ENERGIA E FORZA MAGNETICA

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1 ENERGIA E FORZA MAGNETICA

2 Energia Magnetica Autoinduttanza e mutua induttanza sono stati esaminati in termini statici, considerando la corrente permanente. Sebbene gli induttori privi di resistenza si comportano come un corto circuito in regime permanete (in c.c.) diventa necessario studiare il campo magnetico dovuto a correnti variabili quando si vogliono studiare gli effetti delle induttanze nei circuiti e nei campi magnetici. il lavoro necessario per portare una correnti da 0 ad un certo valore I in una spire conduttrici, viene immagazzinato sotto forma di energia magnetica

3 Energia Magnetica Si consideri una spira di induttanza L percorsa da una corrente variabile che, in un certo intervallo di tempo, passa 0 a I. In base alla legge di Lenz, nella spira verrà indotta una forza elettromotrice f.e.m e, tale da opporsi alla corrente che la ha generata, data da: d di e L dt dt I di v e L dt C in un circuito non dissipativo (R=0) la f.e.m. e compensa perfettamente la tensione v del generatore che alimenta la spira. 3

4 Il lavoro compiuto per incrementare la corrente da 0 a I nella spira sarà: W Energia Magnetica v i dt L di dt e poiché per i mezzi lineari il flusso concatenato è =L I L = /I, l energia magnetica immagazzinata, può essere espressa anche in funzione del flusso concatenato : i dt L I 0 i di L I W L I I Φ 4

5 Energia Magnetica Analogamente, è possibile calcolare l energia magnetica immagazzinata nel caso di due spire percorse dalle correnti i e i rispettivamente con correnti inizialmente nulle, che siano incrementate rispettivamente da 0 sino ai valori I e I. I I C C Per determinare il lavoro richiesto, applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti. 5

6 Energia Magnetica Inizialmente si mantenga i = 0 ( circuito aperto) e si incrementi i da 0 a I. Ciò richiede un lavoro W nella spira C e nessun lavoro nella spira C, perché i =0: W v i dt L Successivamente manteniamo i = I costante e incrementiamo i da 0 a I. A causa del mutuo accoppiamento, una parte del flusso I 0 i di L I magnetico dovuto a i si concatena con la spira C, inducendo una f.e.m e che deve essere compensata con un aumento della tensione applicata v e acui è associata una energia W : di v e L dt W v I dt L I di L I I 0 I 6

7 Energia Magnetica Allo stesso modo, per poter aumentare la corrente al valore I, deve essere fatto un lavoro W sulla spira C W LI Quindi il lavoro totale W tot richiesto per far circolare entrambe le correnti nelle spire concatenate sarà: W W W W L I L I I L I L I I tot kj j k k j Questa relazione può essere scritta in forma compatta ad un sistema di N spire : N N N N N Wtot Lkj I jik Lkj I j Ik k Ik k j k j k Dove Ф k è il flusso concatenato alla spira k-esima dovuto a tutte le 7 I j.

8 Energia Magnetica in funzione delle grandezze di campo Si dimostra che l energia magnetica totale W m necessaria per produrre un indizione തB in un volume v dovuta ad distribuzione continua di corrente è: Wm H B dv J v Dove J w è l energia magnetica specifica. m H B 3 m Poiché l energia magnetica immagazzinata é esprimibile in funzione della autoinduttanza o induttanza L, come: Wm LI [ J ] Da cui si può determinare L in funzione di W m : W L m [ H ] I 8

9 Energia Magnetica specifica L energia magnetica specifica è l energia necessaria per magnetizzare al valore di induzione B un mezzo di materiale magnetico di volume infinitesimo J wm H B 3 m B per i mezzi lineari con permeabilità costante, dove H, si ha: B w m μ H B H μ Quando si percorre un ciclo di isteresi, la differenza tra l energia spesa e l energia resa, pari a quella immagazzinata, è data dall area del ciclo tratteggiata in figura B H 9

10 Perdite per isteresi magnetica Se il ciclo di isteresi viene ripetuto con la frequenza f, la potenza specifica dissipata (perdite per isteresi ) vale:.6 W p η f B 0 M 3 m

11 Perdite per correnti parassite Un altra perdita presente nei materiali ferromagnetici è dovuta alle correnti parassite. Esse sono correnti indesiderate, indotte nel materiale ferromagnetico (in quanto conduttore), per la legge di Lenz: di el dt Le correnti indotte circolano su piani perpendicolari alla direzione del flusso, perciò per ridurre queste correnti si lamina il materiale nella direzione del flusso. Con la laminazione le correnti indotte vengono ridotte, infatti si dimostra la potenza persa è legata allo spessore dei lamierini con legge quadratica: W p β f Δ B cp M 3 m Talvolta è sufficiente l ossidazione delle lamiere per ottenere l isolamento desiderato tra una lamina e l altra.

12 Effetto Hall Si consideri un materiale conduttore con sezione trasversale rettangolare immerso in un campo magnetico uniforme തB = തa z B 0 e percorso da una densità di corrente continua J=J ҧ 0 തa y = Nq തu B a zb o z o d y x b B - J + V x N è il numero di per unità di volume q carica trasportata തu velocità J a yj 0 F Per la relazione F m qu B N, ciascuna carica in movimento sarà sottoposta a una forza perpendicolare a B e a u.

13 Effetto Hall a) conduttore o semiconduttore di tipo n Le cariche trascinate sono elettroni, e q è negativa. La forza magnetica tende a muovere gli elettroni lungo la direzione x, creando un campo elettrico trasversale E x. Questo effetto è noto come effetto Hall. Il fenomeno continua sino a quando il campo trasversale sarà sufficiente a fermare il trasporto delle cariche e la forza risultante sulle cariche sarà nulla. Imponendo questa condizione, è possibile calcolare l entità del campo elettrico trasversale generato: F Fe Fm q(eh u B) 0 perciò E (u x B) ( a u a B ) a ub h y z o x o 3

14 Effetto Hall Per effetto degli elettroni trascinatisi stabilisce tra le due facce del materiale un potenziale trasversale V x : x h o 0 V x è chiamata tensione di Hall e il rapporto d V E dx ub d E y x J B z Nq è chiamato coefficiente di Hall e caratterizza il materiale. Caso b): conduttore o semiconduttore di tipo p. Le cariche trascinate sono le buche, o cariche positive. L effetto Hall sarà ugualmente presente, ma il potenziale che si stabilisce sarà di segno contrario al caso precedente. 4

15 Effetto Hall L effetto Hall può essere usato per: misurare il campo magnetico H = f (B); determinare la natura del materiale, ossia il segno predominante delle cariche trascinate (distinguendo un semiconduttore di tipo n da uno di tipo p); realizzare un generatore elementare di corrente elettrica Magnetoidrodinamico MHD, che non necessita di turbine, ossia di parti meccaniche in movimento, quindi in grado di operare con temperature del gas ionizzato in movimento molto più elevate. Con la conversione diretta MHD si possano raggiungere efficienze termodinamiche tra il 50 e il 60 %. 5

16 Forze Magnetica S dv I F m q u B N dq Ne dv N e S dl dl Si consideri un elemento di un corpo conduttore dl, percorso dalla corrente elettrica I e sezione trasversale S, immerso in un campo d induzione B, se N sono le cariche (elettroni) trascinate per unità di volume con una velocità തu, la forza magnetica che agisce sull elemento differenziale sarà: d F N e S dl u B m 6

17 Forze Magnetica d F m N e S dl u B N e S u dl B dove e è la carica elettronica. Le due espressioni sono equivalenti perché la velocità e il conduttore hanno la stessa direzione e le cariche sono vincolate a muoversi nella direzione della dimensione prevalente del conduttore. Inoltre, essendo: dl dv dq NeS u NeS Ne I dt dt dt la forza magnetica elementare che agisce sull elemento differenziale dl può essere scritta con la seguente espressione: d F m I dl B La forza magnetica complessiva che agisce su un circuito chiuso con contorno C, sarà: F m I dl B C N 7

18 Quando due circuiti adiacenti sono entrambi attraversati dalle correnti I e I rispettivamente, ciascuno di essi è sotto l influsso del campo magnetico generato dall altro. Si dimostra che la forza magnetica agente sul circuito, quando la corrente I che circola nel circuito genera un campo magnetico di induzione B (espresso tramite la legge di biot- Savart) è: Mentre la forza magnetica agente sul circuito, quando la corrente I circola nel circuito Con F F Forze Magnetica F I dl B I I R o 4 R C C C F a dl dl a dl dl R o - II 4 R C C 8

19 Conduttori paralleli Si suppone che giacciano nel piano x-y. La forza agente per unità di lunghezza sul conduttore dovuta al campo തB generato dalla circolazione della corrente nel conduttore, sarà: z F I B a z I I μi πd 0 con B ax da cui : x F F d 0 B y F a y analogamente: F F a μoii N π d m y μoii N d m se le due correnti sono equiverse le forze sono attrattive se le due correnti sono controverse le forze sono repulsive. 9

20 Forza espressa in termini di energia magnetica La determinazione delle forze e delle coppie agenti su conduttori e circuiti attraversati da corrente in presenza di un campo magnetico utilizzando la legge di Ampere è piuttosto complicata, se non esistono particolari condizioni di simmetria. Un metodo alternativo per la determinazione delle forze (o coppie) suddette quando non esistono particolari condizioni di simmetria, è basato sul principio dei lavori virtuali, considerando i due casi: I) un sistema di circuiti con Φ k flussi magnetici concatenati costanti II) un sistema di circuiti con I k correnti costanti. 0

21 Forza espressa in termini di energia magnetica I)Se si assume che, per uno spostamento virtuale differenziale dl di uno dei circuiti attraversati dalla corrente, dф=0 nei flussi concatenati, non ci sarà alcuna f.e.m. indotta e = dф = 0, perciò la sorgente non fornisce energia dw s, il bilancio energetico sarà: dws dwm dwm dove തF Ф indica la forza in condizioni di flusso costante. Dunque, il lavoro meccanico fatto dal sistema è fatto a spesa di un decremento della energia magnetica accumulata. Se il circuito è vincolato a ruotare di un angolo θ intorno ad un asse, la z componente della coppia agente sul circuito sarà: Wm T N m z dt N F dl dw W dl F W m m m 0

22 Forza espressa in termini di energia magnetica II) Se si assume che, per uno spostamento virtuale dl i circuiti sono collegati a generatori di corrente (I=cost) che compensano alle f.e.m. indotte dovute alle variazioni di flusso concatenato, l energia che fornita dalle sorgenti é: dw I d Questa energia differenziale deve essere uguale alla somma del lavoro meccanico fatto dal sistema dw M = തF I dlҧ e dell incremento della energia magnetica: Poiché l energia magnetica è s k k k dw dw dw s M m Wm Ikdk Se il circuito è vincolato a ruotare intorno all asse z, la z componente della coppia agente sul circuito sarà: Wm T N m k dw I [N] dw F dl dw W dl F W M I m m m I z s

23 Forza espressa in termini di energia magnetica Si consideri un elettromagnete di sezione S e si voglia determinare la forza di attrazione sull armatura. Si consideri uno spostamento virtuale della armatura dy: I) nella ipotesi che la generatore (di tensione) mantenga il flusso costante, lo spostamento della armatura cambia la geometria del circuito nella sola lunghezza del traferro; quindi varia solo l energia magnetica immagazzinata nei due traferri. II) nella ipotesi la corrente I nella bobina sia costante, il generatore (di corrente) compensa la f.e.m indotta dovuta alla variazione di flusso per lo spostamento virtuale dl. In questo caso l energia magnetica immagazzinata aumenta a spese della energia fornita dal sistema esterno. Φ N F I 3 y