Verica di Matematica (recupero) su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO 1]

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1 Verica di Matematica (recupero) su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO 1] 1. Risolvere la seguente equazione esponenziale: x 9 2 x 1 = Risolvere la seguente equazione logaritmica: log 5 (x + ) + log 5 (2x) = log 5 (10). 3. Risolvere la seguente disequazione esponenziale: e x2 x e 2x Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log 1 () + log 1 (x + ) log 1 (5x 7). 1

2 Verica di Matematica (recupero) su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO 2] 1. Risolvere la seguente equazione esponenziale: 7 x x 78 = Risolvere la seguente equazione logaritmica: ln 2 (x) + 11 ln(x) + 10 = Risolvere la seguente disequazione esponenziale: ( 2 x 2 ( ) 2 x ) 3. Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log (2) + log (x 2 ) > log (x). 2

3 Verica di Matematica (recupero) su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO 3] 1. Risolvere la seguente equazione esponenziale: 2 2x x 1 = Risolvere la seguente equazione logaritmica: log 2 (x + 1) + log 2 (x 1) = log 2 (15). 3. Risolvere la seguente disequazione esponenziale: 15 7x2 3 x 5 x > 0.. Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log 1 (x) + log 1 () < log 1 (15x + 7). 3

4 Verica di Matematica (recupero) su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO ] 1. Risolvere la seguente equazione esponenziale: 2 5 x 1 7 x 1 = Risolvere la seguente equazione logaritmica: Log 2 (x) 2Log(x) + 1 = Risolvere la seguente disequazione esponenziale: ( ) 1 5 x ( 1 5 x ). Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log 7 (2x + 5) + log 7 (x + 1) log 7 (1).

5 Soluzione degli esercizi Parte I Correzione Compito [1] 1. Posto t = 2 x da cui x = log 2 (t), l'equazione si scrive come 10t 2 9t 1 = 0. che ammette come soluzioni t 1 = 1 10 t 2 = 1. Ne segue x 1 = log 2 (t 1 ) = log 2 (1/10) x 2 = log 2 (t 2 ) = log 2 (1) = 0 che sono entrambe accettabili. 2. Il dominio D dei logaritmi che compaiono nell'equazione è dato dalle soluzioni del sistema di disequazioni: { { x + > 0 x > 2x > 0 = x > 0 Pertanto D = (0, + ). Applicando la proprietà log(a) + log(b) = log(ab), si ha: da cui log 5 (2x 2 + 8x) = log 5 (10) 2x 2 + 8x = 10 = 2x 2 + 8x 10 = 0 e, dividendo ambo i membri per 2, che ha come soluzioni x 2 + x 5 = 0 x 1 = 5 / D x 2 = 1 D per cui solo x 2 è soluzione accettabile. 3. Trasportando il termine negativo al secondo membro della disequazione, si ha: e x2 x e 2x 8 da cui, essendo e > 1, x 2 x 2x 8 = x 2 x 2x = x 2 x che ha, per soluzione, l'insieme S = (, 2] [, + ). 5

6 . Le soluzioni della disequazione sono costituite dalle soluzioni del sistema di disequazioni x + > 0 5x 7 > 0 x + 2 5x 7 dove le prime due disequazioni servono per determinare il dominio dei logaritmi e la terza risolve la disequazione in cui la base dei logaritmi è una frazione propria dopo aver scritto log 1 () + log 1 (x + ) come log 1 (x + 2) per una già citata proprietà. Scrivendo la terza disequazione del sistema in forma canonica, si ha: x + > 0 5x 7 > 0 x le cui soluzioni costituiscono l'insieme S = (7/5, + ).

7 Parte II Correzione Compito [2] 1. Scrivendo 7 x+2 come x, l'equazione si scrive come ovvero come da cui e, in denitiva, x = log 7 (2) x 10 7 x 78 = x 10 7 x 78 = x = 78 = 7 x = 2 2. Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è, evidentemente, D = (0, + ). Posto t = ln(x) da cui x = e t, l'equazione si riconduce alla seguente equazione algebrica di secondo grado: t t + 10 = 0 le cui soluzioni sono t 1 = 10 t 2 = 1. Ne segue x 1 = e t 1 = e 10 = 1 e 10 x 2 = e t 2 = e 1 = 1 e che sono entrambe accettabili. 3. Trasprtando il termine negativo al secondo membro, la disequazione può scriversi come da cui, essendo 0 < 2/3 < 1, ( 2 x 2 ( 2 x+2 3) 3) x 2 x + 2 = x 2 x 2 0 = x 1 x 2. Le soluzioni della disequazione di partenza costituiscono, dunque l'insieme S = (, 1] [2, + ). 7

8 . Le soluzioni della disequazione log (2) + log (x 2 ) > log (x) sono da ricercarsi in quelle del sistema di disequazioni x 2 > 0 x > 0 2x 2 x > 0 dove le prime due disequazioni costituiscono le condizioni imposte per l'esistenza dei logaritmi che compaiono nella disequazione mentre la terza si ottiene da: log (2) + log (x 2 ) > log (x) = log (2x 2 ) > log (x) = 2x 2 > x avendo tenuto conto del fatto che la base dei logaritmi è maggiore di 1. La disequazione x 2 > 0 ha come soluzioni tutte le x non nulle ovvero l'insieme D 1 = (, 0) (0, + ); la seconda disequazione, evidentemente, l'insieme D 2 = (0, + ); la terza disequazione ha come soluzioni i valori esterni all'intervallo [0, 1] e, cioè, l'insieme D 2 3 = (, 0) ( 1, + ). Ne segue, indicando con S l'insieme delle soluzioni del sistema 2 e, quindi, della disequazione di partenza S = D 1 D 2 D 3 = ( 1 2, + ). 8

9 Parte III Correzione Compito [3] 1. Posto u = x da cui x = log (u), l'equazione si riconduce all'equazione algebrica 2u u 1 = 0 le cui soluzioni sono u 1,2 = 1 ± ovvero u 1 = 1 u 2 2 = 1. Si ha, adesso, ( x 1 = log (u 1 ) = log 1 ) 2 = 1 ± 9 [soluzione non accettabile]; x 2 = log (u 2 ) = log (1) = 0 [soluzione accettabile]. = 1 ± 3 2. Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è dato dall'insieme D delle soluzioni del sistema di disequazioni { x + 1 > 0 da cui { x > 1 x > +1 x 1 > 0 = x > 1 = D = (1, + ) Applicando la proprietà della somma dei logaritmi, l'equazione può essere scritta come log 2 (x 2 1) = log 2 (15) da cui, essendo i logaritmi nella stessa base, x 2 1 = 15 = x 2 = 1 = x = ± 1 = ± La soluzione x = non è accettabile poiché / D mentre x = è soluzione accettabile essendo D. 3. Applicando la proprietà a n b n = (ab) n, si ha che 3 x 5 x = 15 x per cui la disequazione si scrive come 15 7x2 15 x > 0 = 15 7x2 > 15 x da cui essendo la base maggiore di 1, 7x 2 > x = 7x 2 x > 0 = x < 0 x > 1 7 e l'insieme delle soluzioni è, pertanto, S = (, 0) (1/7, + ). 9

10 . La disequazione è equivalente al sistema di disequazioni x > 0 15x + 7 > 0 59x + 28 < 0 dove le prime due disequazioni costituiscono le condizioni imposte per l'esistenza dei logaritmi che compaiono nella disequazione mentre la terza si ottiene da: log 1 (x) + log 1 () < log 1 (15x + 7) = log 1 ( x ) < log 1 (15x + 7) = x < 15x + 7 = 15x + 7 x < 0 = 59x + 28 < 0 avendo tenuto conto del fatto che log(a) log(b) = log(a/b) e che la base dei logaritmi è minore di 1. La disequazione x > 0 ha come soluzioni, evidentemente, l'insieme D 1 = (0, + ); la disequazione 15x + 7 > 0 è risolta per x > 7/15 ovvero sull'insieme D 2 = ( 7/15, + ); la disequazione 59x + 28 < 0 ha per soluzioni x < 28/59 ovvero l'insieme D 3 = (, 28/59). Ne segue, indicando con S l'insieme delle soluzioni del sistema e, quindi, della disequazione di partenza S = D 1 D 2 D 3 =. 10

11 Parte IV Correzione Compito [] 1. Dividendo ambo i membri dell'equazione per 2, si ha: 5 x 7 7 x 1 = 0 = 5 x 7 x = 0 da cui, trasportando il termine negativo al secondo membro, ( ) 5 x = 7 x = 5x 5 x 7 = 1 = = 1 x 7 da cui segue x = Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, coincide con l'insieme D = (0, + ). Riconoscendo che il primo membro è il quadrato di Log 1, l'equazione si scrive come [Log(x) 1] 2 = 0 = Log 1 = 0 = Log(x) = 1 = x = 10. In alternativa, posto v = Log(x) da cui x = 10 v, l'equazione si riconduce ad una equazione algebrica. 3. Trasoportando il termine negativo al secondo membro, la disequazione si scrive come ( ) 1 5 x ( ) 1 5 x da cui, essendo la base una frazione propria, 5 x 5 x 2 = x 2 x 0 = x 0 x 1. L'insieme delle soluzioni è, pertanto, S = (, 0] [1, + ).. La disequazione è equivalente al sistema di disequazioni 2x + 5 > 0 x + 1 > 0 2x 2 + 7x 9 0 dove le prime due disequazioni costituiscono le condizioni imposte per l'esistenza dei logaritmi che compaiono nella disequazione mentre la terza si ottiene da: log 7 (2x+5)+log 7 (x+1) < log 7 (1) = log 7 [(2x + 5)(x + 1)] log 7 (1) 11

12 = (2x + 5)(x + 1) 1 = 2x 2 + 7x = 2x 2 + 7x 9 0 avendo tenuto conto del fatto che log(a)+log(b) = log(ab) e che la base dei logaritmi è maggiore di 1. La disequazione 2x + 5 > 0 ha come soluzioni x > 5 ovvero l'insieme 2 D 1 = ( 5, + ); la disequazione x + 1 > 0 è risolta per x > 1 ovvero 2 sull'insieme D 2 = ( 1, + ). Risolviamo la disequazione 2x 2 + 7x 9 0. L'equazione ad essa associata è 2x 2 + 7x 9 = 0 che ha per soluzioni x 1,2 = 7 ± = 7 ± 121 = 7 ± 11 = x 1 = 9 2 x 2 = 1 da cui, essendo il segno del coeciente di x 2 concorde col verso della disequazione, quest'ultima è vericata per valori esterni all'intervallo (x 1, x 2 ) ovvero sull'insieme D 3 = (, 9/2] [1, + ). Ne segue, indicando con S l'insieme delle soluzioni del sistema e, quindi, della disequazione di partenza S = D 1 D 2 D 3 = [1, + ). 12