3^C - Funzioni. Determina il campo di esistenza della funzione y= x x 3 x 5 0 x 5

Transcript

1 3^C - Funzioni Determina il campo di esistenza della funzione y= x x 3 x 5 0 x 5 { 2 x 3 0 x 3/2 CE : x 3 2 Determina il codominio della funzione y= x 2 6 x Parabola di vertice V 3,9 e concavità rivolta verso il basso, quindi cod : y 9 Determina un intervallo in cui la funzione y=2 x 2 1 sia invertibile, e scrivi l'equazione della sua funzione inversa in tale intervallo Parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse y; quindi è invertibile per funzione inversa ha equazione: x= y 1 /2, o y= /2 x 0, e la Studia il segno della funzione y= 2 x3 1 x o x (1-x 2 ) - o + f(x) Un titolo di borsa ha perso ieri l x% del suo valore Oggi quel titolo, guadagnando l y%, è ritornato al valore che aveva prima della perdita Esprimi y in funzione di x Il valore iniziale v diventa 1 x/100 v ieri e 1 y/100 1 x/100 v oggi Imponiamo v= 1 y/100 1 x/100 v y=100 x/ 100 x Traccia il grafico della funzione f x = 4 x 2 Quante soluzioni può avere l'equazione 4 x 2 =k al variare di k in R? Dal grafico vediamo che l'equazione due soluzioni se k 4 ; tre soluzioni se k =4 ; quattro soluzioni se 0 k 4 ; di nuovo due soluzioni se k=0 ; nessuna soluzione se k 0 f x =k può avere: Determina il campo di esistenza della funzione y= 5 6 x 1

2 La funzione è definita x R, poiché l'esponenziale 6 x 1 0 Qual è la funzione inversa della funzione f :R R, definita da f x =x 2 4? a y=± x 4 b y= x 4 c y= x 4 d y= x 2 4 e La funzione non ha inversa Risposta e (la funzione non è iniettiva) Determina il campo di esistenza delle seguenti funzioni e studiane il segno: y= x 4 x 2 4 ; y= 4 x 9 2 x 8 y= x 4 x 2 4 CE :{ x 4 x2 4 0 x x 2 x 2 Imponendo x 4, la prima diseq diventa: x 4 2 x 2 4 x 5 2 Quindi: C E : 5 2 x 2 x 2 f x 0 x CE y= 4 x 9 2 x 8 CE : 4 x 9 2 x 8 0 t 2 9t 8 0 t 1 t 8 x 0 x 3 f x 0 x 0 x 3 Data la funzione y= e x e x y= e x e x 2 Poiché e x 0, mentre 2, scrivi l'equazione della funzione inversa 2 y=e x 1 e x e 2 x 2 ye x 1=0 e x = y± y 2 1 y y 2 1 0, consideriamo solo la soluzione con il segno positivo Quindi: x=ln y y 2 1 o, scambiando le variabili: y=ln x x 2 1 Considera la funzione f x di equazione y=ln x 2 a Determina il campo di esistenza della funzione e i punti di intersezione con gli assi cartesiani di C Studia il segno della funzione b Dimostra, giustificando la risposta, che C è simmetrico rispetto all'origine degli assi c Determina l'eq della funzione inversa per 2 x 2

3 d Risolvi la disequazione ln x 2 1 a CE : 0 x ±2 x 2 f Se Se x x 2 x 2 x 2 1 x =ln x 2 0 x x 0 2 x 0 x 2 Quindi: f x 0 x 0 x 2 b f x =ln x 2 =ln x 2 =ln 1 = ln x 2 = f x cvd x 2 c Per 2 x 2 : y=ln 2 x x 2 2 x x 2 =e y x= 2 1 e y 1 e y L'equazione della funzione inversa è: d ln x 2 1 x 2 e y= 2 1 e x 1 e x e x 2 x 2 e Dalla 1^ diseq otteniamo: 2 x 2 2e 1 e 0,92 ; dalla 2^ diseq otteniamo: In conclusione, la diseq è verificata per: 2 2e 1 e 4,34 x 2 2 2e 2 2e x 1 e 1 e x 2 Considera le funzioni definite dall'equazione y= 2 x a x a, dove a R, a 0 a Dimostra che i loro grafici hanno tutti in comune un punto, e trovane le coordinate b Tra le funzioni date, determina quella il cui grafico ha come centro di simmetria il punto P 1,2, e indicala y= f x c Determina il campo di esistenza ed i punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione y=g x = f x d Studia il segno di g x e Scrivi l'equazione della funzione inversa y=g 1 x e tracciane il grafico f Risolvi la disequazione f x 1 (Attento: qui c'è una f, e non una g!) a Scrivendo l'equazione come:

4 xy 2 x a 1 y =0, vediamo che i termini in a si annullano per y=1 x=0 Abbiamo quindi un fascio di iperboli equilatere passanti per A 0,1 b Il centro di simmetria della funzione omografica è il punto di intersezione degli asintoti, di coordinate a,2 Esso coincide con P per a= 1 ; quindi: f x = 2 c CE g x : 2 0 x 1 x 1 2 Intersezioni assi: 1,0 ; 0,1 2 d g x 0 x 1 x 1 2 ; g x =0 x= 1 2 e Per y 0, ricaviamo: y= 2 y 2 = 2 xy 2 y 2 1 y2 =2 x= y 2 2 Cambiando nome alle variabili, ricaviamo: f y=g 1 x = 1 x2 x 2 2 con x x x 2 3 ; 2 x Di conseguenza: 2 1 x 2 3 x 0 x 1 x 0 x 1 x 0 Determina il campo di esistenza e studia il segno delle seguenti funzioni: y= x 2 2 x ; y= 2 x log 2 x 4 y= x 2 2 x CE: x 2 2 x 0 1 x 0 x 2 ; f x 0 x CE o num o - o + den - o rad o + + f(x) y= 2x log 2 x 4 CE: { x 0 log 2 x 4 0 log x ±2 x 10 2 x 10 2 ;

5 f x o - o + f(x) Studia le seguenti funzioni: y= 4 x 2 9 ; y= x 1 x 3 ; y=3x 1 1 ; y= 4 9 x 2 ; y= 2 x 1 3 x ; y=log x 2 1 In particolare, determina per ognuna di esse il genere, il campo di esistenza (o dominio), le eventuali simmetrie, il segno, le intersezioni con gli assi cartesiani, il grafico probabile, il codominio (o immagine), la funzione inversa (specificando un intervallo in cui la funzione data sia invertibile) e qualunque altra informazione utile a y= 4 x 2 9 dom: rad 0 x 3/ 2 x 3/ 2 f x = f x x dom f funzione pari { f x 0 x 3/2 x 3/2 f x =0 x=±3/2 f x 0 Int asse x : ±3/2,0 Int asse y : Imm: y 0 E' invertibile per x 3/2 (o per x 3/ 2 ); nel primo intervallo, la funzione inversa è: x=1/2 y 2 9 Elevando al quadrato, l'equazione diventa: { x 2 9/4 y2 9 =1 y 0 Si tratta quindi di due archi di iperbole di asintoti y=±2 x b y= x 1 x 3 dom: den 0 x 3 { f x 0 x 3 x 1 f x =0 x=1 f x 0 y=1 Intasse x : 1,0 Int asse y : 0,1/3 Imm: y 0 Si tratta di una funzione x=-3

6 omografica (iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani) composta con il valore assoluto E' invertibile per: la funzione inversa è: x= 3 y 1 / 1 y c y=3 x 1 1 dom: x R Funzione esponenziale con base maggiore di 1 traslata di un vettore v 1, 1 f 0 3 x 1 1 x 1 0 x 1 Intasse x : 1,0 Int asse y : 0, 2/3 Imm: y 1 E' invertibile, ed ha funzione inversa: y 1=3 x 1 x 1=log 3 y 1 x=log 3 y 1 1 d y= 4 9 x 2 dom: rad 0 2/3 x 2/3 f x = f x x dom f funzione pari { f x 0 2/3 x 2/3 f x =0 x=±2/3 f x 0 Int asse x : ±2/3,0 Int asse y : 0,2 Imm: 0 y 2 x 3 x 1 (o per 3 x 1 ); nel primo caso, E' invertibile per 0 x 2/3 (o per 2/3 x 0 ); nel primo intervallo, la funzione y=-1 inversa è: x=1/3 4 y 2 Elevando al quadrato, l'equazione diventa: { x 2 4/9 y2 4 =1 y 0 Si tratta quindi di un arco di ellisse di semiassi a=2/3, b=2 e y= 2 x 1 3 x dom: den 0 x 3 { f x 0 x 1/2 x 3 f x =0 x=1/2 f x 0 Intasse x : 1/2,0 Int asse y : 0,1/3 Imm: y 0 Si tratta di una funzione omografica (iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani) composta con il valore assoluto E' invertibile per: 1/2 x 3 (o per inversa è: x= 3 y 1 / y 2 y=2 x=3 x 1/2 x 3 ); nel primo caso, la funzione

7 f y=log x 2 1 dom: x R Funzione logaritmica di base e (>1) traslata di un vettore v 2,1 Imm: y R x=-2 f 0 log x 2 1 x 2 e 1 x 2 1/e 1,63 Intasse x : 2 1/e,0 Int asse y : 0,log 2 1 1,69 E' invertibile, ed ha funzione inversa: y 1=log x 2 x 2=e y 1 x=e y 1 2 La mosca che abbiamo conosciuto in un precedente compito di fisica parte in volo all'istante t=0 dall'origine del piano cartesiano con velocità di componenti v x =2, v y =1 e viene L illuminata da una lampadina posta nel punto L 0,10 a Scrivi le leggi orarie x= f t e y=g t che descrivono il moto della mosca nel piano e la legge oraria x=h t che descrive il moto dell'ombra della mosca sull'asse x b Traccia il grafico posizione-tempo descritto dalla legge oraria x=h t (prescindendo dalle limitazioni su t e ponendo il tempo t sulle ascisse e la posizione x sulle ordinate) Descrivi le caratteristiche della curva ottenuta c Evidenzia la parte del grafico che corrisponde alle limitazioni su t del problema d Calcola la velocità dell'ombra nell'istante t=5 a Leggi orarie (equazioni parametriche della traiettoria): x M =2t, y M =t La retta LM rappresenta il raggio di luce che illumina la mosca ad un certo istante: m LM = y x =t 10 2t, q=10 ; quindi l'equazione di LM è y= t 10 2t L'ombra è data dall'intersezione della retta LM con l'asse x: 0 y=0 x O = 20 t 10 t b La curva ottenuta è il grafico di una funzione omografica (iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani) di centro C 10, 20, asintoti di equazione x=10, y= 20, che interseca gli assi cartesiani nell'origine e che attraverso una traslazione può essere riportata alla forma xy=k con k 0 M O

8 c La legge oraria del moto dell'ombra è valida per 0 t 10, in quanto per t 0 la mosca non ha ancora preso il volo, e per t 10 essa ha raggiunto un'altezza maggiore o uguale di quella della lampadina, e quindi non proietta più la sua ombra sull'asse x La parte di grafico corrispondente è quella evidenziata in rosso d La velocità istantanea è la pendenza del grafico posizione-tempo nell'istante dato Per t=5 x O = =20 La retta generica per P 5, 20 ha equazione: 0=m t 5 x=mt 5 m 20 Sostituiamo nell'equazione x=h t : 20 t 10 t =mt 5 m t=10 mt 50 m 200 mt 2 5 mt 20 t mt m t 50 m 200=0 Imponiamo la condizione di tangenza =0 : x t 40 15m 2 4 m 50 m 200 = m 225 m m m=0 25 m m 1600=0 m 2 16 m 64=0 m 8 =0 m=8 Quindi nell'istante t=5 la velocità dell'ombra è v O =8 Studia dominio e segno delle seguenti funzioni x 3 x 5 x 1 y=2 ; y=log 2 ; 1 x 2 y= 2 2 x 2 x ; y= log x 2 9 ; y=2 1 x2 ; y=log 1/2 x 3 1 x ; y= 2x 1 2 x 1 x 3 x 1 y=2 dom: x 1 ; f x 0 x dom f y=log 2 x 5 1 x 2 f x 0 dom: x 5 1 x 2 1 x 5 1 x 2 0 x 5 1 ; ; y=x log x x2 x ; 1 x f(x)

9 y= 2 2 x 2 x dom: 2 2 x 2 x x 2 x x 0 ; 0 o + f(x) y= log x 2 9 dom: { x2 9 1 x x 10 x ; + o o + f(x) y=2 1 x2 dom: 1 x x 1 ; f x 0 x dom f x 3 y=log 1/2 1 x dom: x x 3 ; 1 x log 1/2 x 3 1 x o + f(x) x 3 2 x x 2 ; 1 x 1 x y= 2x 1 2 x 1 0 dom: 2x 1 0 x 0 ; - + f(x) 0 1 y=x log x dom: x 0 ; - o x - o + log x - o + f(x) Determina il campo di esistenza, i punti di intersezione con gli assi e il segno della funzione: y=x log x CE : 1 x 0 1 Intersezioni assi : 0,0 Segno: log x 1 x 2 x x 0 Quindi: f x 0 1 x 0 ; f x =0 x=0 ; f x 0 Determina il campo di esistenza delle seguenti funzioni: 1 y=2 ; y=log 1/2 1 x 2 ; y=log 2 x 2 log 3 3 x ; y=log 3 x 1 ; y=log 3 x 1 y=2 1 rad 0 { den 0 { x 0 0 CE : x 0, x 4 ; y=log 1/2 1 x 2 arg 0 1 x 2 0 CE : 1 ;

10 y=log 2 x 2 log 3 3 x arg 1 0 { arg 2 0 { x x 0 CE : 2 x 3 y=log 3 x 1 arg 0 x 1 0 CE : x 1 y=log 3 x 1 { arg 0 rad 0 3 x 1 0 CE : 1 0 { x 1 0 Determina il campo di esistenza delle seguenti funzioni: 1 y= 2 x 2 2 x 20 ; y= 4 x 3 2 x 2 y= ; 2 x ; y=log x 2 x 2 x ; y=log x 1 2 x ; y=log x x 1 y= 3 x x ; y=log 2 x 1 2 rad x 2 x x 20 2 x 4 x 2 den 0 t 2 3t 2 0 t 1 t 2 0 x 0 x 1 rad x 3 1 x 3 0 x 3 rad 1 0 { rad 2 0 { 3x x 0 { x 0 x 3/2 0 x 3 2 { arg 0 base 0 base 1 { 2 x2 x 0 x 0 x 1 { x 0 /2 x 0 x 1 { arg 0 rad 0 { x 1 2 x 0 x 0 arg 0 x x 1 0 ; { 1 x 2 x 0 1 x 2 x 1 2 x 1 num 0 x 1 2 ; den 0 x 2 C E: x 1 2 x 2 { arg 0 rad 0 x 1 x x 1 3 x x 1 Determina il campo di esistenza delle seguenti funzioni: y=2 x2 4 1 ; y= 5x 5 x 1 ; y= log 4 x 1 log 5 4 x y=2 x2 4 1 CE : x x 2 x 2 y= 5x 5 x 1 CE : 5x 1 0 x 0 ; y=log log x ; y=log 3 5 x x 2

11 y= log 4 x 1 log 5 4 x { x 1 0 CE : 4 x 0 x 4 log 5 4 x 0 4 x 1 x 3 1 x 4 x 3 y=log log x CE : { x 0 log x 0 y=log 3 5 x x 2 CE : 5 x x x 5