Limiti di alcune funzioni elementari (parte prima)

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1 Matematica Open Source Quaderni di Analisi Matematica 206 Limiti di alcune funzioni elementari (parte prima) Marcello Colozzo a log a

2 Limiti di alcune funzioni elementari LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI È facile mostrare che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Non ci resta quindi che studiare il comportamento di tali funzioni nei punti di accumulazione non appartenenti a tali insiemi.. Potenza di esponente reale È la funzione: È istruttivo distinguere i due casi α > 0 e α < 0. f () = α, con α R. α > 0 Osserviamo innanzitutto che α > 0, + α = + () Consideriamo poi α razionale: α Q = α = m, con m,n N (n 0). Riguardo all insieme n di definizione di f, abbiamo i seguenti casi: n pari = f () = n m è definita in X = [0, + ) n dispari = f () = n m è definita in X = (, + ) Per n dispari, ridefiniamo l esponente α = m, con n N {0}, cosicchè f () = 2n 2n m. Il comportamento per, si deduce dalla () sfruttando la parità della funzione. Precisamente: m pari = f è pari = m dispari = f è dispari = + 2n m = + 2n m = + 2n m = + 2n m = Esempio Per m = 3, n = 4, abbiamo la funzione f () = 4 3, il cui grafico è riportato in fig.. Risulta: 4 3 = +, 4 3 = Per m = 3, n =, abbiamo la funzione f () = 3, il cui grafico è la parabola cubica, riportata in fig.2. Risulta: + 3 = +, 3 = Esempio 2 Per m = 2, n = 5, abbiamo la funzione f () = 5 2, il cui grafico è riportato in fig.3 Risulta: = +, 5 2 = +

3 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Figura : Grafico della funzione f () = 4 3 Figura 2: Grafico della funzione f () = 3. 2

4 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Figura 3: Grafico della funzione f () = α < 0 Scriviamo: f () = α = α (2) Abbiamo i seguenti casi: α = m, n dispari = X = (, 0) (0, + ) (3) n α = m, n pari = X = (0, + ) n α R Q = X = (0, + ) Nel primo caso i punti di accumulazione non appartenenti a X sono 0, +,. Nei rimanenti due casi, invece, abbiamo i punti 0 e +. In virtù della (2): α (, 0), + α = = + α + = 0+ Consideriamo la prima delle (3), ridifinendo α = m 2n : α = 2n m { = 0, se m è dispari = + 0+, se m è pari Inoltre: α = α = 0 + = + Osserviamo poi che per α = m, con n dispari, possiamo calcolare n 0 α, giacchè la funzione è definita anche per < 0. Abbiamo: 2n m 0 { 0 =, se m è dispari 0 + = +, se m è pari 3

5 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Ricapitolando: m dispari = { n = + m 2n m =, cioè, per m dispari, 2n m è non regolare in = 0. m pari = { n = + m 2n m = + = 0 2n m = +, cioè, per m pari, 2n m è regolare in = 0, risultando ivi divergente positivamente. Esempio 3 La funzione f () =, il cui grafico è un iperbole equilatera (fig. 4), rientra nel caso precedente. Precisamente è m,n dispari. Quindi la funzione è definita in R {0}, avendosi: = 0, 0 + = 0+ =, 0 + = + Figura 4: Grafico della funzione. Esempio 4 La funzione f () = 9, il cui grafico è riportato in fig. 5, rientra nel caso 4 precedente. Precisamente è m pari,n dispari. Quindi la funzione è definita in R {0}, avendosi: = 0+, 9 4 = = 0+ Di seguito riportiamo i grafici che riassumono i vari casi. 4

6 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI 2 2 Figura 5: Grafico della funzione n 2 m 2 n 2 m Figura 6: Nel diagramma cartesiano di 2n 2m stiamo considerando 2m > 2n. 2 n 2 m 2 n 2 m Figura 7: Nel diagramma cartesiano di 2n 2m stiamo considerando 2m < 2n. 5

7 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI 2 n 2 m 2 n 2 m.2 Polinomi Consideriamo il polinomio di grado n N {0} sul campo reale: f () = a n n + a n n + a n 2 n a + a 0, (a n 0) (4) Tale funzione è definita in (, + ), per cui calcoliamo i iti per ±. Agli estremi dell insieme di definzione, il polinomio (4) si presenta nella forma indeterminata. Per rimuovere l indeterminazione, applichiamo il seguente artificio: ( f () = a n n + a n a n a a n + a ) 0 n a n n Quindi: Cioè: f () (5) + ( ) [ ( = a n n + a n + + a n + a n 2 a n a 2 a n + a )] 0 n a n n ( ) ( ) ( ) ( ) = a n n + an a a }{{} a n + a }{{} n }{{ n + a } n }{{ n } = =0 =0 =0 f () = a n + + n = a n (+ ) = Procedendo allo stesso modo per : f () = a n n = { +, se an > 0, se a n < 0 { an (+ ), se n è pari a n ( ), se n è dispari Esempio 5 Calcoliamo ± f (), dove f () = Abbiamo: Applicando l artificio (5): f () = (+ ) + 3 (+ ) + (+ ) = + f () = + + [ 5 4 ( 3 )] = = 5 (+ ) = 6

8 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Per : f () = 5 4 = 5 (+ ) = Esempio 6 Calcoliamo ± f (), dove f () = Applicando l artificio (5): ( f () = [ )] 4 2 ( ) [ ( 5 = )] Per :.3 Funzione esponenziale Scriviamo: = (+ ) ( + 0) = + ( f () = ) 4 5 = f () = a, a > 0, a (6) La funzione (6) è definita in (, + ) e risulta, f () > 0, per cui il codominio di f è (0, + ). Ricordiamo che: a > 0 = a è strettamente crescente 0 < a < = a è strettamente decrescente Il diagramma cartesiano della funzione esponenziale è riportato in fig. 8. a a Figura 8: Diagramma cartesiano della funzione esponenziale. Si deduce facilmente che: { + a a > = = + a = 0 + { + a 0 < a < = = 0 + a = + 7

9 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Un caso speciale è a = e, essendo e la costante di Nepero..4 Funzione logaritmo Ricordiamo che tale funzione è l inversa della funzione esponenziale a. Infatti, a è strettamente monòtona in (, + ), onde è ivi invertibile. Per determinare l inversa, utilizziamo il procedimento standard e cioè risolviamo la seguente equazione rispetto alla variabile : = a = = lg a Qui appartiene al codominio della funzione esponenziale, cioè (0, + ). Ridifinendo la variabile nella variabile indipendente, otteniamo l espressione analitica della funzione logaritmo di base a: f () = lg a, (7) definita in X = (0, + ). Il codominio di (7) è manifestamente f (X) = (, + ). Dalla monotonia della funzione a, deduciamo la monotonia di lg a : a > 0 = lg a è strettamente crescente 0 < a < = lg a è strettamente decrescente Il diagramma cartesiano della funzione logaritmo di base a è riportato nelle figg a log a Figura 9: Diagramma cartesiano della funzione logaritmo di base a >. Si deduce facilmente che: { 0 + lg a > = a = + lg a = + { 0 + lg 0 < a < = a = + + a = Un caso speciale è a = e, essendo e la costante di Nepero. In tal caso si ottiene il logaritmo neperiano ln. 8

10 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI 0 a log a Figura 0: Diagramma cartesiano della funzione logaritmo di base 0 < a <. Osservazione 7 Quando si esegue il calcolo di un ite di funzioni contenenti il logaritmo, si scrive rapidamente: ln 0 + =, ln (+ ) = + Esempio 8 Calcoliamo dove f () = an b m con a,b > 0 e a b. Prendiamo il logaritmo della funzione: f (), + per cui: Quindi: dove Ne consegue: ln f () = ln an = (n ln a m ln b), bm (n ln a mln b) f () = e f () = + eλ, { +, se a λ = (n ln a m ln b) = n > b m +, se a n < b m { +, se a f () = n > b m + 0 +, se a n < b m.5 Funzioni iperboliche e iperboliche inverse Ricordiamo che: sinh = e e, cosh = e + e, (8) 2 2 tanh = sinh cosh = e e e + e 9

11 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Le (8) sono definite in (, + ). Risulta: sinh = + 2 ( e e ) = + + sinh = sinh = + L ultimo passaggio si giustifica osservando che sinh è una funzione dispari. Il grafico di sinh è riportato in fig.. Passiamo a cosh: sinh Figura : Diagramma cartesiano di sinh cosh = + 2 ( e + e ) = + + cosh = cosh = + + L ultimo passaggio si giustifica osservando che cosh è una funzione pari. Il grafico di cosh è riportato in fig. 2. Passiamo a tanh: e e tanh = + + e + e = e Per rimuovere l indeterminazione, utilizziamo il seguente artificio: e = e ( e 2 ) e +e onde: e 2 tanh = e = = Per : tanh = tanh = + 0 = e 2, e (+e 2 ) +e 2

12 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Figura 2: Diagramma cartesiano di cosh Figura 3: Diagramma cartesiano di tanh

13 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Tale passaggio si giustifica osservando che tanh è una funzione dispari. Il grafico di tanh è riportato in fig. 3. Le espressioni analitiche delle funzioni iperboliche inverse sono : ( arc sinh = ln + ) ( 2 +, arc cosh = ln + ) 2 arc tanh = 2 ln ( + ) arcsinh è definita in (, + ), arccosh in [, + ) 2, arctanh in (, ). Risulta: arc sinh = + + arc sinh = Il grafico di arcsinh è riportato in fig. 4. Passiamo a arccosh: Figura 4: Diagramma cartesiano di arcsinh. arc cosh = + + Il grafico di arccosh è riportato in fig. 5. Passiamo a arctanh: arc tanh = ( ) 2 2 ln = ln (+ ) = Il grafico di arctanh è riportato in fig. 6. arc tanh = arc tanh = + Al solito, per ottenere l espressione della funzione inversa di una assegnata f () invertibile, si risolve (rispetto a ) l equazione = f (). 2 Osserviamo che cosh è invertibile solo localmente. 2

14 LIMITI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI Figura 5: Diagramma cartesiano di arccosh Figura 6: Diagramma cartesiano di arctanh 3