La funzione logaritmo

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1 La funzione logaritmo 1 In generale non é possibile esprimere mediante operazioni algebriche la soluzione della generica equzione esponenziale, ad esempio 5 z = 18 e quindi diamo un nome a quei numeri reali che sono soluzione della stessa: Chiamiamo log 5 18 quell esponente che applicato alla base 5 dá 18, ovvero log 5 18 é la soluzione della equazione 5 z = 18 In generale: log a x é quell esponente che applicato alla base a dá il numero x, ovvero log a x é la soluzione della equazione in z 5 z = x 2 z = log a x a z = x Osserviamo che, data la base a, x log a x definisce una funzione. Proprietá dei logaritmi 1. Qualunque sia la base, il logaritmo di un numero negativo non esiste 1, quindi 1 - bis. La funzione log a x é definita nell insieme dei numeri reali strettamente positivi {x R : x > 0}. 1 almeno nell insieme dei numeri reali, che é l unico che consideriamo 1

2 2. Qualunque sia la base a si ha log a 1 = 0 infatti si ha a 0 = 1 per qualunque a R 3. Qualunque sia la base a si ha log a a = 1 infatti si ha a 1 = a per qualunque a R 4.1. Se a > 1 si ha: log a x < 0 x (0, 1) 4.2. Se 0 < a < 1 si ha: log a x > 0 x > 1 log a x > 0 x (0, 1) log a x < 0 x > 1 5. Il logaritmo del prodotto di due numeri é uguale alla somma del logaritmo dei due numeri ovvero log a x y = log a x + log a y Ovvia conseguenza della proprietá delle potenze a z 1 z 2 = a z 1 + a z 2 2 Questa proprietá dei logaritmi é quella che li rende particolarmente popolari nelle applicazioni economiche ed econometriche. 5 - bis. Il logaritmo del quoziente di due numeri é uguale alla differenza del logaritmo dei due numeri ovvero log a x y = log a x log a y Ovvia conseguenza della proprietá delle potenze a z 1 z 2 = az 1 3 a z 2 2 Tentare la dimostrazione non nuoce. 3 Anche in questo caso, tentare la dimostrazione non nuoce. 2

3 5 - ter Il logaritmo della potenza di un numero positivo é uguale al prodotto dell esponente per il logaritmo della base ovvero log a x y = log a x + log a y Ovvia conseguenza della proprietá delle potenze (a z 1 ) z 2 = a z 1 z 2 4 Quiz. Calcolare la probabilitá di essere promossi scrivendo durante la prova di esame la seguente uguaglianza log a x 2 = 2 log x 3 EQUAZIONI LOGARITMICHE Un equazioni si dice logaritmica quando l incognita compare come argomento di un logaritmo. Esempi: 1. ln(x + 1) ln(x 1) = ln 2 2. log 10 (19x + 1) = 1 + log 10 (3 x) log(2x + 3) = log x La prima operazione da effettuare consiste sempre nel definire esattamente le condizioni di esistenza dei logaritmi cha appaiono nelle equazioni 1. x + 1 > 0, x 1 > 0, ovvero: { x + 1 > 0 x 1 > 0 sistema che ha come soluzione x > 1 quindi possiamo scrivere, applicando le varie proprietá dei logaritmi: ovvero log x + 1 x 1 = log 2 x + 1 x 1 = 2 4 Tentare la dimostrazione non nuoce nemmeno in questo caso. 3

4 la cui soluzione algebrica é x = 3, che é soluzione della equazione logaritmica perché verifica la condizione di esistenza di tutti i logaritmi x > Condizioni { di esistenza 19x + 1 > 0 3 x > 0 ovvero 19 3 < x < 3 Risoluzione dell equazione: log 10 (19 + x) = log log 10 (3 x) = log 10 (30 10x) verificata se e sole se é verificata l equazione algebrica 19x+1 = 30 10x, la cui soluzione é x = 1, che risulta essere anche la soluzione della equazione logaritmica in quanto verifica le condizioni di esistenza di tutti i logaritmi coinvolti. 3. { Condizione di esistenza: 2x + 3 > 0 x > 0 sistema verificato per x > 0 Risoluzione dell equazione: 1 ln(2x + 3) = log x 2 ln(2x + 3) 1 2 = log x verificata se e solo se é verificata l equazione algebrica (2x + 3) 1 2 = x x 2 2x 3 = 0 le cui soluzioni sono x 1 = 1 e x 2 = 3. Perché solo x 2 é la soluzione della equazione logaritmica di partenza? 4 DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Una disequazione logaritmica é una disequazione in cui l incognita costituisce l argomento del logaritmo. Nella sua forma elementare é 4

5 oppure log a x > b log a x < b In entrambi i casi deve essere a > 0 e a 1 e dovremo considerare i soli valori x > 0. Per prima cosa, poiché l equazione log a β = b ha una e una sola soluzione, possiamo scrivere: oppure log a x > log a β log a x < log a β Analizziamole separatamente. I. log a x > log a β Distinguiamo due casi: 1. 0 < a < 1 In questo caso la funzione log a x é una funzione decrescente, e quindi la log a x > log a β 0 < x < β 2. a > 1 In questo caso la funzione log a x é una funzione crescente, e quindi la II. log a x > log a β x > β log a x < log a β Anche in questo caso distinguiamo due casi: 1. 0 < a < 1 In questo caso la funzione log a x é una funzione decrescente, e quindi la 5

6 log a x < log a β x > β 2. a > 1 In questo caso la funzione log a x é una funzione crescente, e quindi la log a x > log a β x < β 6