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Leonardo Chiesa
6 anni fa
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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: angoli, funzioni e formule goniometriche Indice 1 Goniometriche 1.1 Introduzione La soluzione degli altri tipi di disequazioni goniometriche Periodicità delle soluzioni Esponenziali 4 Logaritmiche 4 4 Risoluzione di disequazioni In forma canonica o facilmente riconducibili Algebriche Goniometriche Esponenziali Logaritmiche Risolubili tramite sostituzione Goniometriche Esponenziali Logaritmiche Fratte e di tipo prodotto Risolubili mediante l applicazione di formule Formule goniometriche Formule relative agli esponenziali Formule relative ai logaritmi Risolubili con tecniche varie Disequazioni lineari Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: Indirizzo fra.marchi@yahoo.it 1

2 4.5. Disequazioni omogenee o riconducibili) di secondo grado in sin x e cos x Esercizi vari Discussione di casi generali Stabilire se un dato numero è soluzione Goniometriche Algebriche Goniometriche Esponenziali Logaritmiche Trascendenti Intuire soluzioni Esercizio Classificare disequazioni in base alla loro tipologia Inventare disequazioni di dato tipo Goniometriche Descrivere verbalmente tecniche di soluzione Disequazioni in forma canonica Le principali forme canoniche delle disequazioni di vario tipo sono riportate nella tabella 1 1 Goniometriche 1.1 Introduzione Risolvere la disequazione sin x < 0, 1) Se leggiamo a parole questa equazione, significa che dobbiamo trovare gli angoli il cui seno vale meno di 0,. Guardiamo la figura 1a): tutti gli angoli evidenziati in azzurro soddisfano la condizione richiesta, mentre non la soddisfano quelli colorati in arancione. Per essere più precisi, andranno bene tutti gli angoli compresi tra i due angoli limite evidenziati in azzurro nella figura 1b). Perciò potremo scrivere che la soluzione della disequazione data è: π + α < x < α; o anche π + α, α) Ma chi è, in questa scrittura, α? E proprio l angolo il cui seno vale 0,, ossia: α = sin 1 0, ) 0, 11, La soluzione degli altri tipi di disequazioni goniometriche Analogamente si potranno risolvere altri tipi di equazioni goniometriche. Avremo allora la tabella.

3 Tabella 1: Panoramica sui vari tipi di disequazioni in forma canonica. Tipologia Disequazione Tabella riferimento Algebriche ax b ax + bx + c 0 [fx)] n a n fx) a Goniometriche sin fx) a cos fx) a tan fx) a Esponenziali a fx) b 4 a fx) a gx) a fx) b gx) Logaritmiche log a fx) b 5 log a fx) log a gx) log a fx) log b gx)

4 a) b) Figura 1: Grafici utilizzati per determinare la soluzione della disequazione sin x < 0.. Nel caso in cui vogliamo essere più specifici, possiamo riassumere le soluzioni come in tabella. 1. Periodicità delle soluzioni Ovviamente anche per le disequazioni goniometriche i multipli sono soluzioni. Tuttavia, poiché questo fatto, in alcuni casi, può dare origine a complicazioni, ci concentreremo solo sulle soluzioni nell intervallo [0, π]. Esponenziali Logaritmiche Disequazioni: esercizi 4

5 Tabella : La soluzione delle disequazioni goniometriche in forma canonica. Disequazione Condizione su a Soluzione a < 1 R sin x > a; cos x > a 1 a 1 I R a > 1 a < 1 sin x < a; cos x < a 1 a 1 I R a > 1 R 4 Risoluzione di disequazioni Risolvere le disequazioni goniometriche proposte di seguito, nell intervallo [0, π]. Nota: le disequazioni contrassegnate da un asterisco portano ad un risultato che non è un angolo notevole. 4.1 In forma canonica o facilmente riconducibili Algebriche 4.1. Goniometriche sin x > 1 ) tan x 5) sin x + 6 > 0 ) sin x 1 ) 6) cos x cos x 7 4 4) sin x sin x 1 7) 5

6 Tabella : La soluzione delle disequazioni goniometriche in forma canonica dettaglio). Disequazione Condizione su a Soluzione a < 1 [0, π] a = 1 [0, π ) sin x > a 1 a 1 I [0, π] a = 1 [ ) 0, π π, π ] π, π ] a > 1 sin x a; a < 1... a =

7 Tabella 4: La soluzione delle disequazioni esponenziali nella forma canonica a fx) b. Disequazione Condizione su b Condizione su a Soluzione a fx) > b b 0 R b > 0 a > 1 fx) > log a b a < 1 fx) < log a b a fx) < b b 0 b > 0 a > 1 fx) < log a b a < 1 fx) > log a b Tabella 5: La soluzione delle disequazioni logaritmiche nella forma canonica log a fx) b. Disequazione Condizione su a Soluzione log a fx) > b a > 1 fx) > a b a < 1 fx) < a b log a fx) < b a > 1 fx) < a b a < 1 fx) > a b 7

8 sin π ) cos x < π ) cos ) 5 8) tan x 0 ) 9) cos x 1 0 ) 10) 1 cos x + 4 < 0 11) tanx π) + tanπ x) sin π 1) sinx + π) cos x π ) 1 14) sin x < 0 15) cos x ) tan x > 0 1) 4.1. Esponenziali x > 0 17) x ) ) x ) 5 e ex e x+1 ) 1 ) x x < 4 19) 4 5)x x 5 ) x 1 > 4) ) x x+ > 1 5 0) x x 4x 1 5) 1) Logaritmiche log x 4 6) log x 1 7) 8 8)

9 log 7 x 9) log x 0) 1) 4. Risolubili tramite sostituzione 4..1 Goniometriche cos x < 0 ) tan 4x 7) π ) sin 4 x ) tan x π ) 8) cos x + cos x + 1 > 0 4) cos 5x > cos 5x 9) 1 tan > 0 5) tan x tan x 4 0 ) 40) cos x cos x < 0 6) sin x sin x ) 4.. Esponenziali x x > 0 4) 1 ) x 1 ) x > x 44) x + x Logaritmiche 4) e x e x+1 + e x e 0 45) log 1 x ) log 4 x log 4 x > 0 47) 4. Fratte e di tipo prodotto 9

10 sin x 1 sin x ) sin x cos x ) cos x + ) sin x ) 0 49) cos x tan x ) e x x ) e x x 5x + 4) 0 5) cos xtan x + 1) > 0 55) sinx/) sin x 1 < 0 56) sin xtan x ) 0 57) x x+1 x+1 x 58) log x + log x 0 59) e x + 1 e x 1 > 0 5) log x log 1 x ) 4.4 Risolubili mediante l applicazione di formule Formule goniometriche sin x cos x 0 61) tan x + π ) > 1 ) 64) 4 sin x + π ) > 1 4 6) tan x + tan x + π ) 0 ) 65) 4 sin x sin x > 0 6) 4.4. Formule relative agli esponenziali 4.4. Formule relative ai logaritmi logx ) logx 1) < 1 66) ln x + ln x 0 67) 10

11 4.5 Risolubili con tecniche varie Disequazioni lineari sin x cos x 68) sin x + ) cos x ) sin x cos x > 6 69) sin x + cos x ) 71) 4.5. Disequazioni omogenee o riconducibili) di secondo grado in sin x e cos x sin x sin x cos x + cos x 0 7) sin x sin x cos x + cos x 0 75) 4 sin x sin x cos x cos x < 1 7) cos x + sin x cos x ) 76) sin x sin x cos x ) 74) cos x sin x > sin x cos x 77) 5 Esercizi vari 5.1 Discussione di casi generali Creare tabelle analoghe alla per le seguenti disequazioni: tan x > a; sin x a; Stabilire se un dato numero è soluzione 5..1 Goniometriche Si consideri la disequazione goniometrica seguente: sin x + 4 ) cos x 1 ) < 0 Si indichi quale/i fra le seguenti sono sue soluzioni: x = π 6 ; x = 7 π; x = π ; x = π 6 ; x = 0 11

12 5.. Algebriche 5.. Goniometriche Esercizio Esponenziali 5..5 Logaritmiche 5..6 Trascendenti 5. Intuire soluzioni 5..1 Esercizio 1 Si consideri la disequazione seguente: Proporre almeno due sue soluzioni. x + sin x + > Classificare disequazioni in base alla loro tipologia Stabilire quali fra le seguenti sono disequazioni goniometriche; successivamente, specificare di che tipo di disequazione goniometrica si tratta. cosy + 1) > 1 84) sin x tan π 4 x + 1 > tan π 79 78) 79) sin 4 π < y 80) sin 1 + sin 8 x + cos 8 x < 0 81) x + 1 < cos 4 ) 5 π 85) ) cos π + sin π + π x x 4 86) sin y + 4 cos y < 7 87) tan x 5 8) 8 4 sin 7x > + cos 7x 8) sin x sin x cos x cos x < + 5 sin x 88) 1

13 5.5 Inventare disequazioni di dato tipo Goniometriche Scrivere, a proprio piacimento una disequazione goniometrica: risolubile mediante cambiamento di variabile omogenea lineare in seno e coseno riconducibile ad omogenea di II grado tramite cambiamento di variabile e applicazione della relazione goniometrica fondamentale lineare in seno e coseno, in cui compaia il termine x fratta, in cui il numeratore sia composto da due fattori e il denominatore da un solo fattore fratta tale che: il numeratore è costituito da un solo fattore omogeneo di II grado in seno e coseno; il denominatore è costituito da fattori, uno dei quali è risolubile tramite disequazione elementare e l altro tramite disequazione lineare di tipo prodotto, in cui almeno uno dei termini si risolve mediante sostituzione di tipo prodotto, in cui almeno uno dei due termini è di tipo riconducibile a omogeneo di II grado in seno e coseno 5.6 Descrivere verbalmente tecniche di soluzione Descrivere a parole, eventualmente per punti o avvalendosi di uno schema, il procedimento di soluzione dei seguenti tipi di disequazioni goniometriche: lineare in seno e coseno elementare omogenea di II grado fratta di tipo prodotto 1

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