ARCHI ASSOCIATI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

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Livio Gentili
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1 ARCHI ASSOCIATI Si tratta di angoli in cui le funzioni goniometriche mantengono lo stesso valore assoluto, cambiando al più il segno. Per questo motivo, le tavole goniometriche riportano soltanto i valori relativi al primo quadrante. Chiamando con α l angolo del primo quadrante, quelli degli altri quadranti si otterranno dal seguente grafico: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Equazioni e disequazioni elementari. Vi compare una sola funzione goniometrica, di primo grado. Tutte le altre si ridurranno a queste. senx k; cos x k; tan x k;. senx k; Si disegna la circonferenza goniometrica e si prende k sull asse y tracciando da lì la parallela all asse x fino ad incontrare la circonferenza (se la incontra) in P ; S esistono si determina il valore degli angoli che terminano in essi cercando k sulle tavole nella colonna del seno e vedendo l angolo che vi corrisponde, gli altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non dovesse trovarsi sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente

2 procedimento: passare in radianti e poi digitare sin k usare poi sempre gli archi associati; Le linee tracciate dividono la circonferenza in due archi, quello superiore e quello inferiore sceglieremo l arco superiore se il verso della disequazione è> e quello inferiore se è. La soluzione è data sempre da uno o più intervalli compresi tra due estremi, ricorda di scegliere gli archi giusti ruotando in senso antiorario da 0 a Es. senx > Poiché 0. Cerchiamo sulle tavole nella colonna del seno la corda sarà sotto l asse x. + cioè il valore positivo corrispondente e troviamo che esso corrisponde all angolo, poiché ci 0 troviamo nel terzo e quarto quadrante gli angoli cercati saranno + e 0. Scriviamo la soluzione partendo da 0 0 Sol: 0 x + x 0 0. cos x k; Si disegna la circonferenza goniometrica e si prende k sull asse x tracciando da lì la parallela all asse y fino ad incontrare la circonferenza (se la incontra) in P ;

3 S esistono si determina il valore degli angoli che terminano in essi cercando k sulle tavole nella colonna del coseno e vedendo l angolo che vi corrisponde, gli altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non dovesse trovarsi sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente procedimento: passare in radianti e poi digitare cos k usare poi sempre gli archi associati; Le linee tracciate dividono la circonferenza in due archi, quello di destra e quello di sinistra, sceglieremo l arco di destra se il verso della disequazione è> e quello di sinistra se è. La soluzione è data sempre da uno o più intervalli compresi tra due estremi, ricorda di scegliere gli archi giusti ruotando in senso antiorario da 0 a. 6 6 Es. cos x Poiché 0. 6 la corda sarà a sinistra dell asse 6 y. Cerchiamo sulle tavole nella colonna del coseno cioè il valore positivo corrispondente e troviamo che esso corrisponde all angolo, poiché ci troviamo nel secondo e terzo quadrante gli angoli cercati saranno e +. Scriviamo la soluzione partendo da 0 Sol: x +

4 . tan x k; Si disegna la circonferenza goniometrica e la retta ad essa tangente nell intersezione con il semiasse x positivo, si prende poi k sulla tangente e si traccia da k la retta passante per il centro della circonferenza, P sono i punti di intersezione della retta con la circonferenza; Si determina il valore degli angoli che terminano in P cercando k sulle tavole nella colonna della tangente e vedendo l angolo che vi corrisponde, gli altri angoli si ricavano usando gli archi associati. Se k non dovesse trovarsi sulle tavole si usa la calcolatrice con il seguente procedimento: passare in radianti e poi digitare tan k usare poi sempre gli archi associati; Poiché il periodo della tangente è, bisogna considerare solo la semicirconferenza a destra dell asse y, prendendo l arco superiore se il verso della disequazione è > e quello inferiore se è. L altra semicirconferenza si completa per simmetria Es. tan x. Poiché 0., P si trovano nel primo e terzo quadrante e valgono e + ; essendo il verso della disequazione prendo 8 8 l arco verso il basso, poi faccio la simmetria Scrivo infine la soluzione Sol. 0 x x + x 8 8

5 Equazioni e disequazioni elementari in cui l argomento è diverso da x. Si tratta di disequazioni del tipo sen( ax + b) k; o con le altre funzioni goniometriche. Si risolvono come quelle elementari tranne al momento in cui si scrive la soluzione finale. Se per esempio la soluzione dovesse essere x nel nostro caso diventerebbe ax + b a questo punto occorre isolare la x b b portando b sia a sinistra che a destra e poi dividere per a, x come a a si può vedere la soluzione non chiude più la circonferenza al primo giro perché non arriva più a, in questo caso occorre prendere le soluzioni su tanti giri quanto vale a. Es. cos( x ). Procedendo come indicato sopra si ottiene x ma anche aggiungendo un secondo giro (perché a vale ) + x + dividiamo ora ogni termine per. Soluzione: x + x Equazioni e disequazioni di secondo grado Si tratta di equazioni e disequazioni in una sola funzione goniometrica: asen x + bsenx + c 0; a cos x + bcos x + c 0; a tan x + b tan x + c 0 *Potrebbe succedere che nella stessa disequazione compaiano sia sen x che cos x, in questo caso basta trasformare una nell altra usando la prima relazione sen x = cos x fondamentale della goniometria sen x + cos x = * cos x = sen x Dopo aver sostituito la funzione goniometrica con t si risolve la disequazione at + bt + c 0 e poi si riportano gli archi sulla circonferenza nel seguente modo: senx

6 6 cosx tanx Ricorda poi di fare la simmetria. Equazioni e disequazioni lineari. Si presentano nella forma asenx + bcos x + c 0. Si risolvono usando le formule parametriche che le trasformano in disequazioni di secondo grado nella variabile t, dopo si procede come nel caso precedente l unica differenza è che t = tan x per cui la soluzione prevederà intervalli in cui la variabile è x, occorrerà quindi moltiplicare tutto per. Es. senx + cos x >. Con le formula parametriche si avrà t t t + t t > > 0 +, essendo il denominatore + t + t + t sicuramente positivo, può essere tolto, sommando i termini simili si arriva a: 7 t t + t+ > 0 che risolta ci darà t cioè a b c 7 7 x tan che risolta sulla circonferenza 7

7 7 x x 0 tan ( 0.) + tan ( 0.) x 8 8 Dobbiamo ora moltiplicare ogni termine per in modo da determinare i valori relativi ad x, come si può vedere si supera il primo giro di circonferenza, basta quindi nel scrivere la soluzione fermarsi al primo mezzo giro x x 0 tan ( 0.) 0 x tan ( 0.) x 8 Equazioni e disequazioni che presentano più argomenti diversi. Si risolvono con le formule goniometriche. Disequazioni goniometriche in forma di frazioni o prodotti. Si risolvono con lo schema con i segni come le disequazioni algebriche, solo che lo schema si fa sulla circonferenza. senx NUM senx > 0 senx > Es. 0; si passa ora alla circonferenza cos x DEN cos x > 0 cos x > 0 Sol. 0 x x x 6 6

8 8 Esercizi.. senx>;. cosx>-;. tanx>-;. senx-0;. cos x 0; 6. tan x > 0; 7. cos( x ) ; x 8. sen + > 0; 9. tan x + > ; 0. cos x ;. sen x senx 0;. senx 0; cos x +. cos x + cos x + 0;. sen(x)-cosx0;. sen x cos x; 6. sen x + senx + cos x > ; 7. tan x + tan x ; 8. senx+cosx; x 9. senx cos > 0; 0. cos x senx ;. senx + cos x ; x. sen + cos x + > 0; cos x. 0; senx. cos x senx 0.

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