Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni

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Armando Fusco
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1 Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 1 Proprietà uguaglianze e disuguaglianze tra reali P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 7 P 8 + =+ = = < + <+ <0 >0 <, > < <, < >!! si inverte il segno della disequazione =0 =0 =0 >0 >0 >0 <0 <0 (a e b concordi) <0 >0 <0 <0 >0 (a e b discordi) 2 0 P 9 >0 >0 e <0 <0 Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 2 1

2 Equazioni di primo grado in una incognita Soluzione : = += e in linguaggio insiemistico, l insieme S delle soluzioni è: = Casi particolari: se a=0 e b 0 = eq. impossibile = non ammette soluzioni: = se a=0 e b=0 = equazione indeterminata = ammette come soluzione un qualunque numero reale x: = Graficamente (possibili soluzioni in verde): -b/a a 0 = a=0 e b 0 = a=0 e b=0 = R Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 3 Esempio equazione di 1 grado in una incognita = + =+ + =+ + = + ( )=( ) ( )=(+)( ) se a 1 è possibile dividere per (a-1) = + =+ se a=1 non è possibile dividere per (a-1) = indeterminata Graficamente (possibili soluzioni in verde): 2a+2 a 1 = + a=1 = R Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 4 2

3 2 esempio equazione di 1 grado in una incognita =+ + + condizione esistenza denominatore: x -1 moltiplicando ambo i membri per x+1 : =(+)+ = ++ = + = = = La soluzione trovata è inaccettabile in quanto contrasta con la condizione x -1 posta inizialmente l equazione data è impossibile = Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 5 Es. equaz. 1 grado in 1 incognita con val. assoluto = = se () = += se < < () (a) ammette come soluzione = = (b) ammette come soluzione = = Le soluzioni di =sono l unione delle soluzioni di (a) e (b) = ; Graficamente (possibili soluzioni in verde): -4 6 Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 6 3

4 Disequazioni di primo grado in una incognita Casi: + se a>0 soluzioni =, -b/a se a<0 soluzioni =, -b/a se a=0 e b 0 soluzioni = se a=0 e b<0 soluzioni = R Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 7 Es. disequazioni di primo grado in una incognita soluzioni =, 3/2 soluzioni =, -9/10 Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 8 4

5 Disequazione frazionaria Occorre valutare separatamente segno di numeratore e denominatore e imporre la condizione di esistenza per il denominatore: denom 0 + Es. Num Den>0 1>0 > (x 1) -1 + =, 1 1, Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni Disequaz. 1 grado in 1 incognita con val. assoluto con c R e r R + se () + se < < () (a) ammette come soluzioni + =,+ (b) ammette come soluzioni < =, c-r c c c+r Le soluzioni di sono l unione delle soluzioni di (a) e (b) =,+ c-r c+r Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 10 5

6 Schema diseq. 1 grado 1 incognita con val. assol. Si possono ricavare le seguenti regole di determinazione delle soluzioni di equazioni e disequazioni di primo grado con valore assoluto: = ; + <, +, + >, +,, +, c R e r R + Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 11 Es. disequaz. 1 grado 1 incognita con val. assoluto soluzioni =, < soluzioni < < 1<< 1 3 =, + < soluzioni <+< << -3-1 =, > soluzioni < > =, 2 2, -2 2 Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 12 6

7 Equazioni di secondo grado in una incognita ++= discriminante dell equazione = Soluzioni (valori della x per i quali è verificata l equazione):, = ± se < eq. impossibile = non ammette soluzioni: = se = = = = se =l equazione può essere fattorizzata come ( ) = se > = ; se >l equaz può essere fattorizzata come ( )( )= Es. += = => = ; l equazione di partenza può essere può essere fattorizzata: ( )( )= Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 13 Rappresentaz. grafica soluz. equaz. di 2 grado Trovare le soluzioni dell equaz. ax 2 +bx+c=0 equivale a trovare le soluzioni del =0 ( ) sistema: = ++ parabola di vertice = ; hp: a > 0 concavità parabola verso l alto hp: a < 0 concavità parabola verso il basso con = se < la parabola non interseca l asse x se = la parabola ha il vertice sull asse x (unico punto di intersez.) se > la parabola interseca in due punti l asse x Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 14 7

8 Esempio 1 += = = = < = (nessuna soluzione) Verificando la presenza di eventuali intersezioni della parabola con l asse x =0 ( ) = +1 parabola di vertice = = ; a > 0 concavità parabola verso l alto = y=x 2 +1 Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 15 Esempio 2 += = = => due soluz., = ± = ; = ; Verificando la presenza di eventuali intersezioni della parabola con l asse x =0 ( ) = 5+6 parabola di vertice = = ; a > 0 concavità parabola verso l alto y=x 2-5x+6 = Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 16 8

9 Disequazioni di secondo grado in una incognita Hp: x 1 < x 2 caso a > 0 = ++> ++< > è soddisfatta per x [x 1,x 2 ] è soddisfatta per x ]x 1,x 2 [ = è soddisfatta per x non ha soluzioni < è soddisfatta per x R non ha soluzioni caso a < 0 = ++> ++< > è soddisfatta per x ]x 1,x 2 [ è soddisfatta per x [x 1,x 2 ] = non ha soluzioni è soddisfatta per x < non ha soluzioni è soddisfatta per x R Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 17 Sistemi di equazioni Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni (nelle stesse incognite) delle quali si voglia trovare una soluzione comune. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo costituiscono. Es: += += sistema di 2 grado I sistemi di primo grado vengono anche detti sistemi lineari. Ad esempio un sistema del tipo += + = + = è un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite (x,y). a, b,,,, vengono detti coefficienti c,, vengono detti termini noti Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 18 9

10 Sistemi lineari Un sistema lineare di 2 o più equazioni può essere: determinato una soluzione indeterminato infinite soluzioni impossibile nessuna soluzione Non esiste un sistema lineare con 2 o 3 soluzioni. Un sistema lineare formato da un numero di equazioni superiore al numero di incognite è in generale impossibile. Un sistema lineare formato da un numero di equazioni inferiore al numero di incognite è indeterminato. Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 19 Sistemi lineari in 2 incognite Un equaz. di 1 grado in 2 incognite ammette soluzioni, cioè esistono coppie (x,y) che la soddisfano (punti di una retta). La coppia (x 0, y 0 ) è soluzione del sistema se è soluzione di tutte le equazioni del sistema. Dato un sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite += + = se il sistema è determinato (una soluzione) se = = il sistema è indeterminato (infinite soluzioni) se = il sistema è impossibile (nessuna soluzione) Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 20 10

11 Metodi risolutivi sistemi lineari di 2 equaz. in 2 incognite Sostituzione: si ricava da una delle due equazioni una delle due incognite e si sostituisce l espressione nell altra equazione. Esempio = += = ()+= = = = = Confronto: si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita e poi si uguagliano le espressioni trovate. Esempio = += =/ = = = = = = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 21 Metodi risolutivi sistemi lineari di 2 equaz. in 2 incognite Riduzione: consiste nel sommare/sottrarre membro a membro le due equazioni in modo da far scomparire una delle due incognite. Esempio ) = ) += a+b)+= a+b) = a) = = = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 22 11

12 Interpretazione geometrica di un sistema lineare Le equazioni di un sistema di primo grado in 2 incognite (x, y) rappresentano nel piano cartesiano delle rette. Nel caso di 2 equazioni: += retta r + = (retta r ) La coppia (x 0, y 0 ) è soluzione del sistema se e solo se il punto del piano di coordinate (x 0, y 0 ) è intersezione delle rette r e r. Es = (bisettrice 1 e 3 quadrante) += (bisettrice 2 e 4 quadrante) = bisettrice 1 e 3 quadrante = parallela a bisettr.1 3 quadr una soluzione:, nessuna soluzione Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 23 Risoluz. sistema lineare di 2 eqin 2 incognite con matrici (1) += + = La soluzione del sistema è = = Data la matrice 2 x 2 costruita con i coefficienti del sistema = si definisce determinante di A: = Indicando con = e con = il sistema ha un unica soluzione data da: e ipotizzando deta 0 = = (1) Una matrice di m righe ed n colonne (matrice m x n) è una figura costituita da m n numeri disposti in m righe ed n colonne racchiusi tra due parentesi tonde Paolo Montanari Appunti di Matematica Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni 24 12

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