I radicali questi sconosciuti
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- Silvestro Chiesa
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1 I radicali questi sconosciuti Luciano Seta 25 ottobre 2016
2 Introduzione Estrarre una radice: radicali aritmetici Estensione a tutti i numeri reali: radicali algebrici Proprietà dei radicali aritmetici Proprietà invariantiva Minimo comune indice Operazioni con i radicali aritmetici Razionalizzazione
3 La radice n-esima Se a R, con a > 0, ed n N 0, esiste uno ed un solo numero reale b > 0 tale che b n = a.
4 La radice n-esima Se a R, con a > 0, ed n N 0, esiste uno ed un solo numero reale b > 0 tale che b n = a. Il numero reale e positivo b si dice radice aritmetica n-esima di a.
5 La radice n-esima Se a R, con a > 0, ed n N 0, esiste uno ed un solo numero reale b > 0 tale che b n = a. Il numero reale e positivo b si dice radice aritmetica n-esima di a. Si indica con il simbolo n a, oppure a 1/n.
6 La radice n-esima Se a R, con a > 0, ed n N 0, esiste uno ed un solo numero reale b > 0 tale che b n = a. Il numero reale e positivo b si dice radice aritmetica n-esima di a. Si indica con il simbolo n a, oppure a 1/n. L'operazione di estrazione di radice aritmetica è denita solo per numeri reali assoluti.
7 La radice n-esima con radicando letterale Se il radicando contiene oltre a numeri anche delle lettere è necessario procedere con cautela:
8 La radice n-esima con radicando letterale Se il radicando contiene oltre a numeri anche delle lettere è necessario procedere con cautela: Bisogna imporre opportune condizioni di esistenza.
9 La radice n-esima con radicando letterale Se il radicando contiene oltre a numeri anche delle lettere è necessario procedere con cautela: Bisogna imporre opportune condizioni di esistenza. a + 1 n a+1, il radicando deve essere b4 b 4 0
10 La radice n-esima con radicando letterale Se il radicando contiene oltre a numeri anche delle lettere è necessario procedere con cautela: Bisogna imporre opportune condizioni di esistenza. a + 1 n a+1, il radicando deve essere b4 b 4 0 Ovvero a e b > 0, e quindi a 1 e b > 0.
11 Proviamo 8 a
12 Proviamo 8 a a 2b.
13 Proviamo 8 a a 2b. 5 a 2 b.
14 Proviamo 8 a a 2b. 5 a 2 b. 5 a 2 b 2.
15 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R.
16 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R. La radice n-esima di un numero relativo a è ogni numero reale x che risolva l'equazione x n = a.
17 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R. La radice n-esima di un numero relativo a è ogni numero reale x che risolva l'equazione x n = a. Non è detto né che la soluzione esiste e né che sia unica.
18 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R. La radice n-esima di un numero relativo a è ogni numero reale x che risolva l'equazione x n = a. Non è detto né che la soluzione esiste e né che sia unica. 3 Radici: 27, 3 27, 25, 25.
19 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R. La radice n-esima di un numero relativo a è ogni numero reale x che risolva l'equazione x n = a. Non è detto né che la soluzione esiste e né che sia unica. 3 Radici: 27, 3 27, 25, 25. Equazioni: x 3 = 27, x 3 = 27, x 2 = 25, x 2 = 25.
20 La radice algebrica n-esima Vogliamo denire la radice non solo per R + ma per tutto R. La radice n-esima di un numero relativo a è ogni numero reale x che risolva l'equazione x n = a. Non è detto né che la soluzione esiste e né che sia unica. 3 Radici: 27, 3 27, 25, 25. Equazioni: x 3 = 27, x 3 = 27, x 2 = 25, x 2 = 25. Soluzioni: {+3}, { 3}, { 5, +5},
21 La radice algebrica n-esima. Riepilogo La radice n-esima algebrica di indice n dispari di un numero intero relativo a esiste sempre: ha lo stesso segno di a e modulo pari alla radice aritmetica di a.
22 La radice algebrica n-esima. Riepilogo La radice n-esima algebrica di indice n dispari di un numero intero relativo a esiste sempre: ha lo stesso segno di a e modulo pari alla radice aritmetica di a. La radice n-esima algebrica di indice n pari di un numero intero relativo a esiste solo se a 0, ma non è unica dato che che possiamo prendere sia + n a che n a.
23 La radice algebrica n-esima. Riepilogo La radice n-esima algebrica di indice n dispari di un numero intero relativo a esiste sempre: ha lo stesso segno di a e modulo pari alla radice aritmetica di a. La radice n-esima algebrica di indice n pari di un numero intero relativo a esiste solo se a 0, ma non è unica dato che che possiamo prendere sia + n a che n a. La radice n-esima algebrica di indice n pari di un numero intero relativo a non esiste se a < 0.
24 La proprietà invariantiva Se l'indice del radicale e l'esponente del radicando vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero p (intero non nullo) si ottiene un radicale equivalente.
25 La proprietà invariantiva Se l'indice del radicale e l'esponente del radicando vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero p (intero non nullo) si ottiene un radicale equivalente. n a m = a m/n = a mp/np = np a mp.
26 La proprietà invariantiva Se l'indice del radicale e l'esponente del radicando vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero p (intero non nullo) si ottiene un radicale equivalente. n a m = a m/n = a mp/np = np a mp. a2 = ( a 2) 1/2 = a.
27 Riduzione ad un indice comune Si calcola il minimo comune multiplo degli indici dei radicali e lo si assume come nuove indice comune;
28 Riduzione ad un indice comune Si calcola il minimo comune multiplo degli indici dei radicali e lo si assume come nuove indice comune; Si moltiplica l'esponente di ogni radicando per il quoziente tra il m.c.m. e l'indice del radicale considerato.
29 Riduzione ad un indice comune Si calcola il minimo comune multiplo degli indici dei radicali e lo si assume come nuove indice comune; Si moltiplica l'esponente di ogni radicando per il quoziente tra il m.c.m. e l'indice del radicale considerato. 4 3, 6 2, 2 7. Minimo Comune Indice tra {4, 6, 2} è {12}.
30 Riduzione ad un indice comune Si calcola il minimo comune multiplo degli indici dei radicali e lo si assume come nuove indice comune; Si moltiplica l'esponente di ogni radicando per il quoziente tra il m.c.m. e l'indice del radicale considerato. 4 3, 6 2, 2 7. Minimo Comune Indice tra {4, 6, 2} è {12}. 4 3 = , = 2 2, = 7 6.
31 Addizione e sottrazione Si sommano e si sottraggono solo i radicali simili, cioè quelli aventi lo stesso indice e lo stesso radicando
32 Addizione e sottrazione Si sommano e si sottraggono solo i radicali simili, cioè quelli aventi lo stesso indice e lo stesso radicando Simili: 2 3 3, ,
33 Addizione e sottrazione Si sommano e si sottraggono solo i radicali simili, cioè quelli aventi lo stesso indice e lo stesso radicando Simili: 2 3 3, , Simili: 4 a2 + 1, 3 4 a 2 + 1, (b + 1) 4 a
34 Moltiplicazione e divisione Se i radicali hanno lo stesso indice si moltiplicano i radicandi e si lascia lo stesso indice.
35 Moltiplicazione e divisione Se i radicali hanno lo stesso indice si moltiplicano i radicandi e si lascia lo stesso indice = = (x y) 5 6 x y. Bisogna avere che x y, quindi 6 (x y)5 6 x y = 6 (x y) 6 = x y = x y, data la condizione x y 0.
36 Moltiplicazione e divisione Se i radicali hanno lo stesso indice si moltiplicano i radicandi e si lascia lo stesso indice = = (x y) 5 6 x y. Bisogna avere che x y, quindi 6 (x y)5 6 x y = 6 (x y) 6 = x y = x y, data la condizione x y 0. Se i radicali hanno lo stesso indice si dividono i radicandi e si lascia lo stesso indice.
37 Moltiplicazione e divisione Se i radicali hanno lo stesso indice si moltiplicano i radicandi e si lascia lo stesso indice = = (x y) 5 6 x y. Bisogna avere che x y, quindi 6 (x y)5 6 x y = 6 (x y) 6 = x y = x y, data la condizione x y 0. Se i radicali hanno lo stesso indice si dividono i radicandi e si lascia lo stesso indice. 4 a 2 + 2ab + b 2 : 4 a + b. Condizione a + b 0, ma deve essere anche a + b a2 + 2ab + b 2 4 (a + b) : 2 a + b = a + b = 4 a + b.
38 Potenza di un radicale Si può elevare il solo radicando
39 Potenza di un radicale Si può elevare il solo radicando ( ) n k ( A = A 1/n ) k = A k/n = (k) 1/n = n A k.
40 Radice di un radicale Prodotto degli indici
41 Radice di un radicale Prodotto degli indici p n A = ( A 1/n) 1/p = A 1/p n = p n A.
42 Trasporto di un fattore non negativo dentro o fuori dalla radice Un fattore non negativo lo si può trasportare dentro ad una radice elevandolo ad una potenza uguale all'indice della radice B n A = n B n A, A 0.
43 Trasporto di un fattore non negativo dentro o fuori dalla radice Un fattore non negativo lo si può trasportare dentro ad una radice elevandolo ad una potenza uguale all'indice della radice B n A = n B n A, A 0. Un fattore non negativo nel radicando che sia elevato ad una potenza multiplo dell'indice del radicale lo si può trasportare fuori dalla radice, purché si divida l'esponente per l'indice della radice. n A kn B = A k n B.
44 Radicali doppi Un radicale doppio è una espressione del tipo: a ± b
45 Radicali doppi Un radicale doppio è una espressione del tipo: a ± b Se (a 2 b) è un quadrato perfetto, allora sono utili le seguenti formule: a + b = a + a 2 b 2 + a a 2 b a a + a b = 2 b a a 2 b 2 2 2
46 Razionalizzazione del denominatore Se abbiamo un radicale quadratico al denominatore si applica il procedimento: A B = A B B B = A B B
47 Razionalizzazione del denominatore Se abbiamo un radicale quadratico al denominatore si applica il procedimento: A B = A B = A B B B B Se al denominatore abbiamo un radicale irriducibile del tipo n A m, con n > m, si moltiplica e si divide per il radicale n A n m : B n A m = B n A m n A n m n A n m = B n A n m n Am A n m = B n A n m n A n = B n A n m A (1)
48 Razionalizzazione del denominatore Se al denominatore si trova l'espressione A ± B, si procede moltiplinado e dividendo per l'espressione coniugata A B: C A + B = C A B A + B A B ( A ) C B = ( A ) 2 ( B ) 2 = ( A ) C B A B (2)
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