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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: funzioni elementari: formule e dimostrazioni 4 dicembre Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 Indice 1 Funzioni elementari: formule e regole di calcolo Funzioni circolari Definizioni e fatti basilari La relazione goniometrica fondamentale Espressione di una funzione in termini delle altre Archi associati Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione e di bisezione Formule cosiddette parametriche Formule di prostaferesi e di Werner Funzioni esponenziali Definizioni e fatti fondamentali Funzioni logaritmiche Le funzioni elementari: esercizi 1.1 Dimostrazione di identità Funzioni goniometriche Funzione esponenziale Funzione logaritmica Dimostrazioni di formule e relazioni generali Esercizio 1 (esempio guidato) Esercizio (esempio guidato) Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio 1 (esempio svolto) Il software yed e i grafi delle dimostrazioni Esercizio 1 (esempio svolto) Esercizio (esempio svolto)

3 .3.3 Esercizio (esempio svolto) A Formulario 0 A.1 Funzioni circolari A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche A.1. Formule di addizione e sottrazione A.1.3 Formule di duplicazione e di bisezione A.1.4 Formule cosiddette parametriche A.1.5 Formule di prostaferesi e di Werner A. Funzioni esponenziali A..1 Proprietà delle potenze A.3 Funzioni logaritmiche A.3.1 Proprietà dei logaritmi

4 Capitolo 1 Funzioni elementari: formule e regole di calcolo Tutte le formule dimostrate in questo capitolo sono riportate e numerate, per comodità, nell appendice A e ad esse faremo riferimento con indicazioni del tipo: utilizzando la A.3b..., tramite la formula A.4b... e simili. 1.1 Funzioni circolari Definizioni e fatti basilari Definizione 1. Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di raggio unitario avente centro nell origine degli assi cartesiani. Usando la formula che dà l equazione della circonferenza, noti centro e raggio, possiamo facilmente trovare che l equazione della circonferenza goniometrica è la seguente: x + y = 1 Definizione. Si dice seno di un angolo l ordinata del punto di intersezione tra la retta che individua l angolo e la circonferenza goniometrica. Definizione 3. Si dice coseno di un angolo l ascissa del punto di intersezione tra la retta che individua l angolo e la circonferenza goniometrica. Definizione 4. Si dice tangente di un angolo l ordinata del punto di intersezione tra la retta che individua l angolo e la retta di equazione x = 1. Teorema 1. (Relazione analitica tra sin, cos, tan). Tra le funzioni goniometriche sussiste la seguente relazione algebrica: tan x = sin x cos x (1.1) 3

5 Dimostrazione. Si consideri il grafico rappresentato in figura 1.1; sia x l angolo ÂOB. I triangoli ÂOB e  OB sono simili, perciò... Figura 1.1: Grafico utilizzato per la dimostrazione della relazione algebrica sussistente fra le funzioni seno, coseno, tangente La relazione goniometrica fondamentale Con considerazioni di geometria analitica, si dimostra che: sin x + cos x = Espressione di una funzione in termini delle altre Dimostriamo in questa sezione che tra le funzioni goniometriche sussistono le relazioni sintetizzate nella tabella 1.1. Relazione tra seno e coseno Dimostrazione. Utilizzando la A.1, con banali passaggi algebrici, è possibile ottenere le relazioni cercate. Tangente in funzione di seno e coseno Dimostrazione. Si utilizza la relazione algebrica che lega tangente, seno e coseno (A.) e le formule appena dimostrate che esprimono il seno in funzione del coseno e viceversa. 4

6 Tabella 1.1: Espressione di una funzione goniometrica in termini delle altre. sin x cos x tan x sin x / ± 1 cos x ± tan x 1+tan x cos x ± 1 sin x / ± 1 1+tan x tan x ± sin x 1 sin x ± 1 cos x cos x / Seno e coseno in funzione della tangente Dimostrazione. A partire dalle formule che esprimono la tangente in funzione del solo seno o del solo coseno, con passaggi algebrici, è possibile ricavare le formule cercate Archi associati Basandoci su considerazioni geometriche, si nota che: sin( α) = sin(α) cos( α) = cos(α)... 5

7 1.1.5 Formule di addizione e sottrazione Dimostriamo qui di seguito che valgono le seguenti formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente: cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β tan(α β) = tan α tan β 1 + tan α tan β Sottrazione del coseno tan(α + β) = tan α + tan β 1 tan α tan β Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura 1.. Siano α = ÂOC e β = ÂOB gli angoli assegnati. Si costruisce nel primo quadrante un triangolo congruente al triangolo OBC. Utilizzando le definizioni di seno e coseno e di circonferenza goniometrica, risulta che: C(cos α, sin α); B(cos β, sin β); C (cos(α β), sin(α β)); A(1, 0) Poiché AOC = OBC, risulterà CB = C A, ossia: (cos α cos β) +... Sviluppando i calcoli ed utilizzando la A.1, otteniamo la formula cercata. 6

8 Figura 1.: Grafico utilizzato per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno. Addizione del coseno Partendo dalla A.4a, possiamo scrivere: cos(α + β) = cos(α ( β)) =... = cos α cos β sin α sin β Addizione del seno Utilizzando le formule relative agli archi associati, è possibile dimostrare che: Sottrazione del seno sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Anche qua, con un semplice trucco algebrico, possiamo scrivere: sin(α β) = sin(α ( β)) =... = sin α cos β cos α sin β Sottrazione della tangente Addizione della tangente Formule di duplicazione e di bisezione Duplicazione Le seguenti formule di duplicazione: sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x tan(x) = 7 tan x 1 tan x

9 si dimostrano facilmente a partire dalle formule di addizione, con accorgimenti come il seguente: Bisezione Sono le seguenti: sin(x) = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x =... ( x ) 1 cos x sin = ± ( x ) 1 + cos x cos = ± ( x ) 1 cos x tan = ± 1 + cos x Formule cosiddette parametriche Formula per il seno Dimostrazione. Ricordandoci che vogliamo introdurre gli angoli x/, possiamo riscrivere la A.5a nel seguente modo: ( x ) ( x ) sin x = sin cos Possiamo adesso dividere il secondo membro per 1 = cos (x/) + sin (x/): sin(x/) cos(x/) sin x = cos (x/) + sin (x/) Volendo ottenere un espressione che contenga la tangente, possiamo dividere numeratore e denominatore per cos (x/); otteniamo così: ( x ) sin = t ( x ) 1 + t ; avendo posto t = tan Formula per il coseno Si ricava, in modo analogo, partendo dalla formula di duplicazione del coseno. 8

10 1.1.8 Formule di prostaferesi e di Werner Le formule di prostaferesi Dimostrazione. Sommando membro a membro la A.4c e la A.4d, otteniamo: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β Consideriamo ora il seguente cambiamento di variabile e la sua trasformazione inversa: Otterremo allora la seguente: { p = α + β q = α β = ; sin p + sin q = sin p + q { α = p+q β = p q cos p q Viceversa, sottraendo le A.4c e la A.4d otterremo... E ancora, se consideriamo le formule del coseno... Le formule di Werner Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno, è possibile ricavare le seguenti formule dette di Werner: sin x sin y = 1 [cos(x y) cos(x + y)] cos x cos y = 1 [cos(x y) + cos(x + y)] sin x cos y = 1 [sin(x + y) + sin(x y)] 1. Funzioni esponenziali 1..1 Definizioni e fatti fondamentali Definizione 5. Si definisce potenza n-sima di un numero a il prodotto di a per se stesso effettuato n volte, ossia: a n. = a a... a }{{} n volte (1.) 9

11 E chiaro che dalla definizione precedente non è possibile dare un significato ad espressioni come a 0, a, a 3 5 : che senso avrebbe moltiplicare un numero per se stesso zero volte? o meno due volte? Vedremo come dare un senso alle scritture precedenti. Innanzitutto diciamo che, per definizione, vale: a 0. = 1 Consideriamo ora la seguente moltiplicazione: a m a n 1. = a } a {{... a } a } a {{... a } = n volte m volte 1. = a } a {{... a } = a n+m n+m volte Consideriamo adesso la seguente moltiplicazione: a n a n A.10b = a n n = a 0 A.10a = 1 Considerando il primo e l ultimo membro, ricaviamo che: a n = 1 a n Veniamo adesso al rapporto tra potenze: a n a m = 1 an A.10g a m = a n a m A.10b = a n m 1.3 Funzioni logaritmiche 10

12 Tabella 1.: Confronto e relazioni tra funzioni circolari e funzioni iperboliche. Funzioni circolari e ıx = cos x + ı sin x Funzioni iperboliche e x = cosh x + sinh x Relazioni definitorie e ıx = cos x ı sin x e x = cosh x sinh x cos x = eıx +e ıx cosh = ex +e x sin x = eıx e ıx sinh = ex e x Relazione fondamentale cos x + sin x = 1 cosh x sinh x = 1 Proprietà di derivazione D[cos x] = sin x D[sin x] = cos x D[cosh x] = sinh x D[sinh x] = cosh x Relazione tra funzioni circolari ed iperboliche cos x = cosh(ıx) sin x = ı sinh(ıx) 11

13 Capitolo Le funzioni elementari: esercizi.1 Dimostrazione di identità Dimostrare le uguaglianze proposte negli esercizi seguenti, facendo riferimento alle formule riportate nell appendice A, come negli esempi svolti..1.1 Funzioni goniometriche Vedi [?], vol. 3, ess , pagg Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostriamo la seguente identità: Dimostrazione. tan x(1 sin x) = sin x tan x(1 sin x) A.5c = tan x cos x A. = sin x cos x = sin x cos x (.1) Esercizio (esempio svolto) Dimostriamo la seguente identità: sin (x y) + cos (x + y) = 1 sin x cos y 1

14 Dimostrazione. sin (x y) + cos (x + y) A.4d = (sin x cos y cos x sin y) + cos (x + y) A.4b = A.4b = (sin x cos y cos x sin y) + (cos x cos y sin x sin y) = = sin xcos y + cos x sin y sin x cos y cos x sin y+ + cos x cos y + sin x sin y cos x cos y sin x sin y = = sin x(cos y + sin y) + cos x(sin y + cos y) 4 sin x cos x sin y cos y A.1 = A.1 = 1 sin x cos x sin y cos y A.5a = 1 sin x sin y Esercizio 3 Dimostrare le seguenti identità: cos x cos x = 1 tan x tan x tan x = cos x cos x (sin x + cos x) 1 + cos x = 1 (1 + tan x) 1 1 cos x = tan x tan x tan x tan y sin(x y) = tan x + tan y sin(x + y) tan x sin x tan x = sin x tan x tan(x + y) = sin(x y) cos x cos(x + y) 13

15 .1. Funzione esponenziale Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostrare che: Dimostrazione = / A.10f = /7 A.10b 51/7 A.10g = 3 = /7 Esercizio Come esercizio, si possono considerare gli esercizi pag. 614 di [?], considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito, riportiamo alcune identità riprese da tale testo. ( 3 5 x 5 x ) 6 : 55x 5 = 5 x+4 ( 1 x x : x ) 4 ( x ) +x = 5x 6x.1.3 Funzione logaritmica Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostrare che vale: ( x 3 x+1 ) : 6 x = x+1 3 log = 7 6 Dimostrazione. log A.10f = log A.10b = log A.10c = log = log A.11c = 7 6 log 3 3 A.11f =

16 Esercizio Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 4-8 pag. 656 di [?] e 9-99 pag. 661, considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito, riportiamo alcune identità riprese da tale testo. 3 9 log 3 4 = 3 log = log log 10 log 6 10 = log 10 log(x y) + log(x + y) log(x xy + y ) = log x + y x y. Dimostrazioni di formule e relazioni generali Dimostrare le formule e relazioni proposte di seguito, mettendo in evidenza, in ogni passaggio in cui lo si ritenga opportuno, le altre formule, definizioni e fatti notevoli utilizzati per la dimostrazione...1 Esercizio 1 (esempio guidato) Dimostrazione 1. Dimostrare che: sin x = ± tan x, 1+tan x sapendo che: 1) tan x = sin x/ cos x e che: ) cos x = ± 1 sin x Dimostrazione. Vogliamo innanzitutto far sparire la funzione coseno, per cui, utilizzando sia l ipotesi 1 (definizione di tangente) che l ipotesi, scriveremo: sin x tan x = ± 1 sin x Elevando al quadrato entrambi i membri, dopo una serie di passaggi algebrici, si ottiene la formula cercata... Esercizio (esempio guidato) Dimostrazione. Dimostrare la seguente formula, detta di prostaferesi: sin p + sin q = sin p + q cos p q a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno. 15

17 Qui di seguito proponiamo le linee guida della dimostrazione. Dimostrazione. Si mettano a sistema le formule di addizione e di sottrazione del seno e si sommino membro a membro tali equazioni. Si consideri il seguente cambiamento di variabili: { α + β = p α β = q Si consideri la trasformazione inversa (che esprime cioè α e β in funzione di p e q). Si eseguano le opportune sostituzioni; si ottiene così la formula desiderata...3 Esercizio 3 Con procedimento analogo a quello dell esercizio precedente, dimostrare le formule che esprimono la differenza dei seni, la somma dei coseni, la differenza dei coseni (sin p sin q; cos p + cos q;... )...4 Esercizio 4 Dimostrazione 3. Dimostrare la formula di duplicazione del coseno, considerando come nota la formula di sottrazione del coseno. Dimostrazione. Per la formula di duplicazione del coseno, ci serve la formula di addizione del coseno. Dovremo allora ricavare tale formula a partire da quella di sottrazione del coseno Esercizio 5 Dimostrazione 4. A partire dalla formula di duplicazione del coseno (cos x = cos x sin x), ed utilizzando la relazione goniometrica fondamentale, dimostrare la seguente versione alternativa per la formula di duplicazione del coseno:..6 Esercizio 6 cos(x) = cos x 1 Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione del seno, ossia la formula che esprime, in termini del solo sin x, il valore del sin(3x)...7 Esercizio 7 Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione della tangente, ossia la formula che esprime, in termini della sola tan x, il valore di tan(3x). 16

18 ..8 Esercizio 8 A partire dalla seguente formula di bisezione della tangente: ( x ) 1 cos x tan = ± 1 + cos x dimostrare la seguente versione alternativa della formula: ( x ) tan = sin x 1 + cos x..9 Esercizio 9 Dimostrare, ricorrendo anche ad un grafico sul piano cartesiano, la formula di sottrazione del coseno...10 Esercizio 10 Dimostrare, avvalendosi anche di considerazioni geometriche, la formula che lega algebricamente le funzioni seno, coseno, tangente...11 Esercizio 11 Dimostrare la formula di addizione della tangente, note quelle di addizione del seno e del coseno...1 Esercizio 1 (esempio svolto) Dimostrare la formula che esprime la tangente in funzione del solo seno. Dimostrazione. Per la A., vale: tan x = sin x cos x Inoltre, considerando la A.3c, possiamo scrivere: che è la formula cercata. sin x tan x = ± 1 sin x.3 Il software yed e i grafi delle dimostrazioni In questa sezione, proponiamo di utilizzare il software yed 1 per rappresentare tramite grafi le relazioni esistenti fra definizioni, teoremi ed altri teoremi. E possibile estendere progressivamente il grafo, via via che vengono aggiunte nuove definizioni e nuovi teoremi. 1 Tale software è liberamente scaricabile dal sito [?]. 17

19 .3.1 Esercizio 1 (esempio svolto) Costruire un grafo che illustri definizioni e teoremi utilizzati nella dimostrazione della formula di sottrazione del coseno. Proponiamo tale grafo in figura.1, in cui abbiamo evidenziato in verde le definizioni ed in giallo le formule e i teoremi. Figura.1: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno..3. Esercizio (esempio svolto) Ampliare il grafo realizzato per l esercizio precedente, introducendo la formula di sottrazione della tangente e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla. Ripercorrendo la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente, notiamo che, oltre a vari passaggi algebrici banali, abbiamo bisogno della definizione della funzione tangente e delle formule di sottrazione del seno e del coseno. Otterremo così il grafico proposto in figura.. Figura.: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente. 18

20 .3.3 Esercizio (esempio svolto) Ampliare il grafo realizzato per l esercizio precedente, introducendo la formula di duplicazione del seno e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla. La formula di duplicazione del seno si dimostra a partire da quella di addizione del seno, la quale a sua volta si dimostra a partire da quella di sottrazione del seno; quest ultima, infine, si dimostra usando le formule relative agli archi associati e la formula di sottrazione del coseno. Tutto ciò è sintetizzato nel grafico proposto in figura.3. Figura.3: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo) utilizzate per la dimostrazione della formula di duplicazione del seno. 19

21 Appendice A Formulario A.1 Funzioni circolari A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche Relazioni fondamentali sin x + cos x = 1 (A.1) tan x = sin x cos x (A.) 0

22 Espressione di una funzione in termini delle altre sin x = ± 1 cos x (A.3a) tan x = ± 1 + tan x (A.3b) cos x = ± 1 sin x (A.3c) 1 = ± 1 + tan x (A.3d) sin x tan x = ± 1 sin x (A.3e) = ± 1 cos x cos x (A.3f) A.1. Formule di addizione e sottrazione cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β (A.4a) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β (A.4b) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (A.4c) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β (A.4d) tan(α β) = tan α tan β 1 + tan α tan β (A.4e) tan(α + β) = tan α + tan β 1 tan α tan β (A.4f) 1

23 A.1.3 Duplicazione Formule di duplicazione e di bisezione sin(x) = sin x cos x (A.5a) cos(x) = cos x sin x (A.5b) = 1 sin x (A.5c) = cos x 1 (A.5d) tan(x) = tan x 1 tan x (A.5e) Bisezione ( x ) 1 cos x sin = ± (A.6a) ( x ) 1 + cos x cos = ± ( x ) 1 cos x tan = ± 1 + cos x (A.6b) (A.6c) A.1.4 Formule cosiddette parametriche Sia t = tan ( x ). Allora: sin x = t 1 + t (A.7a) cos x = 1 t 1 + t (A.7b) tan x = t 1 t (A.7c)

24 A.1.5 Prostaferesi Formule di prostaferesi e di Werner sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y cos x y sin x y cos x y sin x y (A.8a) (A.8b) (A.8c) (A.8d) Werner sin x sin y = 1 [cos(x y) cos(x + y)] (A.9a) cos x cos y = 1 [cos(x y) + cos(x + y)] (A.9b) sin x cos y = 1 [sin(x + y) + sin(x y)] (A.9c) 3

25 A. Funzioni esponenziali A..1 Proprietà delle potenze a 0 = 1 (a 0) (A.10a) a m a n = a m+n (A.10b) a m a n = am n (A.10c) ( a b ) n = a n b n (A.10d) (a m ) n = a m n (A.10e) n am = a m n (A.10f) a n = 1 a n (A.10g) a log a x = x (A.10h) 4

26 A.3 Funzioni logaritmiche A.3.1 Proprietà dei logaritmi Laddove non è indicata esplicitamente la base, è inteso che la proprietà vale qualsiasi sia la base. log(xy) = log x + log y (A.11a) ( x ) log = log x log y (A.11b) y log x n = n log x (A.11c) log a x = log b x log b a (A.11d) log a a x = x (A.11e) log a a = 1 (A.11f) 5