E' quindi sempre necessario considerare la corrispondente equazione:

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1 Disequazioni irrazionali. E' irrazionale una disequazione in cui la variabile compare sotto il segno di radice. Disequazioni irrazionali ad indice dispari I problemi con le disequazioni irrazionali sorgono essenzialmente solo nel caso che l'indice del radicale sia pari, in quanto per gli indici dispari sarebbe sufficiente elevare ambo i membri all'opportuna potenza senza alcuna incertezza sul verso della disequazione: elevare ad una potenza dispari significa infatti moltiplicare il numero per sé stesso un numero pari di volte che è sicuramente positivo, senza problemi per il verso della disequazione. Abbiamo usato il condizionale perchè in effetti elevare ambo i membri ad una stessa potenza equivale ad applicare la seconda proprietà invariantiva che richiede che il fattore per cui si moltiplica sia sicuramente diverso da zero e ciò non è assicurato per ogni valore di x. Così non è nel caso delle disequazioni che affermano una sostanziale diversità dei due membri: E' quindi sempre necessario considerare la corrispondente equazione: per razionalizzare l'espressione. Una volta trovata la soluzione col metodo già indicato per le disequazioni razionali intere o fratte, si dovrà poi verificare se la disequazione originale è verificata. Perchè moltiplicando per un fattore, si eleva il grado dell'equazione e si aumenta quindi il numero delle soluzioni accettabili. Nel caso di indici dispari, non occorre imporre alcuna condizione di realtà per il radicando in quanto il numero con n dispari è reale per tutti i valori di f(x). Ciò vale in tutti i casi del tipo: con n ed m dispari. Per la risoluzione di un'equazione irrazionale ad indici dispari, per quanto sopra ricordato, conviene scrivere la corrispondente equazione: valida in tutti e due e casi ed elevare poi ambo i membri alla potenza n esima (che è dispari) prima e a quella m esima (che è dispari) poi per ottenere l'equazione equivalente: che, essendo razionale, può essere risolta con i metodi delle equazioni intere. Disequazioni irrazionali ad indice pari Per le disequazioni irrazionali ad indice pari bisogna invece imporre sempre la condizione di realtà per tutti i radicali coinvolti e quindi si deve in ogni caso risolvere un sistema di disequazioni: la soluzione sarà rappresentata dall'intersezione degli insiemi di verità di tutte le disequazioni del sistema. Le disequazioni irrazionali ad indice pari sono essenzialmente di 4 tipi distinti:

2 supponendo, in tutti i casi, che i radicali siano assunti con valore positivo. In ogni caso, per l'osservazione già fatta in precedenza, si dovrà studiare la corrispondente equazione. I. che si risolve con il sistema: tradotto nel sistema risolutivo: per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati). II. In questo caso si devono considerare due casi distinti a seconda del segno di f(x): II a: f(x) 0 che si risolve con il sistema: tradotto nel sistema risolutivo: per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente). oppure: II b: f(x) < 0 che si risolve con il sistema: (visto che f(x) < 0 e nel sistema risolutivo: positivo, non occorre alcuna condizione aggiuntiva), tradotto

3 per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente. In questo caso non è possibile fare il quadrato di ambo i membri perchè f(x) è negativo. La soluzione della disequazione sarà poi data dall'unione degli insiemi di verità dei due casi precedenti. III. che si risolve con il sistema: tradotto nel sistema risolutivo: per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente. IV. che si risolve con il sistema: tradotto nel sistema risolutivo: per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente. Per riassumere le diverse situazioni, utilizziamo la seguente tabella:

4 Notiamo esplicitamente che in tutti i casi il sistema risolvente (cioè quello che utilizza le equazioni al posto delle disequazioni) è sempre lo stesso. Esempi di applicazione del metodo

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8 Disequazioni in valore assoluto. Per definizione, si ha: e quindi la rappresentazione grafica del valore assoluto di f(x) è la seguente: per una funzione lineare del tipo f(x) = x: per una funzione quadratica del tipo f(x) = x 2 :

9 per una funzione cubica del tipo f(x) = x 3 : La funzione dunque non assume mai valori negativi. Pertanto il confronto del valore assoluto di una funzione f(x) con una costante negativa o è sempre verificato ( ) o non lo è in nessun caso ( ). Il confronto di f(x) con una costante positiva o nulla dipende sia dal verso della disequazione che dal valore della costante. Prima di sviluppare la teoria relativa, a scopo esemplificativo, rappresentiamo graficamente la situazione nel caso che = x 2 4 e per 3 valori diversi di k (k 1 = 2, k 2 = 4, k 3 = 7 ): per la funzione quadratica f(x)

10 Nei tre casi, gli insiemi di verità in cui si verifica che visibilmente diversi: Caso k = k1 = 2: Per definizione, si deve risolvere il sistema costituito dalle due disequazioni: sono e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui sono contemporameamente soddisfatte le due disequazioni: Caso k = k2 = 4: Per definizione, si deve risolvere il sistema costituito dalle due disequazioni: e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui sono contemporameamente soddisfatte le due disequazioni: Caso k = k3 = 7: Per definizione, si deve risolvere il sistema costituito dalle due disequazioni:

11 e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unico intervallo in cui sono contemporameamente soddisfatte le due disequazioni: Il procedimento adottato per la funzione quadratica f(x) = x 2 4 può essere utilizzato per qualsiasi altra funzione. Nel caso che la disequazione sia del tipo x 2 4 > k, con k >= 0, la rappresentazione grafica sarà la stessa già utilizzata nel caso precedente, ma gli insiemi di verità non saranno più costituiti dagli intervalli soluzioni di un sistema (e cioè dalla intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni), ma dalla loro unione. Riprendendo i tre casi precedenti, si ha: Caso k = k1 = 2: Come già ricordato, si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema: e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui sono soddisfatte separatamente le due disequazioni: e per la seconda. Caso k = k2 = 4: Si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema: per la prima e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui è soddisfatta la prima ( ) poichè la seconda ha come insieme di verità l'insieme vuoto. Caso k = k3 = 7: Si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema:

12 e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui è soddisfatta la prima ( ) poichè la seconda ha come insieme di verità l'insieme vuoto. Bisogna dunque fare molta attenzione alla differenza sostanziale nei due casi esaminati, ricordando che con la disequazione del tipo f(x) < k, con k >= 0, si deve risolvere un sistema, mentre con la disequazione della forma f(x) > k, con k >= 0, le due disequazioni sono tra loro indipendenti. Per continuare nella esemplificazione grafica, quando alla costante k sia sostituita una funzione g(x), cioè per la disequazione del tipo: f(x) >= g(x) oppure f(x) < g(x), mentre il procedimento rimane inalterato, bisognerà, caso per caso, stabilire il segno della funzione g(x) prima di adottare uno dei due procedimenti, infatti: per ogni x tale che g(x) >= 0 la disequazione f(x) < g(x) equivale al caso f(x) < k, con k >= 0, (data quindi dall'intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni in cui il problema si scompone); la disequazione f(x) > g(x) equivale al caso f(x) > k, con k >= 0, (data quindi dall'unione degli insiemi di verità delle due disequazioni, che NON costituiscono sistema); per ogni x tale che g(x) < 0 la disequazione f(x) < g(x) equivale al caso f(x) < k, con k < 0, (mai soddisfatta); la disequazione f(x) > g(x) equivale al caso f(x) > k, con k < 0, (sempre soddisfatta); La rappresentazione grafica del problema nel caso che le funzioni siano: f(x) = x 2 6, g1(x) = x 2 +1, g2(x) = x 2 1, g3(x) = x 2 +8, è quella riportata in figura:

13 Tratteremo ora il problema in generale, e quindi nel caso f(x) < g(x) e in quello f(x) >= g(x), intendendo che la funzione g(x) può anche essere costante positiva, nulla o negativa. Analizziamo dapprima la: f(x) < g(x) si possono verificare due casi distinti: a) g(x) <= 0 la disequazione non è mai soddisfatta (ovviamente per tutti gli x appartenenti al dominio di negatività di g(x)); b) g(x) > 0 la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni del sistema costituito dalle due disequazioni, e quindi dall'intersezione dei loro insiemi di verità: f(x) < g(x), per ogni x tale che f(x) >= 0, per ogni x tale che g(x) > 0 f(x) < g(x) f(x) > g(x), per ogni x tale che f(x) < 0, per ogni x tale che g(x) > 0 Passiamo ora alla: f(x) > g(x) ancora una volta si possono distinguere due casi distinti: c) g(x) <= 0 la disequazione non è sempre soddisfatta (ovviamente per tutti gli x appartenenti al dominio di negatività di g(x)); b) g(x) > 0 la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni delle due disequazioni (che NON costituiscono sistema) e quindi dall'unione dei loro insiemi di verità: f(x) > g(x), per ogni x tale che f(x) >= 0, per ogni x tale che g(x) > 0 f(x) > g(x) f(x) < g(x), per ogni x tale che f(x) < 0, per ogni x tale che g(x) > 0 La situazione è schematizzata sinteticamente nella seguente tabella: Tabella per le disequazioni in valore assoluto g(x) 0 g(x) > 0 f(x) < g(x) MAI soddisfatta Soluzioni del SISTEMA (Intersezione) f(x) g(x) < 0 f(x) + g(x) > 0

14 f(x) > g(x) SEMPRE soddisfatta (ad eccezione dei punti in cui f(x)= 0) Soluzioni delle 2 equazioni (Unione) f(x) g(x) > 0 f(x) + g(x) < 0 In definitva, il procedimento pratico per la risoluzione di una disequazione che contenga un valore assoluto, f(x) >= g(x) oppure f(x) < g(x), implica dapprima la determinazione del segno di g(x) (banale nel caso che g(x) sia una costante) e, nel caso non si sappia già a priori che la disequazione non è MAI o è SEMPRE soddisfatta, la risoluzione del sistema indicato nella tabella per f(x) < g(x) e g(x) > 0 (intersezione) la risoluzione delle 2 equazioni indicate nella tabella per f(x) > g(x) e g(x) > 0 (unione) Esempi di applicazione del metodo: I) Studio della disequazione x < 8 Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = 8 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere il sistema di disequazioni: che corrisponde al sistema risolvente: con un insieme di verità dato dall'intersezione di quello della prima disequazione ],8[ con quello della seconda ] 8,+ [, cioè dall'intervallo ] 8,8[ in cui sono soddisfatte contemporaneamente le due disequazioni. II) Studio della disequazione x 2 +2x 10 < 5 (analogo al precedente) Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = 5 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere il sistema di disequazioni: che corrisponde al sistema con un insieme di verità dato dall'intersezione di quello della prima disequazione ], 1 6[ ] 1+ 6,+ [ (indicato dal segno nel grafico), con quello della seconda ] 5,3[ (indicato dal segno nel grafico)

15 e cioè negli intervalli ] 5, 1 6 [ ] 1+ 6, 3[ in cui sono soddisfatte contemporaneamente le due disequazioni. III) Studio della disequazione x > 5 Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = 5 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere le due disequazioni (che, in questo caso, NON costituiscono sistema, per cui dovremo considerare l'unione degli intervalli di verità delle due disequazioni): con un insieme di verità dato dall'unione di quello della prima disequazione ]5, + [ con quello della seconda ], 5[ IV) Studio della disequazione x2 + 5x > 6 (analogo al precedente) Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = 6 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere le due disequazioni (che, in questo caso, NON costituiscono sistema, per cui dovremo considerare l'unione degli intervalli di verità delle due disequazioni): equivalenti a che portano agli insiemi di verità: con un insieme di verità dato dalla unione di quello della prima disequazione ], 6[ ]1,+ [ (indicato dal segno nel grafico), uniti a loro volta con quello della seconda ] 3, 2[ (indicato dal segno nel grafico). L'insieme di verità complessivo è dato dunque da: ], 6[ ]1,+ [ ] 3, 2[ V) Studio della disequazione x > 8 Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = 8 è certamente negativo, si si deduce che la disequazione è sempre soddisfatta, qualunque sia il valore reale di x. La disequazione f(x) > 8 è soddisfatta in tutto il dominio di f(x). VI.Studio della disequazione x < 4 Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = 8 è certamente negativo, si si deduce che la disequazione non è mai soddisfatta, qualunque sia il valore reale di x. La disequazione f(x) < 4 non è mai soddisfatta in tutto il dominio di f(x). VII) Studio della disequazione: 3x 2 2x + 1 > 5x 2 10x 5 1. determinazione del segno di g(x) = 5x 2 10x 5:

16 e negativo per: 2) Dalla seconda riga della tabella si deduce immediatamente che la disequazione è sempre soddisfatta per x nell'intervallo: perchè in tale intervallo g(x) risulta negativo, ad esclusione dei punti in cui f(x) = 3x 2 2x + 1 = 0. 3) Per gli altri due intervalli, in cui g(x) risulta strettamente positivo, si dovranno risolvere le due disequazioni seguenti (che NON costituiscono sistema e che quindi forniranno come soluzione la unione dei rispettivi insiemi di verità): Le prime due disequazioni si possono considerare solo all'interno degli intervalli: ],x5[ e ]x6, + [ in cui g(x) = 5x 2 10x 5 è positiva. In conclusione, l'insieme di verità complessivo della disequazione 3x 2 2x + 1 > 5x 2 10x 5 è il seguente: ]x1,x5[ ]x6,x2[ ove è soddisfatta la prima disequazione, mentre la seconda non è mai soddisfatta

17 all'interno dell'intervallo in cui g(x) è positiva. VIII) Studio della disequazione: 3x 2 2x + 1 < 5x 2 10x 5 1. determinazione del segno di g(x) = 5x 2 10x 5: fornisce lo stesso risultato precedente (v. punto 1) sopra) 2. Dalla prima riga della tabella si deduce immediatamente che la disequazione NON è mai soddisfatta per x ] perchè in tale intervallo g(x) risulta negativo. 3) Per gli altri due intervalli, in cui g(x) risulta strettamente positivo, si dovrà risolvere il sistema delle due disequazioni seguenti (con un insieme di verità fornito dall'intersezione di quelli delle due disequazioni): In questo caso, pur essendo luguali le soluzioni delle equazioni corrsipondenti, cambiano gli insiemi di verità, perchè sono opposti i versi: La prima disequazione è soddisfatta nell'intervallo ], x1 [ e nell'intervallo ] x2, + [ e la seconda nell'intervallo ], x3 [ e nell'intervallo ] x4, + [; In conclusione, l'insieme di verità complessivo della disequazione 3x 2 2x + 1 < 5x 2 10x 5 è il seguente: ], x1 [ ] x2, + [ che fornisce l' intersezione degli insiemi di verità delle tre disequazioni: 2x 2 + 8x + 6 < 0 8x 2 12x 4 > 0 5x2 10x 5 > 0