P i var % = P f 100, %. 100 =

Transcript

1 LEZIONE Esercizio.. Il 5% degli individui di una popolazione è stato colpito da un epidemia. L 8% delle persone colpite è morto. Calcolare la mortalità rispetto all intera popolazione. Bisogna calcolare l 8% del 5% della popolazione, ovvero = 0.02, dunque il tasso di mortalità della malattia è dell.2%. Esercizio.2. La popolazione mondiale nel 974 era costituita da circa individui. Ogni settimana la popolazione mondiale è aumentata di.4 milioni di persone. Calcolare l aumento percentuale annuale. La variazione percentuale di popolazione è data dalla formula P i var % = P f 00, P i dove P i e P f indicano rispettivamente la popolazione all inizio dell anno e alla fine dell anno. Il termine P f si calcola considerando che un anno è formato da 52 settimane, quindi P f = P i = Di conseguenza la variazione percentuale annua è pari a P i var % = P f 00 = P i % Esercizio.3. La Terra è, approssimativamente, una sfera di circonferenza Km. Supponiamo di avvolgere una corda attorno all equatore. Ora, supponiamo di allungare tale corda (lunga Km) di 0 m e di riavvolgerla attorno alla Terra in modo che la distanza fra la corda e il terreno sia uguale lungo tutto l equatore. Un topo sarà adesso in grado di passare sotto la corda? Se la circonferenze della Terra è lunga quanto la corda, cioé Km, allora il raggio della Terra sarà R T = 40000/ Km. Aumentando ora di 0 m la lunghezza della corda, il nuovo raggio diventa R = / Km. La differenza tra i due raggi determina se il topo può passare sotto la corda, e si ha R R T = Km, ovvero.5 m e il topo passa comodamente.

2 2 LEZIONE Esercizio.4. Il diametro di una molecola di H 2 O è circa m. In mole = 8 grammi di acqua ci sono molecole (numero di Avogadro). Quale distanza si raggiungerebbe se si mettessero in fila tutte le molecole di una mole di H 2 O? Poiché in una mole vi sono molecole di acqua, e dato che ogni molecola ha diametro , mettendo tutte le molecole in fila si ottiene = m. Tale lunghezza corrisponde a circa mille volte la distanza media tra la Terra e il Sole. Esercizio.5. Calcolare le seguenti espressioni. (a) 6!/4! = 6 5 = 30. (b) 97!/98! = /98. Esercizio.6. Calcolare le seguenti espressioni. (a) 5!/4! = 5. (b) 2+/2! + /3! + /4! = 65/24. Esercizio.7. Risolvere le seguenti equazioni rispetto a x. (a) x 2 =2x =) x =0e x =2. (b) x 3 =3x 2 =) x =0, 0, 3. (c) a 2 x = x 3, a > 0 =) x =0,a, a. Esercizio.8. Risolvere le seguenti disequazioni. (a) x +4> 7 =) x>3. (b) 8 y> =) y<7. (c) 4( 5) > 3(5 ) =) >5. (d) x 2 apple (2 x)(x + ) =) x. (e) 2x 2 < 8 =) 2 <x<2. (f) 3 <u 2 =) <u< p 3 e p 3 <u<. (g) x(x ) > 0 =) <x<0e <x<. (h) (x )(x + 2) > 0 =) <x< 2 e <x<. (i) x 2 +4x + 2 > 0 =) 8 x 2 R. (j) 2x 2 + x<3 =) 3 2 <x<.

3 LEZIONE 3 (k) 4x 2 + 0x 6 < 0 =) 3 <x< 2. (l) x 2 +2x +4> 0 =) 8 x 2 R. (m) 3x 2 x 4 0 =) <xapple e 4 3 apple x<. (n) 2x +8>x 2 =) 2 <x<4. (o) 23x 6 +5x < 0 =) ;. (p) x 2 6x +9> 0 =) <x<3e3 <x<, ovvero R {3}. (q) 2x 2 3x +2> 0 =) 8 x 2 R. Esercizio.9. Individuare nel piano i punti (x, y) per i quali: (a) x<2. (b) x =. (c) x +2y<0. I tre insiemi sono evidenziati in grigio, rispettivamente nei tre grafici di Figura.. Figure.: Rispettivamente i casi (a), (b) e (c). Esercizio.0. Sia A il punto di coordinate (3, ) e B il punto di coordinate (,y). Trovare i valori di y per cui la distanza fra A e B sia p 20. Per il teorema di Pitagora, la distanza tra i due punti nel piano euclideo è data da d(a, B) = p (3 ( )) 2 +( y) 2 = p y 2 +2y + 7 = p 20. Da questa relazione si ricava, elevando al quadrato ambo i membri, che y 2 +2y + 7 = 20 =) y =, 3. Si nota (Figura.2), che sono due i punti che soddisfano la condizione richiesta.

4 4 LEZIONE Figure.2: Il grafico mostra le due soluzioni, per la coordinata y del punto B. Esercizio.. Dato il punto A di coordinate (, 2), determinare le coordinate di un punto B tale che la distanza fra A e B sia 4. Chiaramente, la soluzione non è unica, ve ne sono infinite, disposte intorno ad una circonferenza di raggio 4 e centro A. Per il teorema di Pitagora, la distanza tra i due punti nel piano euclideo è data da d(a, B) = p ( x) 2 +(2 y) 2 = p x 2 + y 2 2x 4y +5=4. In effetti la formula precedente, elevando al quadrato i membri, rappresenta l equazione di una circonferenza (Figura.3). Possiamo risolvere per y ad esempio, x 2 + y 2 2x 4y + 5 = 6 =) y =2± p 5 + 2x x 2. Si può notare come la formula precedente abbia significato solo per 3 apple x apple 5, o equivalente- Figure.3: Il grafico mostra la famiglia di soluzioni (una circonferenza) per il punto B. mente, se si risolve la x in funzione di y, per 2 apple y apple 6.

5 LEZIONE 5 Esercizio.2. Mostrare che (a) (x j + ) = x j + n. j= j= (b) (x j + ) 2 = x 2 j +2 x j + n 2. j= j= j= Entrambi i casi richiesti coinvolgono somme di un numero finito di termini, quindi si può applicare tranquillamente la proprietà commutativa delle somme. (a) Vediamo il primo caso: (x j + ) =x + + x x n + j= = x + x x n = x j + n. j= (b) Per il secondo caso si ha: (x j + ) 2 = x 2 +2 x x x x 2 n +2 x n + 2 j= = x 2 + x x 2 n +2 (x + x x n ) = x 2 j +2 x j + n 2. j= j= Esercizio.3. Qual è la relazione fra gli insiemi A = {t 2 R 0 <t<3} e B = 2, 3 2, 5 2? Si ha che B A. Esercizio.4. Trovare gli insiemi delle soluzioni per le seguenti equazioni e disequazioni. (a) {t 2 R t +7< 2}. Risolvendo, l insieme delle soluzioni è {t 2 R t <5}. (b) {x 2 R x = 3(x + 3) x}. Risolvendo, l insieme delle soluzioni è {x 2 R x = 9}. (c) {u 2 R u 2 < 6}. Risolvendo, l insieme delle soluzioni è {u 2 R u 2 ( 4, 4)}. (d) {x 2 R (x 3)(x + 2) = x 2 }. Risolvendo, l insieme delle soluzioni è {x 2 R x = 6}. Esercizio.5. Determinare graficamente l intersezione e l unione degli insiemi A = {(x, y) 2 R 2 x + y 5 > 0} e B = {(x, y) 2 R 2 x 2y +2> 0}. Determinare inoltre il complementare di A \ B in R 2.

6 6 LEZIONE Figure.4: In alto: A sinistra la rappresentazione (in grigio) dell insieme A, a destra l insieme B. In basso: A sinistra la rappresentazione (in grigio) dell insieme A \ B, a destra l insieme A [ B. Il grafico a sinistra (in bianco) indica il complementare dell intersezione A \ B. I grafici richiesti sono in Figura.4. Esercizio.6. Risolvere le seguenti equazioni. (a) x 5 =7. Si inizia dividendo i casi x 5 0 e x 5 < 0. x 5 0 =) x 5=7 =) x = 2. Questa soluzione soddisfa x 5 0 e quindi è accettabile. x 5 < 0 =) x +5=7 =) x = 2. Anche questa soluzione è compatibile con l ipotesi x 5 < 0. Le due soluzioni dell equazione sono dunque x = 2, 2. (b) 3x +2 =. Questa si risolve similmente alla precedente, le soluzioni sono x = 3,. (c) x +2 2 x 3 =. In questo caso bisogna studiare il segno delle due espressioni contenute nei valori assoluti, ci sono quattro possibilità. Il grafico della funzione è riportato in Figura.5. x +2 0 e x 3 0. Risolvendo questo sistema di due disequazioni si trova una condizione su x che deve essere soddisfatta dalla soluzione dell equazione. Si ha

7 LEZIONE 7 Figure.5: I grafici delle tre funzioni, da sinistra rispettivamente (a), (b) e (c). che x 2 e x 3, mettendo insieme queste due condizioni, si trova che x deve soddisfare x 3. Questo permette di scrivere l equazione come x +2 2(x 3) =0 =) x +7=0 =) x =7. Questa è quindi una soluzione accettabile. x +2 0 e x 3 < 0. Risolvendo questo sistema di due disequazioni si trova una condizione su x che deve essere soddisfatta dalla soluzione dell equazione. Si ha che x 2 e x<3, mettendo insieme queste due condizioni, si trova che x deve soddisfare 2 apple x<3. Questo permette di scrivere l equazione come x +2 2( x + 3) =0 =) 3x 5=0 =) x = 5 3. Questa è quindi una soluzione accettabile. x +2< 0 e x 3 0. Risolvendo questo sistema di due disequazioni si trova una condizione su x che deve essere soddisfatta dalla soluzione dell equazione. Si ha che x< 2 e x 3, mettendo insieme queste due condizioni, si trova un assurdo e non serve continuare. L equazione associata diventerebbe x 2 2(x 3) =0 =) 3x +5=0 =) x = 5 3. Questa non è quindi una soluzione accettabile. x +2< 0 e x 3 < 0. Risolvendo questo sistema di due disequazioni si trova una condizione su x che deve essere soddisfatta dalla soluzione dell equazione. Si ha che x< 2 e x<3, mettendo insieme queste due condizioni, si trova che x deve soddisfare x< 2. Questo permette di scrivere l equazione come x 2 2( x + 3) =0 =) x =9. Questa non è quindi una soluzione accettabile, rimangono solo x = 5 3, 7.

8 8 LEZIONE Esercizio.7. Risolvere le seguenti disequazioni. (a) x 2 >, =) <x<e3 <x<. (b) 6x + <, =) ;. (c) x x 3 > 2, =) 8x 2 R (Figura.6). (d) x +2 > x, =) 2 <x< (Figura.6). (e) x 2 2x > 0. 2x 0, ovvero x 2, da cui la disequazione diventa x2 2x +> 0. Questa funzione ha come zero x =con molteplicità doppia, la parabola associata ha la concavità verso l alto, dunque le soluzioni della disequazione sono (, )[(, ) = R {}, ma va considerata solo per x 2. L altro caso da considerare è per x< 2, la disequazione diventa x2 +2x > 0. Questa funzione ha per zeri x = ± p 2, la parabola associata ha la concavità verso p p l alto, quindi la soluzione è (, 2) [ ( + 2, ), tuttavia, per l ipotesi fatta, va considerata solo per x< 2. In conclusione come soluzione bisogna unire gli intervalli dati dal primo e dal secondo, rispettivamente, [ 2, ) [ (, ) e (, p p 2) [ ( + 2, 2 ), ovvero con una facile p p semplificazione (, 2) [ ( + 2, ) [ (, ). (Figura.6) (f) 2x 2 4x +3 > 0, =) <x< p 0 2 e + p 0 2 <x<. Figure.6: I grafici delle tre funzioni, da sinistra rispettivamente (c), (d) e (e). Esercizio.8. Determinare le soluzioni dei seguenti sistemi di disequazioni. ( x > 2 (a) =) 2 <x<. x >

9 LEZIONE 9 (b) (c) (d) ( ( ( 3x 4 =) 4 4x apple 7 3 <x<7 4. (x + )(x 3) > 0 =) 4 apple x< e 3 <xapple6. (x + 4)(x 6) apple 0 2x 2 apple 6x =) <xapple3. 4x > 4 Esercizio.9. Rappresentare sul piano cartesiano (x, y) i seguenti insiemi. (a) A = {y 2x + > 0} (in bianco in Figura.7 a sinistra). (b) B = {2y + x > 0} (in grigio in Figura.7 a destra). (c) C = {x + y apple 0}\{x } (in grigio in Figura.8 a sinistra). (d) D = {x +2y 8}\{y 2} (in grigio in Figura.8 al centro). (e) E = C \ D (in grigio in Figura.8 a destra). Figure.7: I grafici degli insiemi, da sinistra rispettivamente (a) e (b). Esercizio.20. Quali sono i domini delle seguenti funzioni? (a) 2 (x 2 + ) =) x 2 R. (b) p x =) x apple 0. (c) p 4 x 2 =) 4 x 2 0 =) 2 apple x apple 2. (d) (x 2 4) =) x 6= ±2. (e) p x 2 =) x 2 R.

10 0 LEZIONE Figure.8: I grafici degli insiemi, da sinistra rispettivamente (c) (d) ed (e). (f) p x x 2 =) {x 6= ±}\{x 0} =) {x 0} {x =}. Esercizio.2. Data la funzione f(x) =x 2 determinare l immagine f(d) se il dominio D è: (a) D = { 2,, 0,, 2, 3, 4, 5} =) f(d) ={0,, 4, 9, 6, 25}. (b) D = {x 2 R apple x apple } =) f(d) =[0, ]. (c) D = {x 2 R x apple 0} =) f(d) =[0, ). (d) D = R =) f(d) =[0, ). Esercizio.22. Data la funzione f(x) =x 3 determinare l immagine f(d) se il dominio D è: (a) D = { 2,, 0,, 2, 3, 4, 5} =) f(d) ={ 8,, 0,, 8, 27, 64, 25}. (b) D = {x 2 R apple x apple } =) f(d) =[, ]. (c) D = {x 2 R x apple 0} =) f(d) =(, 0]. (d) D = R =) f(d) =R.