Istituzioni di Matematiche

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1 Istituzioni di Matematiche Commissione Emmer, A.A. 003/0 Esercizi proposti n.1 SOLUZIONI Esercizio 1. a. y = 3x + x 5 Figure 1: Grafico di y = 3x + x 5 per x [ 10, 5/3] [1, 10] Il dominio D è definito da x IR : 3x + x 5 0 poichè la funzione in esame è una radice di ordine pari. Il trinomio di secondo grado rappresenta una parabola. Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, dunque la parabola ha la concavità rivolta verso l alto ed è positiva nell intervallo esterno alle sue due radici reali, soluzioni dell equazione associata 3x + x 5 = 0. Il trinomio si annulla per x 1 = 5/3 e x = 1, dunque l insieme D = (, 5/3] [1, + ). Immagine: Poichè la funzione è una radice di ordine pari si ha y 0. Inoltre il trinomio 3x + x 5 rappresenta una parabola che cresce all infinito, la cui radice mantiene il medesimo comportamento (Figura 1). Dunque l immagine di questa funzione è I = [0, + ). Dalla definizione dell insieme I si ha y 0, x D.

2 b. y = x x 7 Figure : Grafico di y = x x 7 Il dominio D è definito da : a) per x [0, 7) (7, 10], b) per x [, 5] x IR : x 7 0 poichè è una funzione razionale il cui denominatore deve essere non nullo. Quindi il domino è l insieme D = (, 7) (7, + ). Immagine: Andando a considerare i valori della funzione per x che si avvicina a 7 si osserva che la funzione assume valori sempre più grandi, sia positivi che negativi. Se ne deduce che la funzione, nel suo insieme di definizione, assumerà tutti i valori reali come si osserva nella Figura.a. Dunque l immagine di questa funzione è I = (, + ). Andiamo a studiare il segno della frazione x x 7 0. Il segno del numeratore è dato da x 0 per x il numeratore è non negativo, segno del denominatore x 7 > 0 per x > 7 il denominatore è positivo. Dalla composizione dei due segni si ottiene: y > 0 per x (, ) (7, + ) y < 0 per x (, 7) y = 0 per x =. La Figura.b mostra come la funzione cambia segno in x =.

3 Figure 3: Grafico di y = 3 x x+3 per x [ 1.5,.5] c. y = 3 x x+3 Il dominio è l insieme D = (, + ) poichè la funzione è un esponenziale con esponente costituito da un trimonio definito x IR. Immagine: L esponenziale è una funzione sempre positiva che assume massimo e minimo rispettivamente nel massimo e nel minimo del suo esponente. Poichè quest ultimo è un trinomio di secondo grado che rappresenta una parabola rivolta verso l alto (coefficiente di secondo grado positivo), il minimo lo raggiungerà nel suo vertice, in x = 1/: y(1/) = 3 ( 1 ) 1 +3 = 3 11 = 9 7. L esponenziale cresce quando l esponente cresce e dunque l immagine di questa funzione è I = [9 7, + ) (Figura 1). Dalla definizione dell insieme I si ha y > 0, x D. d. y = ln(x + ) Il dominio D è definito da x IR : x + > 0 x >. Infatti, poichè è una funzione logaritmica, il suo argomento deve essere strettamente positivo. Il dominio risulta essere D = (, + ). Immagine: È una funzione logaritmica che ha per immagine l insieme I = (, + ).

4 Figure : Grafico di y = ln(x + ) per x (, 10] Quindi ln(x + ) 0 x + 1 x 1 y > 0 per x ( 1, + ) y < 0 per x (, 1) y = 0 per x = 1. La Figura mostra come la funzione cambia segno in x = 1. Esercizio. a. y = ln(x + x + 1) Il dominio D è definito dalle x IR : { ln(x + 1) 0 x Dunque D = (, ] [0, + ). = { x e x 0 x 1 b. y = sin(x 1) ln(x 3) l insieme D è definito da x IR : { ln(x 3) 0 x 3 > 0 Quindi D = (3, ) (, + ). = { x x > 3

5 Figure 5: Grafico di y = ln(x + x + 1) per x [ 10, ] [0, 10] c. y = tg(x x + 3) La funzione è costituita dalla tangente di un trinomio di secondo grado. Il dominio D è definito dall insieme delle x IR : x x + 3 π + kπ, k ZZ Il discriminante dell equazione associata è = 11 + π(k + 1) quindi la condizione 0 per avere due radici reali porta alla seguente condizione su k: 11 π k, k ZZ = k IN π e le radici dell equazione associata sono x = 1 ± 11 + π(k + 1), k IN. Dunque D = {x IR \ { 1± 11+π(k+1), k IN.}}. x d. y = ln( x) Insieme D: { x 0 ln( x) 0 D = (, 3) (3, ). { x < x 3 Esercizio 3.

6 Figure 6: Grafico di y = sin(x 1) ln(x 3) per x (3, ) (, 50] a. y = ln x + x 6 L insieme D viene definito da: x + x 6 > 0 = x < 3 e x > quindi il dominio è D = (, 3) (, + ). ln x + x 6 0 x + x 6 1 x + x 7 0 Le soluzioni dell equazione associata sono x = 1 ± 9 e quindi ( y > 0 per x, 1 ) ( ) , + ( ) ( 1 9 y < 0 per x, 3, 1 + ) 9 y = 0 per x = 1 ± 9. b. y = x tg(x) La funzione può essere riscritta y = Quindi il dominio dominio D è definito da: x sin(x) cos(x). sin(x) 0 = x kπ, k ZZ, k 0

7 Figure 7: Grafico di y = tg(x x + 3) per x ( π, π ) Per k = 0 la funzione esiste e vale y = 1 perchè lim x 0 x sin(x) = 1. Quindi D = {x IR : x kπ, k ZZ, k 0}. Da cui x tg(x) 0 x 0 tg(x) > 0 = x 0 kπ < x < π = kπ, k ZZ Componendo i segni del numeratore e del denominatore si ottiene: c. y = x x + 5 3x 1 y > 0 y = 0 y < 0 per x (kπ, π + kπ ) per x = π + kπ, k ZZ altrove nel dominio di definizione. Insieme dominio D : x IR : 3x 1 0 D = (, 1/3) ( 1/3, + ). ( π kπ, kπ ), k IN Da cui x x x 1 > 0 x x + 5 3x 1 = x 1 1 x > 1/3

8 Figure 8: Grafico di y = ln(x + x + 1) per x [ 0, 3) (3, ) Componendo i segni del numeratore e del denominatore si ottiene: ( y > 0 per x, 1 + ) ( 1 1/3, 1 ) 1 ( y < 0 per x 1 + ) ( 1, 1/3 1 ) 1, +. y = 0 per x = 1 ± 1 d. y = cos(x) x Insieme dominio D : x IR : x > 0 D = (, ). Da cui cos(x) 0 x = > 0 cos(x) x 0 x [ π + kπ, π + kπ], k ZZ x D Componendo i segni del numeratore e del denominatore si ottiene: y 0 per x[ π + kπ, π + kπ], k ZZ y < 0 altrove nel dominio di definizione.

9 Figure 9: Grafico di y = ln x + x 6 per x [ 15, 3) (, + ] Figure 10: Grafico di y = x tg(x) per x ( 3π, 3π)

10 Figure 11: Grafico di y = x x + 5 3x 1 per x [ 30, 1) (1, 30] Figure 1: Grafico di y = cos(x) x per x [ 50, )