Matematica con elementi di Informatica
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- Benedetta Fumagalli
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1 Funzioni Elementari Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche Anno Accademico 2018/19 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 1 / 23
2 Esempi di funzioni elementari Funzione Costante Funzione Identità Funzione Modulo Funzione Heaviside (neuroni) Funzioni lineari Funzioni affini Funzione Potenza Funzione Esponenziale Funzione Logaritmo Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 2 / 23
3 Potenza a R, a = 0, n N Definizione ricorsiva di potenza a n a 0 = 1 a n+1 = a a n n N Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 3 / 23
4 Potenza a R, a = 0, n N Definizione ricorsiva di potenza a n a 0 = 1 a n+1 = a a n n N valgono le proprietà: a n a m = a n+m per ogni n, m N (a n ) m = a nm per ogni n, m N Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 3 / 23
5 Potenza se a = 0, n N e n 1 allora si definisce 0 n = 0 mentre NON si attribuisce significato al simbolo 0 0 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 4 / 23
6 Potenza se a = 0, n N e n 1 allora si definisce 0 n = 0 mentre NON si attribuisce significato al simbolo 0 0 se a R, a = 0 e n N la potenza a n è definita come a n = 1 a n n N Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 4 / 23
7 Potenza se a = 0, n N e n 1 allora si definisce 0 n = 0 mentre NON si attribuisce significato al simbolo 0 0 se a R, a = 0 e n N la potenza a n è definita come a n = 1 a n n N rimangono valide per potenze di base a = 0 e con esponenti interi le proprietà già enunciate per esponenti naturali Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 4 / 23
8 Proprietà delle potenze Se a, b R, a, b = 0 e n, m Z valgono anche: 1 a n = ( ) 1 n = a n (ab) n = a n b n a ( a ) n a n ( ) b n = b b n = a (a n ) m = a n m Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 5 / 23
9 Funzione Potenza Se in a n teniamo l esponente n fissato e consideriamo la base variabile (indichiamola con x) otteniamo la funzione potenza ad esponente n, x x n Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 6 / 23
10 Funzione Potenza Se in a n teniamo l esponente n fissato e consideriamo la base variabile (indichiamola con x) otteniamo la funzione potenza ad esponente n, x x n n Z e n 1 x x n definita su tutto R es: x, x 2, x 3,... Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 6 / 23
11 Funzione Potenza Se in a n teniamo l esponente n fissato e consideriamo la base variabile (indichiamola con x) otteniamo la funzione potenza ad esponente n, x x n n Z e n 1 x x n definita su tutto R es: x, x 2, x 3,... n = 0 x x 0 = 1 definita su R \ {0} Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 6 / 23
12 Funzione Potenza Se in a n teniamo l esponente n fissato e consideriamo la base variabile (indichiamola con x) otteniamo la funzione potenza ad esponente n, x x n n Z e n 1 x x n definita su tutto R es: x, x 2, x 3,... n = 0 x x 0 = 1 definita su R \ {0} n Z e n 1 x x n definita su R \ {0} es: x 1, x 2, x 3,... Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 6 / 23
13 Funzione Radice in [0, + ) si definisce, sfruttando la completezza ordinale, il concetto di radicale: se n 2 è intero, per ogni x 0, x R esiste unico y 0 tale che y n = x viene indicato con il simbolo n x Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 7 / 23
14 Funzione Radice in [0, + ) si definisce, sfruttando la completezza ordinale, il concetto di radicale: se n 2 è intero, per ogni x 0, x R esiste unico y 0 tale che y n = x viene indicato con il simbolo n x se a > 0 e r = m/n, dove m, n Z e n > 1, allora definiamo a r = a m/n = n a m Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 7 / 23
15 Funzione Radice in [0, + ) si definisce, sfruttando la completezza ordinale, il concetto di radicale: se n 2 è intero, per ogni x 0, x R esiste unico y 0 tale che y n = x viene indicato con il simbolo n x se a > 0 e r = m/n, dove m, n Z e n > 1, allora definiamo a r = a m/n = n a m se r Q e r > 0, allora definiamo 0 r = 0 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 7 / 23
16 Funzione Radice in [0, + ) si definisce, sfruttando la completezza ordinale, il concetto di radicale: se n 2 è intero, per ogni x 0, x R esiste unico y 0 tale che y n = x viene indicato con il simbolo n x se a > 0 e r = m/n, dove m, n Z e n > 1, allora definiamo a r = a m/n = n a m se r Q e r > 0, allora definiamo 0 r = 0 rimane valida la proprietà fondamentale a r1 a r 2 = a r 1+r 2, per ogni r 1, r 2 Q Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 7 / 23
17 Radice - base positiva Per poter definire le funzioni radice ci si deve restrigere al dominio R + perchè altrimenti applicando le proprietà delle potenze si giungerebbe ad un assurdo, ovvero ad una funzione che assegna ad uno stesso numero (negativo) due distinti valori. Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 8 / 23
18 Radice - base positiva Per poter definire le funzioni radice ci si deve restrigere al dominio R + perchè altrimenti applicando le proprietà delle potenze si giungerebbe ad un assurdo, ovvero ad una funzione che assegna ad uno stesso numero (negativo) due distinti valori. Ad esempio 3 8 = ( 8) 1/3 = (( 2) 3 ) 1 3 = = 3 2 ( 8) 2 = 6 64 = 6 (8) 2 = (8) 2/6 = (8) 1/3 = ((2) 3 ) 1 3 = 2 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 8 / 23
19 Funzione Esponenziale Alternativamente, se in a n teniamo la base a = 0 fissata e consideriamo l esponente n variabile otteniamo la funzione n a n, n Z Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 9 / 23
20 Funzione Esponenziale Alternativamente, se in a n teniamo la base a = 0 fissata e consideriamo l esponente n variabile otteniamo la funzione n a n, n Z particolarmente interessanti i casi: 0 < a < 1 n a n è strettamente decrescente a = 1 n a n è la costante 1 a > 1 n a n è strettamente crescente Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 9 / 23
21 Funzione Esponenziale Infine, si dà un senso al simbolo a x con a > 0 e x R sia a R e a > 0 esiste unica funzione monotona f : R R tale che f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a per ogni x 1, x 2 R Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 10 / 23
22 Funzione Esponenziale Infine, si dà un senso al simbolo a x con a > 0 e x R sia a R e a > 0 esiste unica funzione monotona f : R R tale che f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a è chiamata funzione esponenziale di base a, per ogni x 1, x 2 R f (x) = a x Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 10 / 23
23 Funzione Esponenziale Infine, si dà un senso al simbolo a x con a > 0 e x R sia a R e a > 0 esiste unica funzione monotona f : R R tale che f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a per ogni x 1, x 2 R è chiamata funzione esponenziale di base a, f (x) = a x Si dimostra che, per ogni base a fissata, f (x) = a x è continua. Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 10 / 23
24 Esponenziale e proprietà delle potenze le due proprietà caratteristiche di f (x) = a x f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a per ogni x 1, x 2 R si leggono come a x 1+x 2 = a x1 a x 2 per ogni x 1, x 2 R a 1 = a Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 11 / 23
25 Esponenziale e proprietà delle potenze vale anche a x 1x 2 = (a x 1 ) x 2 per ogni x 1, x 2 R Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 12 / 23
26 Esponenziale e proprietà delle potenze vale anche a x 1x 2 = (a x 1 ) x 2 per ogni x 1, x 2 R su N la funzione a x in particolare, a 0 = 1 si comporta come la potenza a n Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 12 / 23
27 si distinguono tre casi: Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 13 / 23
28 si distinguono tre casi: a = 1: la funzione a x è la costante 1 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 13 / 23
29 si distinguono tre casi: a = 1: la funzione a x è la costante 1 0 < a < 1: la funzione a x è strettamente decrescente (quindi iniettiva) e ha immagine (0, + ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 13 / 23
30 si distinguono tre casi: a = 1: la funzione a x è la costante 1 0 < a < 1: la funzione a x è strettamente decrescente (quindi iniettiva) e ha immagine (0, + ) a > 1: la funzione a x è strettamente crescente (quindi iniettiva) e ha immagine (0, + ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 13 / 23
31 Funzione Logaritmo sia a > 0 e a = 1; la funzione esponenziale a x : R (0, + ) è biiettiva Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 14 / 23
32 Funzione Logaritmo sia a > 0 e a = 1; la funzione esponenziale a x : R (0, + ) è biiettiva ha inversa, che chiamiamo funzione logaritmo in base a log a : (0, + ) R tale che log a (a x ) = x x R Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 14 / 23
33 Funzione Logaritmo sia a > 0 e a = 1; la funzione esponenziale a x : R (0, + ) è biiettiva ha inversa, che chiamiamo funzione logaritmo in base a log a : (0, + ) R tale che o log a (a x ) = x x R a log a y = y y (0, + ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 14 / 23
34 in corrispondenza con le proprietà caratteristiche di a x, per log a (x) abbiamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) x 1, x 2 > 0 log a (1) = 0 log a (a) = 1 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 15 / 23
35 in corrispondenza con le proprietà caratteristiche di a x, per log a (x) abbiamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) x 1, x 2 > 0 log a (1) = 0 log a (a) = 1 si ottiene che, se b > 0, allora log a (b y ) = y log a (b), y R Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 15 / 23
36 per log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) infatti vediamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 16 / 23
37 per log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) infatti vediamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) se e solo se a log a(x 1 x 2 ) = a log a(x 1 )+log a (x 2 ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 16 / 23
38 per log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) infatti vediamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) se e solo se se e solo se a log a(x 1 x 2 ) = a log a(x 1 )+log a (x 2 ) x 1 x 2 = a log a(x 1 ) a log a(x 2 ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 16 / 23
39 per log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) infatti vediamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) se e solo se se e solo se se e solo se vero! a log a(x 1 x 2 ) = a log a(x 1 )+log a (x 2 ) x 1 x 2 = a log a(x 1 ) a log a(x 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 16 / 23
40 per log a (b y ) = y log a (b), y R infatti vediamo log a (b y ) = y log a (b) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 17 / 23
41 per log a (b y ) = y log a (b), y R infatti vediamo log a (b y ) = y log a (b) se e solo se a log a(b y ) = a y log a(b) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 17 / 23
42 per log a (b y ) = y log a (b), y R infatti vediamo log a (b y ) = y log a (b) se e solo se se e solo se a log a(b y ) b y = = a y log a(b) (a log a(b) ) y Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 17 / 23
43 per log a (b y ) = y log a (b), y R infatti vediamo log a (b y ) = y log a (b) se e solo se se e solo se se e solo se vero! a log a(b y ) b y = b y = a y log a(b) (a log a(b) ) y = (b) y Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 17 / 23
44 se a > 1, la funzione log a (x) è strettamente crescente se 0 < a < 1, log a (x) è strettamente decrescente Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 18 / 23
45 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da a = u log u a otteniamo a x = (u log u a ) x = u (log u a)x identità x R Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 19 / 23
46 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da a = u log u a otteniamo a x = (u log u a ) x = u (log u a)x identità x R l esponenziale a x, con base a, si può scrivere come esponenziale u kx, con base u e k = log u a Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 19 / 23
47 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da y = a log a y otteniamo identità log u y = log u (a log a y ) = (log a y) (log u a) y (0, + ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 20 / 23
48 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da y = a log a y otteniamo identità log u y = log u (a log a y ) = (log a y) (log u a) y (0, + ) e quindi log a y = log u y log u a y (0, + ) Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 20 / 23
49 Cambiamenti di base log a y = log u y log u a y (0, + ) il logaritmo log a y, con base a, si può scrivere come multiplo del logaritmo log u y, con base u, con fattore 1/ log u a Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 21 / 23
50 possiamo riferire esponenziali o logaritmi in qualunque base ad esponenziali e logaritmi in un unica base scelta convenzionalmente numero che viene principalmente utilizzato come base: e numero irrazionale che vale approssimativamente e scriviamo spesso exp x per e x e ln x per log e x Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 22 / 23
51 Il ph ph = log a H + a H + attività (direttamente proporzionale alla concentrazione) degli ioni idrogeno (o meglio dell idronio a H3 O +) a H + < 10 7 ph < 7 soluzioni ACIDE a H + = 10 7 ph = 7 soluzioni NEUTRE a H + > 10 7 ph > 7 soluzioni BASICHE Esempio: ph pioggia 6.5 => a H + = ph sangue 7.4 => a H + = Rapporto: / = L attività, e quindi la concentrazione, degli ioni nella pioggia è 8 volte maggiore di quella del sangue. Funzioni Elementari Anno Accademico 2018/19 23 / 23
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