4 cos 2 x /2 8 cos x 7 2 sen 2 x 1

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1 Esercizio n 621 pag. Q 76 Risolvi la seguente disequazione: 4 cos 2 x /2 8 cos x sen 2 x 1 Imponiamo l'esistenza del radicale: 4 cos 2 x /2 8 cos x 7 0. Applichiamo le formule di bisezione: 4 1 cos x 8 cos x 7 0 cos x k x 3 2k. Imponiamo l'esistenza della frazione: 2 sen 2 x 1 0 x ± 2 2 x 4 k 2, ovvero: x ± 4 k. Dopo avere imposto queste condizioni, osserviamo che il numeratore è positivo o nullo (in quanto consiste di una radice di indice pari), il denominatore è strettamente positivo (in quanto consiste di un valore assoluto a cui è stato imposto di essere diverso da zero), pertanto la disequazione è sempre verificata. L'insieme delle soluzioni della disequazione è quindi semplicemente l'intersezione delle precedenti condizioni di esistenza: 3 2k x 3 2k x ± 4 k.

2 Esercizio n 11 pag. Q 89 Data la funzione y= 3 sen x cos x 1 : a. determina il campo di esistenza e i punti di intersezione con l'asse x; b. calcola per quali valori di x la funzione è minore o uguale a 3 in [0,2 ] ; c. dimostra che è possibile scrivere l'equazione della funzione nella forma y=3 ctg x /2 e traccia il grafico verificando i risultati ottenuti nei punti precedenti; d. discuti al variare di k il numero di soluzioni dell'equazione: y=3 ctg x 2 =k 1 quando 3 x 3 2. a. Campo di esistenza: den 0 cos x 1 x 2k. Intersezioni con asse x: sen x=0 x= 2 k (tenendo conto del campo di esistenza). 2 b. 3 sen x cos x 1 3 sen x cos x 1 1. Poiché cos x 1 0 su tutto il campo di esistenza, possiamo scrivere cos x 1 =1 cos x e moltiplicare entrambi i membri per la quantità 1 cos x, che è sicuramente positiva: sen x 1 cos x. Tenendo conto del segno di sen x, per risolvere la diseq. possiamo considerare i due casi: { sen x 1 cos x per 0 x sen x 1 cos x per x 2. Risolviamo entrambe le disequazioni con metodo grafico. Nel primo caso, otteniamo: X Y 1 0 che, tenendo conto dell'intervallo preso in considerazione, fornisce la soluzione: 2 x. Nel secondo caso, invece, otteniamo: X Y 1 0 che, sempre limitandoci all'intervallo considerato, fornisce la soluzione: x 3 2. La soluzione della disequazione considerata è data dall'unione dei due intervalli determinati: Sol : 2 x 3 2. c. Partiamo dalla formula di bisezione della tangente scritta in forma razionale: tg x 2 =1 cos x sen x.

3 Uguagliamo i reciproci di entrambi i membri: ctg x 2 = sen x 1 cos x e prendiamone il valore assoluto: ctg x 2 = sen x cos x 1 (tenendo conto del fatto che f x = f x ). Il grafico della funzione può quindi essere ottenuto partendo da quello di y=ctg x, applicando una dilatazione di un fattore 2 lungo l'asse x, una dilatazione di un fattore 3 lungo l'asse y, e considerando il valore assoluto della funzione così ottenuta. 3 3 π/3 3/2π d. Calcoliamo f 3 =3 ctg 6 =3 3 5,20 e f 3 2 =3 ctg 3 4 =3. In questa simpaticissima domanda, la ricerca delle soluzioni dell'equazione parametrica è equivalente a quella dei punti di intersezione tra il grafico della funzione y=3 ctg x/ 2 e la retta generica appartenente al fascio improprio di equazione y=k 1. Vediamo quindi dal grafico che: per k 3 3 1, l'equazione non ammette soluzioni accettabili (anche la soluzione limite x= /3 non è accettabile); per 4 k 3 3 1, l'equazione ammette una soluzione accettabile; per k=4, l'equazione ammette una soluzione ordinaria ed una soluzione limite x= 3 2 ; per 1 k 4, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte; per k=1, l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti in x= ; per k 1, l'equazione non ammette soluzioni reali.

4 Esercizio n 12 pag. Q 89 Data la funzione y= cos x k sen x : a. trova il valore di k per cui il suo grafico passa per A /3, 2. Assegnato a k il valore calcolato: b. determina il campo di esistenza della funzione e i punti di intersezione con gli assi in [0,2 ] ; c. calcola per quali valori di x è y 1/ 2 ; d. determina il periodo, trasforma l'equazione della funzione nella forma y= a sen x e rappresentala graficamente. a. Imponiamo f 3 = k 2 2 = 2 k 3 1=2 k= 3. b. Campo di esistenza: cos x 3 sen x 0. Utilizziamo la formula dell'angolo aggiunto : 2 sen x k x k 6 2 k x k. Limitandoci all'intervallo [0,2 ], troviamo: per k=0, le soluzioni 0 x 5 6 ; per k=1, le soluzioni 11 6 x 2. Il campo di esistenza è formato dall'unione dei due intervalli trovati. Intersezione con asse y: 0,1. Intersezioni con asse x: 5 6 c. Imponiamo cos x 3 sen x 1 2.,0, 11 6,0. Poiché entrambi i membri sono positivi o nulli, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri: cos x 3 sen x Si tratta di una disequazione lineare non omogenea in sen x e cos x. Per giungere più velocemente al risultato del libro, la risolviamo applicando le formule parametriche: 1 t 2 2t 1 t t t 2 4 3t 1 0 t 1 t t 2, dove t 1 = e t 2 = Poiché t=tg x 2, e la funzione y=tg x è crescente su un periodo, la soluzione diventa:

5 t 1 tg x 2 t 2 arctg t 1 k x 2 arctg t 2 k 2 arctg t 1 2 k x 2 arctg t 2 2 k. d. Come abbiamo visto nel punto b), la funzione può essere scritta: y= 2 sen x /6. Da questa forma è più agevole vedere che il periodo è T =2. Il grafico può essere ottenuto partendo dalla funzione y=sen x e sottoponendola ad una traslazione di /6 verso sinistra, ad una dilatazione verticale di un fattore 2 e, infine, componendola con la funzione y= x.