1 1+e ξ, (1) P A (ξ) = P B (ξ) = 1 1+e ξ (3) In figura (1) riportiamo l andamento delle probabilità P A (ξ) e P B (ξ). P A,P B

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1 Algoritmo di Elo generalizzato AEg Marcello Colozzo Siano A e B due giocatori che eseguono un gioco a somma zero G. La probabilità di vittoria per A è: dove P A ξ = +e ξ ξ = βr A R B 2 In questa equazione le grandezze R A R B + sono i punteggi di A e B i.e. la forza relativa di singolo giocatore mentre 0 < β < è un fattore di scala. La probabilità per B è P B ξ = P A ξ cioè: P B ξ = +e ξ 3 In figura riportiamo l andamento delle probabilità P A ξ e P B ξ. P A P B Ξ Figure : Grafico delle funzioni -3. Da ciò segue R B > R A = P A 0 P B 2 2 R B < R A = P A 2 P B 0 2 R B = R A = P A = P B = 2

2 Comportamento agli estremi del campo di esistenza: Premettiamo le seguenti definizioni: lim P Aξ = lim P Aξ = ξ + ξ lim P Bξ = 0 + lim P Bξ = ξ + ξ Definition A è infinitamente più forte di B se e solo se R A + R B + A è infinitamente più debole di B se e solo se R A R B + Analogamente per B: B è infinitamente più forte di A se e solo se R B + R A + B è infinitamente più debole di A se e solo se R B R A + Osserviamo che la grandezza ξ è una funzione reale delle variabili reali R A R B : ξr A R B = βr A R B per cui: D altre parte: R B + lim R A ± ξr AR B = ± R A + lim R B + ξr AR B = lim R A + R B + ξr A R B = In altri termini se A e B sono entrambi infinitamente forti la grandezza ξ si presenta nella forma indeterminata. In tal caso AEg non è in grado di fornire le probabilità P A P B. Ritroviamo l indeterminazione anche quando A e B sono entrambi infinitamente deboli: Riassumendo: lim R A R B ξr A R B = ξ + R A + OR/AND R B 5 ξ R A OR/AND R B + 2

3 Consideriamo ora N partite. Per un assegnato k {2...N} si ha: P Ak def = P A ξ k = +e ξ k P Bk def = P B ξ k = +e ξ k I relativi punteggi sono R Ak e R Bk. L esito della partita è controllato dal parametro: { vittoria per A W Ak = 0 altrimenti I punteggi si aggiornano secondo la legge: R Ak+ = R Ak +α W Ak P Ak R Bk+ = R Bk +α W Bk P Bk essendo α un coefficiente reale e positivo. Il gioco è a somma zero per cui: per cui: quindi: Se W Ak = è: risultando: 6 W Ak +W Bk = 7 R Bk+ = R Bk +α W Ak P Bk R Bk+ = R Bk α W Ak P Ak R Ak+ = R Ak +α P Ak R Ak+ = R Ak P Ak cioè se e solo se è vera la prima delle 5. Nel limite opposto P Ak 0 è R Ak+ = R Ak + α per cui il coefficiente α misura il massimo incremento del punteggio R Ak.: α = R Ak+ R Ak. Questo risultato è ragionevole nel senso che si ha il massimo incremento possibile del punteggio quando pur avendo una probabilità di vittoria nulla il giocatore batte l avversario che in tal caso ha probabilità. Di contro se W Ak = 0 si ha R Ak+ < R Ak cioè il giocatore perde punti. Analoghe considerazioni per B. Al termine della k-esima partita le probabilità per lak+-esima partita sono date da P Ak+ = +e ξ k+ P Bk+ = +e ξ k

4 Qui è: Tenendo conto delle 6-8: Cioè: ξ k+ = β R Ak+ R Bk+ ξ k+ = βr Ak R Bk +2αβW Ak P Ak che sostituita nella prima delle 9: Dalla segue: onde: ξ k+ = ξ k +2αβW Ak P Ak P Ak+ = +e ξ k e 2αβ P Ak W Ak ] P Ak+ = P Ak = +e ξ k e ξ k = P A k P Ak + P A k P Ak ] e 2αβP Ak W Ak 0 La 0 fornisce la regola di aggiornamento della probabilità di vincita per il giocatore A. La regola di aggiornamento per il giocatore B si calcola tramite la condizione di normalizzazione per cui P Bk+ = P Ak+ Resta così definita una successione {P Ak } k N dove N = {2...N + } i cui elementi sono definiti ricorsivamente dalla 0. La 0 può essere iterata nel piano delle fasi P Ak P Ak+. Più specificatamente viene iterata la funzione: f = + e Ak] 2αβ W 2 avendo posto = P Ak. Quindi AEg è un sistema dinamico iterato ] con funzione di trasferimento 2 e spazio degli stati X = 0]. In simboli: AEg. = {Xf} 4

5 Come è noto si applica il metodo di König-Lemaray. Assegnato lo stato iniziale 0 X il processo di iterazione genera una successione { n }: = f 0 2 = f = f f WAk 0 = f n = f n 0... Qui f n indica la composizione n-esima di f con se stessa eseguita n volte. Cioè: f n 0 = f f...f 0 }{{} n AEg si comporta alla stregua di una black bo nel senso che emette un output sulla base di un input e sulla legge di trasformazione f. Riguardo a quest ultima osserviamo che f è continua in 0]. Esaminiamo il comportamento per 0 + calcolando il limite: lim 0 +f = 0+ per cui = 0 è un punto di discontinuità eliminabile. Precisamente ridefiniamo f: { f se 0] f = 0 se = 0 Notiamo poi che f 0] = 0] per cui f è una mappa -dimensionale ]. Non è però una contrazione poichè 0] f >. Pertanto non è possibile applicare il teorema di Brouwer e l equazione f = potrebbe non avere soluzioni o averne una molteplicità finita. Per evidenziare la dipendenza da W Ak riscriviamo la 2: f WAk = + ] e 2αβ W Ak Ricordiamo che W Ak controlla l esito della partita k-esima ed è una variabile random definita in {0}. Più precisamente per un assegnato valore di 0] W Ak assume casualmente uno dei valori 0 o. Per fissare le idee supponiamo che per = 3 è W A = per cui: f WA = + ] e 2αβ 3 5

6 Si ricordi che è la probabilità per A nella prima partita. Dalla 3: 2 = f WA Tale valore è la probabilità di vincere la seconda partita. Ipotesi: nella seconda partita A subisce una sconfitta. Ciò implica W A2 = 0 e la funzione di trasferimento si scrive: f WA2 = + e 2αβ Questa espressione ci serve per determinare il nuovo valore della probabilità. Precisamente: f WA2 fwa Abbiamo dunque una funzione di trasferimento casuale nel senso che può essere una delle due: f = + ] e 2αβ f 0 = + e 2αβ In fig. 2. References ] Colozzo M Computabilità dei sistemi dinamici a tempo continuo. 6

7 P Ak P Ak Figure 2: Il giocatore A ha una probabilità iniziale P A0 =