x > 4 x < x 1 x 2 3 4x Disequazioni frazionarie Esercizio no.1 Esercizio no.2 Esercizio no.3 Esercizio no.4 Esercizio no.5 Esercizio no.

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1 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Disequazioni frazionarie Esercizio no Esercizio no. Soluzione a pag. R. 7 con 9 Soluzione a pag.5 R. Esercizio no. Soluzione a pag R. [ ] Esercizio no. 0 Esercizio no.5 Soluzione a pag.6 R. 0 Soluzione a pag.7 [ 0 6 ] R. Esercizio no.6 Esercizio no.7 Soluzione a pag.8.[ 7 ] R Soluzione a pag.8 R. [ 0 ( ) ] Esercizio no.8 Soluzione a pag R. 5 Esercizio no.9 Soluzione a pag.9 (7 ) 0 R. 0 7

2 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.0 Soluzione a pag.0 7 R. Esercizio no. Soluzione a pag.0 R.[ 0] Esercizio no. ( )5 0 6 Esercizio no. R. Soluzione a pag. [ 0 ] Soluzione a pag [ 6 8 ] R. Esercizio no. Soluzione a pag. [ 9 9 ] R. Esercizio no.5 Soluzione a pag. 5 8 [ ] R. Esercizio no.6 Soluzione a pag. 0 5 R.[ 7 ] Esercizio no.7 Soluzione a pag. 5 0 R. [ 0 5 ] Esercizio no.8 Soluzione a pag.5 R.

3 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.9 Soluzione a pag R. [ 0 ] Esercizio no.0 Soluzione a pag.6 0 R.[ ]

4 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.:soluzione La il trinomio al numeratore corrisponde ad una parabola con la concavità rivolta verso il basso le cui radici si individuano risolvendo la: 8 / 7 0 b ± b ac a ± ± Come si nota la parabola in questione, di equazione: y 8 7 per 7 Il denominatore 9 8 prevede le radici: / b ± b ac a 8 ± ± Si osserva come tale funzione sia positiva per valori: 9 Studiando il rapporto N/D graficamente: Osservando il grafico, saremmo tentati di dire che la disequazione è soddisfatta per: 7 9 ma tale intervallo include il valore che annulla il denominatore e rende priva di senso l intera espressione; diremo per cui: 7 con 9

5 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 5 Esercizio no.:soluzione Portiamo tutto al I membro: L espressione al numeratore è l equazione di una parabola con concavità rivolta verso il basso, le cui radici si trovano risolvendo la: 0 0 notiamo che per essa: b ac il delta negativo significa che non ci sono intersezioni con l asse, e quindi la parabola è collocata totalmente nel semipiano negativo. Dobbiamo dire che il numeratore Per il denominatore: N 0 D il grafico del rapporto: Si osserva come la disequazione iniziale sia Soddisfatta per Esercizio no.:soluzione L espressione al numeratore è riconducibile ad una parabola con concavità rivolta verso l alto e con radici ±. Come si osserva la funzione è positiva per valori: Il denominatore D si ricava che la disequazione è soddisfatta per 5

6 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 6 6 Esercizio no.:soluzione 0 Per le radici del numeratore: ± ± ± 9 8 a ac b b / Il numeratore, risulterà positivo per i valori: Il denominatore a sua volta è riconducibile ad una parabola con concavità rivolta verso l alto, avente come radici, le soluzioni dell equazione: 0 0 ) ( 0 0 D Studiando il segno del rapporto N/D, la disequazione risulta positiva per: 0 risulta inoltre nulla per i valori che annullano N: ed, la soluzione sarà: 0

7 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 7 Esercizio no.5:soluzione ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) 7 6 ( ) L espressione al numeratore si annula in corrispondenza delle soluzioni dell equazione: / b ± b a ac 7 ± 9 7 ± L espressione al numeratore associabile ad una parabola con concavità verso il basso è positiva per: 6 Il Denominatore D è invece riconducibile alla parabola y che ovviamente ammette soluzioni: 0 ed risulta dunque positiva per gli intervalli esterni a tali valori. Studiando il segno del rapporto N/D, la disequazione è soddisfatta per: 0 6 7

8 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 8 Esercizio no.6:soluzione Porto tutto al II membro ( ) ( ) 0 ( ) attenzione! posso cambiare il segno all intera frazione a patto di cambiare segno al numeratore o al denominatore della stessa. ( ) 7 ( ) N D 7 ( ) 7 Come si vede la disequazione assegnata è verificata nell intervallo: 7 Esercizio no.7:soluzione Portiamo tutto al II membro e facciamo il denominatore comune. ( ) N D ( ) ( ) Come si nota dallo schema, la disequazione è soddisfatta per: 0 ( ) 8

9 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 9 Esercizio no.8:soluzione 5 0 N D 5 5 Come si vede dal grafico, la disequazione è soddisfatta (è negativa) per: 5 Esercizio no.9:soluzione (7 ) 0 in questo caso il numeratore è un espressione composta occorre valutare separatamente in via preliminare il segno di questo prodotto. Il numeratore N per 0 7 il denominatore D per dal grafico N/D: La disequazione è soddisfatta per gli intervalli: 0 7 9

10 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 0 Esercizio no.0:soluzione ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) eseguiamo ancora il denominatore comune. ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 7 ( ) N D 7 7 Disequazione soddisfatta per: 7 Esercizio no.:soluzione ( ) faccio il denominatore comune 6 8 N D verificata nell intervallo 0 0

11 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.:soluzione ( )5 0 6 Sviluppando il numeratore : 5 5 equazione di secondo grado che prevede due radici 0 e Osservando il grafico si desume che y 5 5 per 0 Invece il denominatore : D 6 ( )5 6 per 0 poi dobbiamo considerare che è uguale a 0 per 0 e, questi ultimi estremi vanno dunque inclusi nell insieme della soluzione, che sarà: 0 Esercizio no.:soluzione ( )(6 ) 6( 6 ) 6 0 6(6 ) (6 ) 5 5 6(6 ) moltiplico N e D per 5 5 6( 6 )

12 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie / b ± b a ac 5 ± ± 5 6 N per 8 D0 per 6 La soluzione è 6 8 Esercizio no.:soluzione ( ) ( ) ( 9 ) ( 9 ) 9 8 ( 9 ) Il numeratore è riconducibile a una parabola con concavità rivolta verso l alto con radici ± 9 quindi: N D La disequazione è soddisfatta (0) per 9 9

13 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.5:soluzione ( 8 )( ) ( 5 )( ) 9 0 avremo: 8 ( ) N D 9 9 Disequazione soddisfatta per Esercizio no.6:soluzione 5 0 Il numeratore essendo l espressione di una parabola simmetrica rispetto l asse delle ordinate, con concavità rivolta verso l alto è N per Anche il denominatore D è l espressione di una parabola con concavità rivolta verso l alto, le sue intersezioni con l asse sono soluzioni dell equazione: b ± b ac 5 ± ± 8 / a il denominatore D per 7 La disequazione assegnata è soddisfatta per 7

14 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie Esercizio no.7:soluzione 5 0 ( ) 5 ( 7 0 ) Per il trinomio al denominatore dell ultimo addendo avremo: / b ± b a ac 7 ± ± ( ) 5 ( 5 )( ) ( )( 5 ) ( ) ( 5 )( ) ( 5 )( ) 5 0 ( 5 )( ) 5( ) ( 5 )( ) 5 ( 5 ) questo ultimo passaggio è consentito a patto di escludere dalle soluzioni il valore che annullerebbe il denominatore e renderebbe la disequazione priva di senso. N D 5 5 La disequazione è soddisfatta per 0 5

15 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 5 Esercizio no.8:soluzione Portando tutto al secondo membro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / b ± 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b ac a ± ± Il numeratore N è positivo per valori esterni a / Si riconosce che il denominatore è a sua volta l equazione di una parabola con concavità rivolta verso l alto con radici: / e Il denominatore D è, a sua volta, positivo per valori esterni a / Valutiamo ora il segno del rapporto N/D con la solita rappresentazione grafica: La disequazione assegnata è soddisfatta (positiva)per dato che il quesito posto ci chiede quando l espressione assegnata è positiva o uguale a zero, dobbiamo includere in tale intervallo anche le radici del numeratore N che annullano l intera frazione. Quindi la soluzione è: 5

16 Edutecnica.it Disequazioni frazionarie 6 Esercizio no.9:soluzione Il numeratore è una parabola con concavità rivolta verso l alto con vertice nel punto 0,0 origine degli assi cartesiani; quindi il numeratore N è sempre positivo, eccetto in tale in tale punto, dove il rapporto N/D si azzera (e la disequazione non è soddisfatta) Il denominatore è anch esso riconducibile ad una parabola con concavità rivolta verso l alto, ma non ha intersezioni con l asse delle, dato che il suo determinante è negativo, quindi la sua equazione non ammette radici in campo reale, infatti: b ac 5 0 si deduce che N 0 mentre D per cui la disequazione è soddisfatta 0 Esercizio no.0:soluzione Usando la regola di Ruffini il polinomio iniziale può essere rappresentato come: ( ) ( ) 0 Il termine è riconducibile ad una parabola con concavità verso l alto che interseca l asse delle ascisse in ±. Tale termine è positivo per. Quindi se indichiamo: A B ( ) ( ) 0 Dal grafico si ottiene che la disequazione è soddisfatta per: 6