : W L M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 7 di L

8 Quindi il lavoro totale W richiesto per far circolare entrambe le correnti nelle spire concatenate sarà: W W + W + W L + L + L questa relazione forma compatta può essere scritta in forma compatta: W j K L jk j k M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 8

9 Energia in N spire accoppiate Generalizzando questo risultato per un sistema di N spire attraversate rispettivamente dalle correnti,, n e concatenate (disposte in modo tale che i campi magnetici generarti da ciascuna di esse interferisca sulle altre), si ottiene l energia immagazzinata nel campo magnetico : N N Wm Ljk jk [J] j K W m è l energia immagazzinata nel campo magnetico Per una sola corrente circolante in un induttore con induttanza L, l energia magnetica immagazzinata sarà: W m L [J] M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 9

10 Energia magnetica in funzione delle grandezze di campo L energia necessaria per magnetizzare un mezzo di materiale magnetico è: W H d 0 Quando si percorre un ciclo di isteresi, la differenza tra l energia spesa e l energia resa, pari a quella immagazzinata, è data dall area del ciclo tratteggiata in figura: H M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 0

11 L energia magnetica necessaria per produrre punto per punto una variazione della induzione d in un campo magnetico di intensità H è: dwm H d dv [ J ] V essendo dv il volume elementare intorno al punto generico La variazione di energia infinitesima per unità di volume è: J dw m H d m 3 e l energia magnetica specifica é: w H d 0 M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d

12 Nei mezzi a permeabilità costante, dove H, si ha: µ w µ µ H Poiché l energia magnetica immagazzinata é esprimibile in funzione della autoinduttanza o induttanza L, come: W m L [J] con un processo inverso si può determinare L in funzione di W m : W m L H W [H] m V' w dv M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d

13 Per calcolare il lavoro di isteresi, si utilizza la formula empirica di Steinmetz: (.6 ) J w η M 3 m dove η dipende dal materiale: η per l acciaio dolce η 050 per le lamiere al silicio L esponente è ~,6 per M < T ~ per M, T M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 3

14 Se il ciclo di isteresi viene ripetuto con la frequenza f, la potenza specifica dissipata (perdite per isteresi ) vale: p η f (.6 ) M W m 3 Un altra perdita presente nei materiali ferromagnetici é dovuta alle correnti parassite. Esse sono correnti indesiderate, indotte nel materiale ferromagnetico in quanto conduttore, per la legge di Lenz. Per ridurre queste correnti si lamina il materiale nella direzione del flusso. nfatti le correnti indotte circolano su piani perpendicolari alla direzione del flusso. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 4

15 Con la laminazione le correnti indotte non sono eliminate, ma ridotte e la riduzione è legata allo spessore dei lamierini con legge quadratica: p cp W β f M m 3 è dell ordine di pochi mm. Talvolta è sufficiente l ossidazione delle lamiere per ottenere l isolamento desiderato tra una lamina e l altra. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 5

16 orze e coppie magnetiche Una carica q si muove con velocità u in un campo magnetico con densità di flusso ( o induzione magnetica), è sottoposta ad una forza magnetica m data da: m q u [ N ] La totale forza elettromagnetica, se è presente anche un campo elettrico di intensità E, è: e + m q( E + u ) [N] M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 6

17 Effetto Hall Se si considera un materiale conduttore con sezione trasversale rettangolare d b immerso in un campo magnetico uniforme: a z o e una corrente continua circolante in direzione pari a: J a J o N qu dove: N è il numero di cariche trasportate per unità di volume, che si muovono con una velocità u, e q è la carica presente in ciascuna carica trasportata. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 7

18 l conduttore sia così disposto rispetto alla direzione del campo: a z o J a xj 0 + d z o x b - J V h J a xj 0 a z o q [ ] Per la relazione m qu N, la carica sarà sottoposta a una forza perpendicolare sia a che a u. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 8

19 Caso a): il materiale è conduttore o un semiconduttore di tipo n, le cariche trascinate sono elettroni, e q é negativa. La forza magnetica tende a muovere gli elettroni in direzione x, creando un campo elettrico trasversale E h. Questo fenomeno continua sino a quando il campo trasversale sarà sufficiente a fermare il trasporto delle cariche. n regime permanente la forza risultante sulle cariche è nulla. mponendo questa condizione, è possibile calcolare l entità del campo elettrico trasversale generato E h : e + m q( E + u ) 0 E h + u 0 o E h u Questo effetto è noto come effetto Hall. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 9 h

20 Per i conduttori e i semiconduttori di tipo n e una densità J o positiva, u a u o il campo trasversale generato è: ( ) o E h u x a uo a zo a x uo e un potenziale trasversale si stabilisce tra le due facce del materiale per gli elettroni trascinati, così che: E h V h è chiamata tensione di Hall e E x il rapporto chiamato coefficiente di Hall, J N caratterizza il materiale. z d Vh Eh dx q 0 d M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 0 u o o

21 Caso b): se le cariche trascinate sono buche, o cariche positive l effetto Hall sarà ugualmente presente, ma il potenziale che si stabilisce sarà di segno contrario ( -V h ) essendo u a u o. L effetto Hall può essere usato per: misurare il campo magnetico e determinare la natura del materiale, ossia il segno predominante delle cariche trascinate (distinguendo un semiconduttore di tipo n da uno di tipo p). M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d

22 orze e coppie magnetiche nei conduttori attraversati da corrente dv S Si consideri un elemento di un corpo conduttore dl, percorso dalla corrente elettrica e sezione trasversale S, immerso in un campo d induzione, se N sono le cariche (elettroni) trascinate per unità di volume con una velocità u, la forza magnetica che agisce sull elemento differenziale sarà: dm N e S dl u N e S u dl M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d dl

23 dm N e S dl u N e S u dl dove e è la carica elettronica. Le due espressioni sono equivalenti perché la velocità e il conduttore hanno la stessa direzione poiché le cariche sono vincolate a muoversi nella direzione della dimensione prevalente del conduttore, essendo la corrente NeS u, la forza magnetica che agisce sull elemento differenziale sarà data dalla seguente espressione: dm dl M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 3

24 Per ottenere la direzione e il verso della forza magnetica elementare che agisce sul conduttore elementare dl, si applica la regola della mano destra: d m dl indice nella direzione della corrente ; medio nella direzione della induzione magnetica ; m pollice nella direzione della forza. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 4

25 La forza magnetica complessiva calcolata per un circuito chiuso il cui contorno è C, sarà: m d l [ N ] C Quando due circuiti adiacenti sono entrambi attraversati dalle correnti e rispettivamente, ciascuno di essi è sotto l influsso del campo magnetico generato dall altro. La forza magnetica agente sul circuito, quando la corrente circola nel circuito è: d l [ N ] con C C µ o 4π dl a R R M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 5

26 da cui: µ o 4π C C dl ( dl ) a R R che è la legge di Ampere che esprime la forza tra due circuiti attraversati da corrente. Questa relazione è analoga alla legge di Coulomb che esprime la forza tra due cariche stazionarie: qq q E a R 4πε R o [ N ] M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 6

27 Analogamente la forza magnetica agente sul circuito, quando la corrente circola nel circuito è: µ dl a R d l [ N ] o con 4 π R C C da cui: µ o 4π C C d l ( dl ) a R R Si dimostra che: µ o 4π C C a R ( dl ) d l R e che, poiché R a. a R M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 7

28 Esempio Due conduttori paralleli attraversati dalle correnti e Si suppone che giacciono nel piano x-. La forza agente per unità di lunghezza sul conduttore dovuta al campo generato dalla circolazione della corrente nel conduttore, sarà: µ 0 a z con a x da cui : ( ) z πr µ o N a π r m x d 0 analogamente: µ o N a ππ m M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 8

29 Se le due correnti sono equiverse le forze sono attrattive e se le due correnti sono controverse le forze sono repulsive. Esempio Spira circolare in un capo magnetico uniforme + con componente del campo nella direzione perpendicolare al piano della spira e componente del campo nella direzione parallela al piano della spira. o b dl b dl T x M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 9

30 La componente perpendicolare tende ad allargare la spira, o a contrarla se la corrente ha direzione contraria, ma non esercita alcuna forza che sposti la spira. La componente parallela da luogo ad una forza che fuoriesce dal foglio nel trattino dl e che entra nel foglio nel trattino dl in posizione simmetrica rispetto all asse x, per cui la forza risultante sull intera spira sarà nulla, ma sarà presenta una coppia che tende a far ruotare la spira intorno all asse x in modo tale da allineare il campo magnetico dovuto alla corrente, con il campo esterno. La coppia elementare prodotta dalle due forze elementari sarà: dt a dt a x x ( d ) b sinφ b sin con d dl φ sinφ M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 30

31 La coppia totale agente sulla spira è quindi: T dt a x φ dφ Ricordando al definizione di momento del dipolo magnetico: m a π dove il versore è normale al piano della spira, si potrà scrivere: a n Questa è anche l espressione della coppia che allinea i dipoli magnetici microscopici nei materiali magnetici e da luogo alla magnetizzazione attraverso l applicazione di un campo. b ( b ) a ns n sin [ N m] T m m M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 3

32 Esempio Spira rettangolare giacente nel piano x- con lati b e b attraversata da una corrente, immersa in un campo magnetico: a xx + a + a zz La corrente circoli nella spira in senso orario. Le componenti del vettore induzione per il sistema di riferimento assunto saranno: a z z a x x + a b (4) (3) () o () x b M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 3

33 La componente parallela della densità del flusso magnetico, produce le seguenti forze sui quattro lati: ( a ) x + a a z b 3 b a x x (- a ) ( ) a x + a a z b 4 b x x La forza risultante sulla spira è uguale a zero, ma è presente una coppia che può essere così valutata: La coppia T 3 dovuta alle forze e 3 : T a 3 x b b e la coppia T 4 dovuta alle forze e 4 : T a 4 b b x M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 33

34 M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 34 La coppia totale agente sulla spira rettangolare è: che espressa in funzione del momento magnetico della spira: La coppia totale agente sulla spira rettangolare espressa in funzione del momento magnetico della spira diventa: ( ) [ ] m N a a b b T b b a b b a T T T x x x x z b b m a ( ) m a a m T x x +

35 orze e coppie magnetiche espresse in funzione della energia magnetica immagazzinata La determinazione delle forze e delle coppie agenti su conduttori e circuiti attraversati da corrente in presenza di un campo magnetico utilizzando la legge di Ampere è piuttosto tediosa, se non esistono particolari condizioni di simmetria. Un metodo alternativo per la determinazione delle forze e delle coppie suddette quando non esistono particolari condizioni di simmetria, è basato sul principio dei lavori virtuali (principle of virtual displacement), considerando i due casi: un sistema di circuiti con Φ k flussi magnetici concatenati costanti e un sistema di circuiti con k correnti costanti. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 35

36 a) Sistema di circuiti con flusso magnetico concatenato costante Se si assume che non ci siano variazioni dφ nei flussi concatenati per uno spostamento virtuale differenziale dl di uno dei circuiti attraversati dalla corrente, non ci sarà alcuna fem indotta d Φ dt le sorgenti non forniranno alcuna energia al sistema. e e l lavoro meccanico fatto dal sistema Φ dl è fatto a spesa di un decremento della energia magnetica accumulata dw m, dove Φ indica la forza in condizioni di flusso costante. M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 36

37 Si può quindi scrivere che: φ d l dw m ( W ) d l m dalla quale si ottiene che: φ W m [ N ] n coordinate cartesiane le componenti delle forze sono: ( ) Wm ( ) Wm ( ) Wm φ ; ; ; x φ φ z x z Se il circuito è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio l asse z, il lavoro meccanico svolto fatto dal sistema sarà: W φ ( ) m T [ N m] φ z M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 37

38 b) Sistema di circuiti con correnti costanti n questo caso i circuiti sono collegati alle sorgenti di corrente che compensano alle fem indotta dovute alle variazioni di flusso concatenato e causate dallo spostamento virtuale dl. l lavoro fatto o l energia fornita dalle sorgenti é: dw s k dφ. Questa energia deve essere uguale alla somma del lavoro meccanico fatto dal sistema dw e dell incremento della energia magnetica dw m, essendo dw ( dw dl), dove indica la forza sul circuito spostato nelle condizioni di corrente costante: M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 38 dw dw + k k s dw m

39 Poichè l energia magnetica è: combinando le equazioni si ha: dw d l dw o: W Wm kdφk Se il circuito è vincolato a ruotare intorno all asse z, la z componente della coppia agente sul circuito sarà : m W φ Le espressioni della forza e della coppia differiscono da quelle trovate per un sistema di circuiti con flusso magnetico concatenato costante, solo per il segno. m M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 39 [ N ] k ( W ) d l m ( T ) [ N m] z m dw s

40 Esempio di applicazione Si consideri un elettromagnete di sezione S e si voglia determinare la forza di attrazione Φ N sull armatura. a)si consideri uno spostamento virtuale della armatura d nella ipotesi che la sorgente mantenga il flusso costante Φ cost. Uno spostamento della armatura cambia la geometria del circuito nella sola lunghezza del traferro; e quindi varia solo l energia magnetica immagazzinata nei due traferri: φ dwm d( Wm ) S d d. traferro µ 0 µ 0S Se Φ cost la forza negativa di attrazione sulla armatura sarà: φ ( ) m a d Φ a [N] µ S 0 M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 40

41 M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 4 b)si consideri uno spostamento virtuale della armatura d nella ipotesi la corrente costante nella bobina, essendo collegata a un generatore di corrente che compensa la fem indotta dovuta alla variazione di flusso per lo spostamento virtuale dl: Φ N m W Φ Φ Φ + R + R Φ + R Φ S a S N S a d dl a S S N L W c c c m risulta [N] N L poichè µ µ µ µ µ

42 orze e coppie magnetiche in funzione della mutua induttanza l metodo dello spostamento virtuale per correnti costanti fornisce una efficace tecnica per determinare le forze e le coppie tra circuiti rigidi attraversati da corrente. Per due circuiti attraversati dalla corrente e, con autoinduttanze L e L, e mutua induttanza L, l energia magnetica è: W L + L + L Se uno dei circuiti è sottoposto a uno spostamento virtuale nelle condizioni di correnti costanti, ci sarà una variazione della energia magnetica W m che darà luogo ad una forza meccanica: W m [ N ] M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 4

43 Tale forza sarà quindi esprimibile come ***: ( L ) [N] Analogamente se il circuito è vincolato a ruotare intono ad un asse z : W L φ φ m ( T ) [ N m] z *** le correnti sono costanti e i coefficienti di autoinduzione non variano perché si suppone che le spire non abbiano cambiato geometria M. Usai ngegneria dei Sistemi Elettrici_5d 43