DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

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Leona Masini
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1 Pagina 5 Disequazioni goniometriche elementari: DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Si definisce disequazione goniometrica elementare ed ha la forma sen < > m dove m è un qualsiasi numero reale poiché sen e cos, una disuguaglianza fra due espressioni goniometriche che viene definita per alcuni valori che si attribuiscono agli angoli. N Esempi di disequazioni goniometriche elementari sono: ( METODO) sen > Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata maggiore di associando l equazione: sen trovando le soluzioni di tale equazione (che rappresentano gli estremi degli archi), che sono: + κ e + κ rappresentando graficamente i punti P e P di ordinata otterremo: y P P Come è facile vedere dal grafico, la disequazione risulterà verificata per + κ < < + κ N ( Metodo) Tale metodo permette di risolvere una disequazione goniometrica tramite l uso delle rappresentazioni sinusoidali e cosinusoidali delle funzioni sen e cos. Tale metodo è comunque poco usato nelle risoluzioni di disequazioni non elementari. sen > ponendo la seguente condizione

2 Pagina 5 y sen y > la prima identità rappresenta la funzione seno che ha come grafico la sinusoide, la seconda cui va associata l equazione y rappresenta una retta parallela all asse. Rappresentando graficamente noteremo che: y > < N cos associando avremo: cos di cui le soluzioni sono: ± + κ rappresentando graficamente avremo: y P O P La disequazione come si nota dal grafico avrà per soluzioni + κ + κ N cos

3 Pagina 5 associando l equazione avremo: cos di cui le soluzioni sono: ± + κ rappresentando graficamente y P O P La disequazione, come si nota dal grafico (e tenuto in considerazione il seno, opposto rispetto all esempio precedente) avrà per soluzione + κ +κ DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI A ELEMENTARI Sono disequazioni riconducibili ad elementari tutte quelle disequazioni che attraverso abbassamento di grado o semplificazione assumono la forma sen < > m Esempio n cos + cos risolvendo come un equazione di grado, avremo: + > cos ± 8 cos e cos tali valori rappresentano gli estremi dell arco da considerare, sono infatti soluzioni dell equazione associata cos + cos Essendo cos + κ 5 cos + κ e + κ

4 Pagina 55 Rappresentando graficamente avremo: y P P O P 5 Come si nota dal grafico la disequazione è verificata per 5 + κ + κ N sin { } sin sin sin sin sin( sin ) sin sin sin sin sin κ; + κ sin + κ; + κ y

5 Pagina 5 Come è facile vedere dal grafico, la disequazione sarà verificata per κ + κ DISEQUAZIONI LINEARI IN sin E cos Una disequazione lineare generica in sen e cos avrà forma: asin + bcos + c > se c la disequazione è omogenea. Si possono utilizzare diversi metodi per la risoluzione di tali disequazioni. Si ricordi che i tre metodi che andremo a trattare sono uguali a quelli utilizzati per la risoluzione di una equazione lineare. metodo (si divide l intera disequazione per uno dei fattori comuni alla disequazione, ossia sen o cos) Tale metodo può essere usato supposto che cos e + κ disequazione del tipo: asin + bcos > dividendo per cos avrà forma: atg + b > Esempio: sin cos > dividendo per cos otterremo: tg > tg > dunque una + κ < < + κ Esempio: sin cos tg tg

6 Pagina 5 tg + κ < < + κ metodo (Risoluzione con formule parametriche) Tale metodo può essere utilizzato supposto che tg + κ e + κ. Si ricordino nuovamente le formule parametriche del seno e del coseno(che ormai dovrebbero essere note) che sono: t t sen t tg ; t tg ; cos + t + t Esempio sne + cos + < sostituendo otterremo t t + + < + t + t attraverso vari calcoli otterremo le soluzioni: + κ< < + κ N.B. Si ricordi che tale metodo prevede numerosi passaggi, è pertanto poco usato, consigliamo pertanto l utilizzazione del metodo grafico. Metodo (Metodo grafico) Una equazione lineare in sen e cos può essere risolta attraverso il metodo che consente graficamente di trovare le soluzioni. Tale metodo consiste (come nelle equazioni) nel porre: cos sen dando così alla disequazione la forma:

7 Pagina c < > associando a questa l equazione di una circonferenza goniometrica, dunque: + otterremo un sistema del tipo: + + c < > + le soluzioni del sistema che sono rappresentate graficamente, daranno le soluzioni dell equazione. N.B. Si ricorda che tale metodo è il più usato ed il più semplice nella risoluzione di un equazione di tale tipo. Esempi: cos + sin > ponendo: cos sen e associando la circonferenza goniometrica otterremo un sistema del tipo: + > + sviluppando la disequazione come un equazione otterremo: ± + otterremo così le coordinate dei due punti: A ( ) ; ; B ;

8 Pagina 59 A B La soluzione dell equazione è data dai due punti A e B. Dunque: + κ < < +κ Esempio n sin cos > > + + ± A ; B ; cos sen

9 Pagina A B Le soluzioni, come si nota dal grafico, sono: κ κ + < < + Esercizio n sin cos ponendo: sin cos + + ± otteniamo così due punti: A ; B ;

10 Pagina A B Le soluzioni saranno: + κ < < +κ Quindi: + κ < < +κ N RISOLUZIONI DI DISEQUAZIONI FRATTE tg tg < sen cos Numeratore: tg tg > > tg ± la disequazione è verificata per intervalli esterni, dunque ] ; [ ] ; + [ rappresentando ora sulla circonferenza goniometrica avremo:

11 Pagina O 5 tg tg > < le soluzioni del numeratore sono dunque: κ κ κ κ 5 + < < + + < < Denominatore: sen cos > se cos risolvendo col metodo grafico + + ± A ; B ; rappresentando il denominatore graficamente, avremo:

12 Pagina La soluzione del denominatore è: + κ < < +κ Rappresentando numeratore e denominatore graficamente, otterremo: Le soluzioni della disequazione sono dunque: 5 + κ < < + κ + κ< < + κ + κ< < κ N sen + < cos Numeratore: sen + > < la disequazione risulterà pertanto sempre verificata Denominatore: cos > cos sen > dividendo per cos otterremo: < tg < rappresentando l intera disequazione graficamente otterremo:

13 Pagina Le soluzioni della disequazione sono dunque: + κ < < + κ N.B. Come si nota dal grafico le soluzioni della disequazione sarebbero, 5 + κ < < + κ + κ < < + κ, ma essendo simmetriche una può essere omessa sostituendo a κ solo κ, che le comprende entrambe.

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